复试研试自控根轨迹

1、1自动控制理论自动控制理论Automatic Control Theory2上上节课要点复习上上节课要点复习(1)n根轨迹的基本方程根轨迹的基本方程 1)()(11niimjjpszsK111niimjjpszsK180) 12(11kmjnipizj幅值条件幅值条件相角条件相角条件)(jzjzs )(ipips 与与K有关有关与与K无关无关, 2 , 1 , 0k0)()(1sHsG3 上上节课要点复习上上节课要点复习(2)n规则规则1 绘制根轨迹的方程形式绘制根轨迹的方程形式n规则规则2 根轨迹的根轨迹的分支数分支数及及起点起点和和终点终点对于一个对于一个 阶系统，当参变量阶系统，当参变量

2、 从零到无穷大变化时，根从零到无穷大变化时，根轨迹有轨迹有 条分支，它们分别从个条分支，它们分别从个 开环极点出发，其中有开环极点出发，其中有 条条根轨迹分支终止在根轨迹分支终止在 个有限开环零点上，其余个有限开环零点上，其余 条根轨迹条根轨迹分支终止在分支终止在 个无限零点上。个无限零点上。 Knm)(mn nm)(mn n0)()(111niimjjpszsK44.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则3 根轨迹在实轴上的分布根轨迹在实轴上的分布 根轨迹在实轴上总是布在两个相邻的根轨迹在实轴上总是布在两个相邻的开环实零、开环实零、极点之间极点之间，且该线段右边开环实零、极

3、点的总，且该线段右边开环实零、极点的总数为数为奇数奇数。 平面js01z1p2p3pts1z1p2p3p4p4p5p5p相角条件相角条件54.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则4 根轨迹的对称性根轨迹的对称性 根轨迹必然对称于根轨迹必然对称于s s平面的实轴平面的实轴。 由于实际系统的参数都是实数，因此由于实际系统的参数都是实数，因此特征方程式的系数也均为实数，相应的特征方程式的系数也均为实数，相应的特征根或为实数，或为共轭复数，或两特征根或为实数，或为共轭复数，或两者兼而有之。者兼而有之。 64.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则5 根轨迹的渐近线

4、根轨迹的渐近线( (总结总结) ) 当系统当系统 时，时，根轨迹的根轨迹的渐近线共有渐近线共有 条，各条根轨条，各条根轨迹的迹的渐近线与实轴的倾角为：渐近线与实轴的倾角为：根轨迹的渐近线交于实轴上一点，交点坐标为：根轨迹的渐近线交于实轴上一点，交点坐标为：mn )(mn mnkk) 12() 1( , 2 , 1 , 0mnkmnzpnimjjia11等分射线等分射线27平面js0j1-j1-1-2abc4.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n例例4-24-2 )2)(1(sssK)(sR)(sY规则规则1:形式形式规则规则2:分支数分支数规则规则3:实轴上分布实轴上分布 规则规则

5、4:对称性对称性 规则规则5:渐进线渐进线 35,303) 12(kk2 , 1 , 0k1030)210(a84.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则6 6 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 两条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的两条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离点或会分离点或会合点合点。 当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该相交当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该相交点称为根轨迹分离点。反之，当根轨迹分支由复平面点称为根轨迹分离点。反之，当根轨迹分支由复平面走向实轴走向实轴时，它们在实轴上的交点称为根轨迹会合点。时，它们在实轴上的交点称为根轨

6、迹会合点。 j1s0)aj2s0)bj0)c2s1s1s1s94.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则6 6 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点实质上实质上都是特征方都是特征方程式的程式的重根重根，因而可用求解特征方程式重根的，因而可用求解特征方程式重根的方法确定它们在平面上的位置。方法确定它们在平面上的位置。 ( )( )( )( )KB sG s H sA s特征方程出现重根的条件是特征方程出现重根的条件是s s必须满足下列方程必须满足下列方程： 方法一方法一:0)()()(sKBsAsF0)()()(sBKsAs

7、F0)()()()(sBsAsBsA确定根轨迹的分离点或会合点的坐标及相应的确定根轨迹的分离点或会合点的坐标及相应的K K值值 消去消去K104.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则6 6 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 ( )( )( )( )KB sG s H sA s方法二方法二:0)()()(sKBsAsF0/dsdK特征方程特征方程)()(sBsAK0)()()()()(2sBsBsAsBsAdsdK114.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则6 6 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 应当指出，特征方程出现重根只是形成

