高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)

1、精选文档慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习学问点一集合的概念1集合一般地，把一些能够_对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象_构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，来表示2元素构成集合的_叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，来表示3空集不含任何元素的集合叫做空集，记为.学问点二集合与元素的关系1属于假如a是集合A的元素，就说a_集合A，记作a_A.2不属于假如a不是集合A中的元素，就说a_集合A，记作a_A.学问点三集合的特性及分类1集合元素的特性_、_、_.2集合的分类(1)有限集：含有_元素的集合(2)无限集：含有_元素的集合3常用数集及符号表

2、示名称非负整数集(自然数集)整数集实数集符号NN*或NZQR学问点四集合的表示方法1列举法把集合的元素_，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法2描述法用集合所含元素的_表示集合的方法称为描述法学问点五集合与集合的关系1子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集假如集合A中的_元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集_(或_)真子集假如集合AB，但存在元素_，且_，我们称集合A是集合B的真子集_(或_)2.子集的性质(1)规定：空集是_的子集，也就是说，对任意集合A，都有_(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即_(3)假如AB，BC，则_(4

3、)假如AB，BC，则_3集合相等定义符号语言图形图言(Venn图)集合相等假如集合A是集合B的子集(AB)，且_，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等AB4.集合相等的性质假如AB，BA，则AB；反之，_.学问点六集合的运算1交集自然语言符号语言图形语言由_组成的集合，称为A与B的交集AB_2并集自然语言符号语言图形语言由_组成的集合，称为A与B的并集AB_3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质AB_AB_AA_AA_A_A_ABAB_ABAB_4.全集在争辩集合与集合之间的关系时，假如一个集合含有我们所争辩问题中涉及的_，那么就称这个集合为全集，通常记作_

4、5补集文字语言对于一个集合A，由全集U中_的全部元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作_符号语言UA_图形语言典例精讲题型一 推断能否构成集合1在“高一数学中的难题；全部的正三角形；方程x220的实数解”中，能够构成集合的是 。 题型二 验证元素是否是集合的元素1、 已知集合.求证：（1）3A； （2）偶数4k-2(kZ)不属于A.2、集合A是由形如的数构成的，推断是不是集合A中的元素.题型三 求集合1方程组的解集是( )A. Bx，y|x3且y7C3，7 D(x，y)|x3且y72下列六种表示法：x1，y2；(x，y)|x1，y2；1,2；(1,2)；(1,2)；(x，y)|x1或

5、y2能表示方程组的解集的是()ABCD3.数集A满足条件：若aA，则A(a1)若A，求集合中的其他元素.4已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，用列举法表示集合M为 。题型四 利用集合中元素的性质求参数1已知集合Sa，b，c中的三个元素是ABC的三边长，那么ABC肯定不是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形2.设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.3.已知Px|2xk，xN，kR，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是_.4.已知集合Ax|ax23x20.(1)若A是单元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围5.已知集合A是由0，m

6、，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为()A2B3C0或3D0或2或36(2016·浙江镇海检测)已知集合A是由0，m，m23m2三个元素构成的集合，且2A，则实数m_.题型五 推断集合间的关系1、 设,，则M与N的关系正确的是（ ）A. M=N B.C. D.以上都不对2推断下列集合间的关系：(1)Ax|x32，Bx|2x50；(2)AxZ|1x<3，Bx|x|y|，yA3已知集合Mx|xm，mZ，Nx|x，nZ，Px|x，pZ，试确定M，N，P之间的关系.题型六 求子集个数1已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为

7、_题型七 利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合A1,2，m3，B1，m，BA，则m_.2已知集合A1,2，Bx|ax20，若BA，则a的值不行能是()A0B1C2D33设集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1.(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)当xZ时，求A的非空真子集个数；(3)当xR时，不存在元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围题型八 集合间的基本运算1下面四个结论：若a(AB)，则aA；若a(AB)，则a(AB)；若aA，且aB，则a(AB)；若ABA，则ABB.其中正确的个数为()A1B2C3D42已知集合Mx|3<x5，Nx|x>3，则MN()Ax|x&

