同济大学线性代数第六版答案(全)

1、第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1(1) 1 4 1； -18 32 0 1 解 1 一4 一1-18 3=2x(-4)x3+0x(-1 )x(-1 )+1 x 1x8 -Ox 1 x3-2x(-l)x8-l x(-4)x(-l) =一24+8+16-4=一4.=(a-b)(b-c)(c-a)xyx+y(4) y x+y x .x+y xyxyx+y解 y x+y xx+y x y =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3_a+y)3_x3 =3x)x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列

2、各排列的逆序数:(1) 1 2 3 4;解逆序数为0(2) 4 1 3 2;解 逆序数为4: 41,43,42,32.(3) 3 4 2 1;解逆序数为 5: 32,3 1,42,4 1,2 1.(4) 2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1,41,43.(5) 1 3(2几一1)24(2砒;解逆序数为咛2:3 2(1 个)5 2, 5 4(2 个)7 2, 7 4, 7 6(3 个)(2/i-1)2, (2/1-1 )4, (2n-l)6, ,(2n-l)(2n-2) (n1 个)(6)1 3(2n-l)(2n) (2n-2) 2.解逆序数为h(h-1):3 2(1 个)5 2,5 4(2

3、个)(2/1-1 )2, (2/1-1 )4,7-1)6,，(2n-l)(2n-2) (n-1 个)4 2(1 个)62,6 4(2 个)(2/1)2,2)4, (2Q6,(2n)(2n-2) (n-1 个)3. 写出四阶行列式中含有因子弘如的项.解 含因子。皿23的项的一般形式为(-1)。皿23。3 皿4$,其中小是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42. 所以含因子3如的项分别是(一 1 Ya 11233244=(- 1)d 11。23。32。44=一。11。23。32。44,(一 1)% 11。233442=( 一 1112334。42= 11233442 计算下列各行列式：-

4、2341100.020042342312020242362021-123O41100420720212 5 1 41100+C3q+ 2ijn(n+l)十厂口-ot)n+li j1S+D卄(川-1)+1= (_)丁 (_1)2 口d)+1习左1=mn+ijbn(4)gh C dD2n =ClJ0（按第1行展开）-1 00 0Cln-bn-+（_1严苗Cn-Cna b C dd n-l0再按最后一行展开得递推公式D2n=a叙“D2口一2即 2口=（如心bnCn）D2n-29于是2“=Haa -也）a/=2而2 = ? 5 =如1-如,eI U1所以 D2n=fl（aX 一 ”）f=l（5） D=

5、det（殉）,其中 an=i-j 解 Qij=IT，00Cln-bn-q=det（a“）=0123 n-1012 n-2231 20 11 0 /I-3 n-4n- n-2 n-3 n-4 000Cln-bn-L3111-1111-1 -1 1 1-1 -1 -1 1-1 -1 -1 -1 n- n-2 n-3 h-40C2 + C|-1-1-1-1O-2-2-2-OO-2-2OOO-2OOOO - 7=(l)f 一1)2 心.(6)2 =1+d111+2 ，其中如O1+%C2C300 001a20 0010。3 001 0 0 0 一 an-l 1000 01+匕1+4100-1100 0

6、00 0 00 0卸0 0a10 0可0 一1 1+町=%21000001000001000000100000an-a1+茁1=1二仗角吗)(1 +=%2=%28.用克莱姆法则解下列方程组:X西+兀2 + “ +兀=5(1)X)+ 2x七+=2 . 2兀|一3%2兀35兀4=一2， 3xi+x24-2a3 + 1 1x4=0解因为4+51 4 一 1 n-2 2-31 123 nr1T5114 - 1 n1 - - 25 = 0112 3=%2=%291=112 -315 -2 -2014 -511=426,D.=1112 -311-1-125 -2 -20=142VD=1,%2=吕=2,兀3

7、 =3Q_D1.45-l=000650065106510oooooo5x)4- 6x2=1Xj+5x2+6=0%24-5%3+6%4=0.花+5“+6抵=0x4+5x5=1566=0006500651065106510051000=D=1507, D产0 0 0 650065106510651001 o o o 1(2)000651 o o o 1065106510051000000650065looo6510051000-22u2匸CT】00651 06510 65100 51000=2所以兀二講，兀=雳1145.=703665，小壶1507X,=_665）加+左+禺=0 西+中；+禺=0有