8、根轨迹应当指出，特征方程出现重根只是形成根轨迹分离点或会合点的分离点或会合点的必要条件必要条件，但不是充分条件。，但不是充分条件。只有位于根轨迹上的那些重根才是实际的分离只有位于根轨迹上的那些重根才是实际的分离点或会合点。点或会合点。 另外，求分离点或会合点坐标时，有时需要另外，求分离点或会合点坐标时，有时需要求解高求解高阶代数方程，在阶次较高时可用阶代数方程，在阶次较高时可用试探法试探法进行求解。进行求解。 124.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则6 6 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 例例4-34-3 )2)(1(sssK)(sR)(sY平面js0j1

9、-j1-1-2abc0)2)(1(Ksss特征方程特征方程)2)(1(sssK0)263(2ssdsdK577. 1,423. 021ss? ?13144.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则7 7 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，称为向的夹角，称为根轨迹的出射角根轨迹的出射角。根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角，称为向的夹角，称为根轨迹的入射角根轨迹的入射角。计算根轨迹的出射角和入射角的目的在于了解计算根轨迹的出射角

10、和入射角的目的在于了解开环复数极点或零点附近根轨迹的变化趋势和开环复数极点或零点附近根轨迹的变化趋势和走向，便于绘制根轨迹。走向，便于绘制根轨迹。154.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则7 7 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角 计算根轨迹的出射角和入射角可由根轨迹的计算根轨迹的出射角和入射角可由根轨迹的相角条件相角条件来确定。来确定。 相角条件相角条件180) 12(11kmjnipizj, 2 , 1 , 0k)(jzjzs )(ipips 164.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则7 7 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角

11、 相角条件相角条件180) 12(11kmjnipizj, 2 , 1 , 0k)(jzjzs )(ipips （例4-5）： 起止点：实轴上的根轨迹：z1z2之间。分支数=2，终止于z1、z2 ；01z42zjp 11jp 12022)4(12sssKs有会合点不需渐近线：会合点：)4(222ssssK0)4(842222ssssdsdK舍舍236. 3236. 1511s出射角：43322.021radp034. 221322. 0431034. 221322. 0432211pzzp 9162sssKsHsG：例例起止点：实轴上的根轨迹：分支数=3，两支终止于 ；渐近线：分离点和会合点：

12、 9162sssKsHsG：例例27, 3, 00192KssdsdKsssK904219kA9, 0, 132, 11ppz0,01,9 60结论：在分离点或会合点处根轨迹的出、入射角（切线）平分360角。21224.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则8 8 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹若穿过虚轴进入右半平面根轨迹若穿过虚轴进入右半平面, ,系统将系统将不稳定。而且靠近虚轴的闭环极点对系统不稳定。而且靠近虚轴的闭环极点对系统动态性能影响较大，所以在靠近原点和虚动态性能影响较大，所以在靠近原点和虚轴附近的根轨迹是比较关心的，应画得比轴附近的根轨迹是比较关心

13、的，应画得比较精确。较精确。同时为了判断系统的稳定范围，需要确同时为了判断系统的稳定范围，需要确定根轨迹与虚轴的交点。定根轨迹与虚轴的交点。234.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则8 8 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 由以下两种方法确定：由以下两种方法确定：（1 1）用劳斯判据，求临界稳定的）用劳斯判据，求临界稳定的K值和根轨迹与值和根轨迹与虚轴的交点；虚轴的交点；（2 2）令特征方程的）令特征方程的 ，并令方程左边实部和虚，并令方程左边实部和虚部分别等于零，就可求出部分别等于零，就可求出 和和 K值。值。 这两种方法均需求解代数方程，其中用劳斯判这两种方法均需

14、求解代数方程，其中用劳斯判据时往往可以得到阶次较低的辅助方程，因而据时往往可以得到阶次较低的辅助方程，因而计算较简单方便一些。计算较简单方便一些。 js 244.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n例例4-5 )2)(1(sssK)(sR)(sY02323Ksss3s2s1s0s1236KK3K06KK6K0632s414. 1 js254.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n例例4-54-5 )2)(1(sssK)(sR)(sY平面js0j1-j1-1-2abc264.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则9 9 特征方程的特征方程的根之和根之和与根

15、之积与根之积 niniininmjmjjmjmpspszszsKsHsG111111)()()(2mn0)(1111nicininincincipspspsniniicipp11)()(11niniicippmjjniinicizKpp111)()()(niimjjpszsKsHsG11)()()()(1)()(sHsG0)(1111ninimjjininzKpsps274.3 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 n规则规则9 9 特征方程的根之和与根之积特征方程的根之和与根之积 当当 由由 变化时，虽然变化时，虽然 个闭环特征根会随之个闭环特征根会随之变化，但它们之和却恒等于变化，但它