8、gt;3Bx|3<x5Cx|3<x5Dx|x53已知集合A2，3，集合B满足BAB，那么符合条件的集合B的个数是()A1B2C3D44(2016·全国卷理，1)设集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x>0，则ST()A2,3B(，23，)C3，)D(0,23，)5下列关系式中，正确的个数为()(MN)N；(MN)(MN)；(MN)N；若MN，则MNM.A4B3C2D16设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，则实数m_.7(2016·唐山一中月考试题)已知全集Ux|x4，集合Ax|2<x<3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(

9、UB).8设全集U1,2,3,4,5，集合S与T都是U的子集，满足ST2，(US)T4，(US)(UT)1,5则有()A3S,3TB3S,3UTC3US,3TD3US,3UT题型九 依据集合运算的结果求参数1若集合A2,4，x，B2，x2，且AB2,4，x，则x_.2已知集合Ax|1x3，Bx|2x4x2.(1)求AB；(2)若集合Cx|2xa0，满足BCC，求实数a的取值范围3设Ax|x28x0，Bx|x22(a2)xa240，其中aR.假如ABB，求实数a的取值范围.4已知集合Ax|x2ax12b0和Bx|x2axb0，满足(UA)B2，A(UB)4，UR，求实数a，b的值.5U1,2，A

10、x|x2pxq0，UA1，则pq_.4设全集UR，集合Ax|x1或x3，集合Bx|kxk1，k2，且B(UA)，则()Ak0Bk2C0k2D1k26已知集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80，摸索求a取何实数时，(AB)与AC同时成立.题型十 交集、并集、补集思想的应用1若三个方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围题型十一 集合中的新定义问题1若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.(1)推断集合A1,1,2是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集2集合P3,4

11、,5，Q6,7，定义P*Q(a，b)|aP，bQ，则P*Q的子集个数为()A7B12C32D643当xA时，若x1A，且x1A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的全部孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M0,1,3的孤星集为M，集合N0,3,4的孤星集为N，则MN()A0,1,3,4B1,4C1,3D0,34设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*YU(XY)，对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z()A(XY)UZB(XY)UZC(UXUY)ZD(UXUY)Z5设数集Mx|mxm，Nx|nxn，且M，N都是集合x|0x1的子集，假如把ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集合

12、MN的“长度”的最小值是_.6设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集ABx|xA，且xB.(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集AB与BA是否肯定相等？说明理由；(3)已知Ax|x>4，Bx|6<x<6，求A(AB)和B(BA)学问点一函数的有关概念学问点二两个函数相等的条件1定义域_2_完全全都学问点三区间的概念及表示1一般区间的表示设a，bR，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间x|a<x<b开区间x|ax<b半开半闭区间x|a<xb半开半闭区间2.特殊区间的表示定义Rx|xax|x>ax|xax|x<

13、;a符号(，)a，)(a，)(，a(，a)学问点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法学问点五分段函数假如函数yf(x)，xA，依据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的_，那么称这样的函数为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的_，值域是各段值域的_学问点六映射的概念设A，B是两个_，假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_，在集合B中都有_确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射学问点七函数的单调性1增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1&

14、lt;x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间3单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则为减(增)函数学问点八函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数yf

15、(x)的定义域为I，假如存在实数M满足(1)对于任意的xI，都有_(2)存在x0I，使得_(1)对于任意的xI，都有_(2)存在x0I，使得_结论M是函数yf(x)的最大值M是函数yf(x)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值学问点九函数的奇偶性1函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)结论函数f(x)是偶函数函数f(x)是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分

16、母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数例1(2016年10月学考)函数f(x)ln(x3)的定义域为()Ax|x>3Bx|x>0Cx|x>3Dx|x3例2(2016年4月学考)下列图象中，不行能成为函数yf(x)图象的是()例3已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的单调递减区间是_例4(2015年10月学考)已知函数f(x)，g(x)ax1，其中a>0，若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是_例5已知函数f(x)满足对任意的x1<x2都有f(x1)>f(