8、耳F Xj+2px2+x3=0零解?解系数行列式为A 1 1 d= 1 “ i =“一0.1 2“ 1令0,得/z=0 或 A= 1.于是，当0或心1时该齐次线性方程组有非零解.(12)兀2%2+4x=0 10问A取何值时，齐次线性方程组2西+(3-刃+苗0xI+x2+(l-X)x3=O有非零解？解系数行列式为1-/1-24 I|1几一3+久4D =23-A1=21-21111 -彳1 101-A=(1 -A)3+( A-3)-4( 1 -A)-2( 1 -2)(-3-2)=(1 /i)+2( 1 2)+23.令0,得2=0,启2或启3.于是，当启0,启2或启3时，该齐次线性方程组有非零解.第

9、二章矩阵及其运算1.已知线性变换：西=2开+ 2力+为兀2=3升+ %+5为，无=3+2%+3%求从变量X,兀2,占到变量力,旳,旳的线性变换.解由已知：?| 2 2 V- y y zr kxJz2 3 3 z( kzr Lxy1=-7xI-4x24-9x3 j2=6x1 + 3x2-7x3 歹3=3兀+ 2兀2_4兀32.已知两个线性变换西=2必+儿72=一2必+3力 + 2儿，七=4必+ %+5为求从Zl, Z2, Z3到X1,兀2,兀3的线性变换.解由已知/ 201）（2 0 1丫一3 1 0）/ 、x2二-2 3 2-2 3 22 0 15l切1 5丿I 4 29 -2丿(111)(1

10、2 3)f0 5 8)B =1 1 -1-1 -2 4=0 -5 6U j 1丿l0 5 1 丿(2 9 0j4.计算下列乘积:4x7+3x2+lxl lx7+(2)x2+3xl 5x7+7x2+0xl(35)6(49丿Hz(x3+2x2+3xl)=(10).2(3) 1 (-1 2);匕丿3一1)2x2、-2 4)1(-1 2)=1x(-1) 1x2-1 2(3丿.3x(-1) 3x2丿 f 8 14) 5人2 5； 114 29丿,(入A2 + 2AB + B2= ?10 16(15 27所以(A+B)2A24-2A5+fi2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2 吗? 解(A+B)(A

11、-ByA2-B2.因为A + B彳:划,4哪1（+）（=（；訓诩A2B2 =(3 8(4 118 72 1O 4故（人+）（4一）打一庆.6.举反列说明下列命题是错误的:(1) 若人2=0,则 A=0;解取心閉初，则从但辰(2) 若 A2=A,则 A=0 或缶E;解 取A=f()则“以，但朋0且AhE.若AX=AY,且AhO,则心丫.IjllJ AX=AY,且 AhO,但 XhY.(:彳，求“，八,卅.解A2 =(1 0丫1 ()_( 1 0) a 1人；I 1丿一 1丿,A = A2A =(A 1 0)&设人=0几1 ,求屮.1() 0几丿解首先观察2 1 0丫几 1 0、22 22 1 )

12、A2 =0 2 10 2 10龙220 0兄人0 0乙3 o為A3 = A2A =A4 = A3-A =a = a4A =、 丿A丿 3/l2A3o4/l3才 O 力0 O 才o O zr Lx zr Lx、 Jx u32425 n 5 / 524才0 才o o处k座处-2Ak_2A 一 0元加(0 0处用数学归纳法证明： 当k=2时，显然成立.假设时成立，则+1时，2於北o來 o O 2)Y3Ao2 1 z/nv 1-213-1O0-2=、 丿o 1 ogooK X /o 1/o 1 o zr kxO-4-22 1 1ilooY3-401 2zro 1/loorolojloo3 J o-4O

13、-212 1V Ao o 113. 利用逆矩阵解下列线性方程组:*丙+ 2兀2+3禺=1(1) 2西+2呂+5兀3=2;3兀+5兀2+冯=3解方程组可表示为zr lxXN1 J7 K花禺zr kloo Y J= 72 33 5 12 2 5 12 3 L、 丿 西EXT kxX = 1从而有5=0 甘0(2)A(A-E)=2E=/r%(A_E)=2?rZ= AT =*(A - E),又由 A2-A-2E=O=(A4-2E)A-3(A+2)=-4En (A+2E)(A3E)=4 E,所以(4+2E)“S+2E)(A3E)=4(4+2 E(A+2)-,=|(3-A).16设A为3阶矩阵，IA冷,求