16、们之和却恒等于 个开环极点之和。个开环极点之和。如果一部分根轨迹分支随着的增大而向左移动，如果一部分根轨迹分支随着的增大而向左移动，则另一部分根轨迹分支必将随着的增大而向右移动，则另一部分根轨迹分支必将随着的增大而向右移动，以保持开环极点之和不变。以保持开环极点之和不变。利用这一性质可以估计根轨迹分支的变化趋势。利用这一性质可以估计根轨迹分支的变化趋势。 0nK)()(11niniicippn28 小小 结结n绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 规则规则1:1:形式形式 规则规则2:2:分支数分支数, ,起点起点, ,终点终点( (有限有限/ /无限零点无限零点) ) 规则规则3:3:实

17、轴上的分布实轴上的分布 规则规则4:4:对称性对称性 规则规则5:5:渐进线渐进线 规则规则6:6:分离点分离点/ /汇合点汇合点 规则规则7:7:出出/ /入射角入射角 规则规则8:8:与虚轴的交点与虚轴的交点 规则规则9:9:根之和与根之积根之和与根之积 MATLAB60314.4 参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制 n以上所述的根轨迹都是以开环增益作为以上所述的根轨迹都是以开环增益作为可变参量，这在实际系统中是最常见的。可变参量，这在实际系统中是最常见的。n但是，有时候需要研究除开环增益以外但是，有时候需要研究除开环增益以外的其它可变参量（如时间常数、反馈系的其它可变参量（如时间常数、反馈

18、系数，开环零、极点等）对系统性能的影数，开环零、极点等）对系统性能的影响，就需要绘制以其它参量为可变参数响，就需要绘制以其它参量为可变参数的根轨迹，这种根轨迹称为的根轨迹，这种根轨迹称为参量根轨迹参量根轨迹或广义根轨迹或广义根轨迹。324.4 参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制 n一个可变参量根轨迹的绘制一个可变参量根轨迹的绘制 假定系统的可变参量是某一时间常数，由假定系统的可变参量是某一时间常数，由于它位于开环传递函数分子或分母的因式中，于它位于开环传递函数分子或分母的因式中，因而就不能简单地用开环增益为参变量的方法因而就不能简单地用开环增益为参变量的方法去直接绘制系统的根轨迹，而是需要按照去

19、直接绘制系统的根轨迹，而是需要按照根轨根轨迹基本迹基本绘制规则中的绘制规则中的规则规则1 1，对，对根轨迹方程形根轨迹方程形式进行必要处理式进行必要处理。 334.4 参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制 n一个可变参量根轨迹的绘制一个可变参量根轨迹的绘制 根据系统闭环特征方程，把闭环特征方程式中根据系统闭环特征方程，把闭环特征方程式中不含有不含有T参量的各项去除该方程，使原方程变参量的各项去除该方程，使原方程变为：为： 式中，式中， 为系统的为系统的等效开环传递函数等效开环传递函数， T所处的位置与以前所述的开环传递函数中所处的位置与以前所述的开环传递函数中K所处的位置相当，这样就可按绘制以所处

20、的位置相当，这样就可按绘制以K为参变为参变量同样的方法来绘制以量同样的方法来绘制以T为参量的为参量的根轨迹。根轨迹。 0)()(111sHsTG)()(11sHsTG0)()(111niimjjpszsT344.4 参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制 n例例4-6 试绘制当试绘制当K=10，参数，参数T变化变化时的根时的根轨迹。轨迹。 )2() 1()()(ssTsKsHsG0101022Tsss01021012ssTs)31)(31(1010210)()(211jsjsTsssTssHsG闭环特征方程闭环特征方程 354.4 参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制 )31)(31(1010210)(

21、)(211jsjsTsssTssHsGj平面s01123231z1p2p1213364.5 用根轨迹法分析控制系统性能用根轨迹法分析控制系统性能 n利用根轨迹，可以定性分析当系统某一利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统的稳定性及动态性能的参数变化时系统的稳定性及动态性能的变化趋势，也可根据性能要求确定系统变化趋势，也可根据性能要求确定系统的参数。的参数。 374.5 用根轨迹法分析控制系统性能用根轨迹法分析控制系统性能 n利用根轨迹分析系统的稳定性利用根轨迹分析系统的稳定性 用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点要全面得