17、x2)，求a的取值范围例6(2016年4月学考改编)已知函数f(x).(1)设g(x)f(x2)，推断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数例7(2015年10月学考)已知函数f(x)ax，aR.(1)推断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当a<2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减例8(2016年10月学考)设函数f(x)的定义域为D，其中a<1.(1)当a3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)；(2)若对于任意的x0,2D，均有f(x)kx2成立，求实数k的取值范围一、选择题1函数f(x)的定义域为()A(3,0 B

18、(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,12下列四组函数中，表示同一个函数的是()Ay与yxBy()2与y|x|Cy·与yDf(x)x22x1与g(t)t22t13若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()4已知f(x)是一次函数，且ff(x)x2，则f(x)等于()Ax1B2x1Cx1Dx1或x15设集合Ax|0x6，By|0y2，从A到B的对应法则f不是映射的是()Af：xyxBf：xyxCf：xyxDf：xyx6已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4B3C2D

19、17若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为()A2B2C2或2D08偶函数f(x)(xR)满足：f(4)f(1)0，且在区间0,3与3，)上分别递减和递增，则不等式x·f(x)<0的解集为()A(，4)(4，)B(，4)(1,0)C(4，1)(1,4)D(，4)(1,0)(1,4)二、填空题9已知函数f(x)若f(a)a，则实数a_.10设f(x)ax2bx2是定义在1a,1上的偶函数，则f(x)>0的解集为_11若关于x的不等式x24xa0在1,3上恒成立，则实数a的取值范围为_三、解答题12已知函数f(x)的图象经过点(1,3)，并且g(x)

20、xf(x)是偶函数(1)求函数中a、b的值；(2)推断函数g(x)在区间(1，)上的单调性，并用单调性定义证明13已知二次函数f(x)ax22ax2b在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求f(x)的解析式；(2)若b>1，g(x)f(x)mx在2,4上为单调函数，求实数m的取值范围答案精析学问条目排查学问点一1确定的不同的全体2每个对象学问点二1属于2不属于学问点三1确定性互异性无序性2(1)有限个(2)无限个3正整数集有理数集学问点四1一一列举出来2共同特征学问点五1任意一个ABBAxBxAABBA2(1)任何集合A(2)AA(3)AC(4)AC3集合B是集合A的子集(BA)4假

21、如AB, 则AB，且BA学问点六1属于集合A且属于集合B的全部元素x|xA，且xB2全部属于集合A或属于集合B的元素x|xA，或xB3BABAAAAAB4全部元素U5不属于集合AUAx|xU，且xA题型分类示例例1D例2AAB，2B，则a2.例34解析全集U2,3,4，集合A2,3，UA4例4AABA，AB.A1,2，B1，m,3，m2，故选A.例5B由B中不等式变形得(x2)(x4)>0，解得x<4或x>2，即B(，4)(2，)A2,3，AB(，4)2，)故选B.例6C图中的阴影部分是MP的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是IS的子集，则阴影部分所表示的集合是(MP

22、)IS，故选C.例7AAx|13x81x|0x4，Bx|log2(x2x)>1x|x2x>2x|x<1或x>2，ABx|2<x4(2,4考点专项训练1B集合Ax|1x5，Z为整数集，则集合AZ1,2,3,4,5集合AZ中元素的个数是5，故选B.2C由x25x60，解得x3或x2.又集合Ax|1x1，AB，故选C.3D4.C5AUB2,4,5,7，A(UB)3,4,52,4,5,74,5，故选A.6A由于全集U1,1,3，集合Aa2，a22，且UA1，所以1,3是集合A中的元素，所以或由得a1.由得a无解，所以a1，故选A.7DAx|x28x1503,5，BA，B或