22、多。闭环极点要全面得多。 如，当如，当K在在 间取值时，如果间取值时，如果n条根轨迹全部位于条根轨迹全部位于s平面的左半平面，就意味着不管取任何值闭环系统均平面的左半平面，就意味着不管取任何值闭环系统均是稳定的。是稳定的。 反之，只要有一条根轨迹全部位于反之，只要有一条根轨迹全部位于s平面的右半平面，平面的右半平面，就意味着不管就意味着不管K取何值闭环系统都是不可能稳定的。取何值闭环系统都是不可能稳定的。 在这种情况下，如果开环零、极点是系统固有的，在这种情况下，如果开环零、极点是系统固有的，要使系统稳定就必须设计调节装置，人为增加开环零、要使系统稳定就必须设计调节装置，人为增加开环零、极点来

23、改变系统的结构。极点来改变系统的结构。 ), 0(384.5 用根轨迹法分析控制系统性能用根轨迹法分析控制系统性能 n利用根轨迹分析系统的稳定性利用根轨迹分析系统的稳定性 大多数情况是没有任何一条根轨迹全大多数情况是没有任何一条根轨迹全部位于部位于s s平面的右半平面，但有一条或多平面的右半平面，但有一条或多条穿越虚轴到达右半平面，这说明条穿越虚轴到达右半平面，这说明闭环闭环系统的稳定是有条件的系统的稳定是有条件的。 知道了根轨迹与虚轴交点的值，就可知道了根轨迹与虚轴交点的值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的值范以确定稳定条件，进而确定合适的值范围。围。 394.5 用根轨迹法分析控制系统性

24、能用根轨迹法分析控制系统性能 n利用根轨迹分析系统的稳定性利用根轨迹分析系统的稳定性 例例4-9 平面js0j1-j1-1-2abc)2)(1(sssK)(sR)(sY60 K404.5 用根轨迹法分析控制系统性能用根轨迹法分析控制系统性能 n利用闭环主导极点近似分析系统的性能利用闭环主导极点近似分析系统的性能 例例4-9 试用根轨迹法确定系统在欠阻尼下稳定的开环增益试用根轨迹法确定系统在欠阻尼下稳定的开环增益K的的范围，并计算阻尼系数范围，并计算阻尼系数 时的时的K值以及相应的闭环值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。极点，估算此时系统的动态性能指标。 )2)(1(sssK)(s

25、R)(sY5 . 0414.5 用根轨迹法分析控制系统性能用根轨迹法分析控制系统性能 n利用闭环主导极点近似分析系统的性能利用闭环主导极点近似分析系统的性能 例例4-9 )2)(1(sssK)(sR)(sY平面js0-1-2abcA1326385. 0 K欠阻尼欠阻尼 5 . 060arccosnnnnjj866. 05 . 0121nnnnjj866. 05 . 01220)()()()(2332233321nnnnssssss424.5 用根轨迹法分析控制系统性能用根轨迹法分析控制系统性能 n利用闭环主导极点近似分析系统的性能利用闭环主导极点近似分析系统的性能 例例4-9 )2)(1(ss

26、sK)(sR)(sY0)()()()(2332233321nnnnssssss02323KsssKnnnn233232304. 133. 2667. 03Kn434.5 用根轨迹法分析控制系统性能用根轨迹法分析控制系统性能 n利用闭环主导极点近似分析系统的性能利用闭环主导极点近似分析系统的性能 例例4-9 )2)(1(sssK)(sR)(sY平面js0-1-2abcA13258. 033. 01j58. 033. 02j33. 23733. 033. 2主导闭环极点主导闭环极点 二阶系统来估算原三阶系统动态性能指标二阶系统来估算原三阶系统动态性能指标 %,3 .16%10021/epstns1

27、2667. 05 . 044设K=1，因此降阶后相应的二阶系统闭环传递函数为： 04. 1)2)(1()()2)(1()()(KKsssKsWsssKsHsG22222667. 0667. 0667. 0)58. 033. 0)(58. 033. 0(58. 033. 0)(ssjsjssW454.5 用根轨迹法分析控制系统性能用根轨迹法分析控制系统性能 n开环零、极点对系统性能的影响开环零、极点对系统性能的影响 影响系统稳定性和动态性能的因数有系统影响系统稳定性和动态性能的因数有系统开开环增益环增益和和开环零点、开环极点的位置开环零点、开环极点的位置。 因为开环零点、极点的分布决定系统根轨因为开环零点、极点的分布决定系统根轨迹的形状。迹的形状。 如果系统的性能不尽人意，可以通过调整控如果系统的性能不尽人意，可以通过调整控制器的结构和参数，改变相应的开环零点、极制器的结构和参数，改变相应的开环零点、极点的位置