23、3或5，若B时，a0；若B3，则a；若B5，则a.故a或或0，故选D.8D集合Ax|x216x|x4或x4，Bm，且ABA，BA，m4或m4，实数m的取值范围是(，44，)，故选D.91,21001解析A1，a，x(xa)(xb)0，解得x0或a或b，若AB，则a0，b1.114解析全集UxZ|2x42，1,0,1,2,3,4，A1,0,1,2,3，UA2,4，BUA，则集合B，2，4，2,4，因此满足条件的集合B的个数是4.121，)解析由x2x<0，解得0<x<1，A(0,1)B(0，a)(a>0)，AB，a1.133，)解析由|x2|<a，可得2a<x

24、<2a(a>0)，A(2a,2a)(a>0)由x22x3<0，解得1<x<3.B(1,3)BA，则解得a3.答案精析学问条目排查学问点一非空数集唯一确定从集合A到集合Bf(x)|xA学问点二1相同2对应关系学问点三1a，b(a，b)a，b)(a，b学问点五对应关系并集并集学问点六非空的集合任意一个元素x唯一学问点八f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M题型分类示例例1C例2A当x0时，有两个y值对应，故A不行能是函数yf(x)的图象例351，)解析f(3)log31，f(f(3)f(1)1245，当x1时，f(x)x22x4(x1)25，对称轴x1，f

25、(x)在1，1上递减，当x>1时，f(x)递减，f(x)在1，)上递减例4(0,1)解析由题意得f(x)在平面直角坐标系内分别画出0<a<1，a1，a>1时，函数f(x)，g(x)的图象，由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，有解得0<a<1，a的取值范围为0<a<1.例5解由题意知，f(x)为减函数，0<a<1且a3<0且a0(a3)×04a，0<a.例6(1)解f(x)，g(x)f(x2)，g(x)g(x)，又g(x)的定义域为x|x1且x1，yg(x)是偶函数(2)证明设x1，x22,3)且x1&

26、lt;x2，f(x1)f(x2)()()，x1，x22,3)且x1<x2，x1x2<0，x1x24>0，(x11)(x13)(x21)(x23)>0，综上得f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在2,3)上是增函数例7(1)解由于f(x)ax(ax)f(x)，又由于f(x)的定义域为xR|x1且x1，所以函数f(x)为奇函数(2)证明任取x1，x2(0,1)，设x1<x2，则f(x1)f(x2)a(x1x2)(x1x2)a(x1x2)a由于0<x1<x2<1，所以2(x1x21)>2,0<(x1)

27、(x1)<1，所以>2>a，所以a<0.又由于x1x2<0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减例8解(1)单调递增区间是(，1，单调递减区间是1，)(2)当x0时，不等式f(x)kx2成立；当x0时，f(x)kx2等价于k.设h(x)x(|x1|a)当a1时，h(x)在(0,2上单调递增，所以0<h(x)h(2)，即0<h(x)2(1a)故k.当1<a<0时，h(x)在(0，上单调递增，在，1上单调递减，在1，2上单调递增，由于h(2)22ah()即0<h(x)2(1a)故k.当0a1时，h(x)

28、在(0，上单调递增，在，1a)上单调递减，在(1a,1上单调递减，在1,1a)上单调递增，在(1a,2上单调递增，所以h(1)h(x)maxh(2)，h()且h(x)0.由于h(2)22a>h()，所以ah(x)22a且h(x)0.当0a时，由于|22a|a|，所以k；当a1时，由于|22a|a|，所以k，综上所述，当a<时，k；当a<1时，k.考点专项训练1A要使函数有意义，则即故3<x0.即函数的定义域为(3,0，故选A.2D在A选项中，前者的y属于非负数，后者的y0，两个函数的值域不同；在B选项中，前者的定义域x0，后者的xR，定义域不同；在C选项中，前者定义域为x>1，后者为x>1或x<1，定义域不同；在D选项中，两个函数是同一个函数，故选D.3B4Af(x)是一次函数，设f(x)kxb