14、l(2A)j-5A*I.解因为所以141I(2A尸-54*1里肝-51AI小 丄肝-头 I2 2 2=I-2A_1 l=(-2)3IA_11=-8 IA l_1=-8 x2=- 16.17. 设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且 (A*尸=(力7)*证明 由肝=丄/笃得卅=* 所以当A可逆时，有 AL4*I=I4IIAT|=L4Lh(),从而A*也可逆.因为A*=L4I/Tl所以G4*)=L4A.又所以G4*)T=L4A=L4L4IG4T)*=(qT)*18. 设舁阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：(1) 若=0,则|4*|=0;(2) L4*l=Wr,.证明用反证法证明.假设L4*IhO,

15、则有A*(A*)i=E,由此得A=A A*(4*)T=L4IE(A*)T=O,所以AO,这与S*IhO矛盾，故当IAI=0时,有L4*l=0(2)由于右=丄；4*,则AA=AE,取行列式得到14114*1=141.若工0,贝0L4*l=L4r,;若AI=0,由知LVI=0,此时命题也成立. 因此 w*i=wr,.(019.设心13)0 ,AB=4+2B,求 B.3丿解 由 44A+2E 可得(4-2E)B=4,故-2 3 3)-110 3 3、(0 3 3)B=(A-2E)A =1 -1 01 1 0-12 3A*BAH2BAI8E、d*0 C/RAIQFhi8e(a*i2e)一HI8(L4_

16、EI2ALHI8I2E2AL=4(E+A1H4&agp丄 2)1H4diag 平一也H2dE-gp2 二).22 Y jo30 00 0一 0解 由L4*I=WP=& 得L4I=2由 ABAl=BAl+3E 得A3=3+3 A,B=3(A-E)1A=3A(E-A-1)_1A=3( E - *4* 尸=6( 2E - A* 尸23o - o0 10 3o o 0-6r610A 求4 1解 由PAP=,得A才AP,所以A=A=P(2731 2732)1_683 -684)-1 1 1)pi )24.设 AP=PA,其中 P =1 0 -2i ,1 -1 1 丿I 5丿求仅 A)*(5E-6A+q2

17、).解災 A )=A8(5E-6 A+A?)=diag(l ,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(l ,1,25)=diag( 1,1,58)diag(l 2,0,0)= 12diag(l ,0,0). 久4)=P 仅 A)K1 1)( 0 0Y-2 -2 -2)0 -20 0 0 -3 03-1丿10 0 OA-1 2 -1J*111)ILB及A+B都可逆，证明也可逆，并25.设矩阵A、求其逆阵.证明因为A 一| (A+3)3=沪+4 一 9 “ + A,而f (A+B)沪是三个可逆矩阵的乘积，所以屮(4+3)沪可逆, 即A+B可逆.(4+-1)-1=4-

18、1(4+3)一|厂|=3(人+3)一仏.26.(1 2 10)fl 031)0 10 10 1 2 -10 0 2 10 0-23(0 0 0 3丿l0 0 0 -3丿计算,A =设“(3 1(2-1-2 3)0 _3丿,(2 1丫_2 3)_(-43)2 3人 0 3 丿0 一9丿,所以坊丿 I。 AoB2 ?QoSi27.28.IAIo o o0 2 02 10 01 o o o zr k2 10 01 o o o zf kx、 丨3 2 2 0 o 1 o o，验证取 A = B=C = Z) =A B C ICIIAI BD 0-10010-101_0_12 0 00 2 i02-io

19、 ；i q_oo -10 1qi o20 1=4,B_ 1ici ir)|i 1=0,IAI B c Dr ici ior3 44 一3,求汕及屮4)4_3丿)2丿A8 =人0丫=(皆O) O ) o 砂r54 0A4 =A4 00 54卫d=、o24 026 24J29.设舁阶矩阵A及$阶矩阵3都可逆，求(O AX_(C g IB O 一 G Gc.=A c4=o(O A(C CJAC. ACA(En O w o)c3 cJbc bc2)-o EJ由此得心 心O BC、= O R bc2=es所以(O A、-1(0 L)0丿占。丿o B(c卽唯;釣则ACr AD,、CD + BD3 CD?

20、+ BD4 丿O-B- 一一-一一4胡由此得ad2=oCD、+ 8比=0 CD2 + BD4=Es(A 0V_(肝 0 C B)B*所以30.求下列矩阵的逆阵:2 1052 0X1J2J5 2/I= A 设o o2 52 5o o2 5o o-B2 53 8zf k=-I2 15 2 zrr 一一(A、*IB丿k1/3 1 zr L nrB0 0 0 40 0 3 10 2 12 n n n / Ir52OOKo 2A 设2 12o o o 1-424221-8第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵:x 7 -11-3 2 3 4 o o o 12 3 /r kx10 2

21、解 2 0 31 (下一步:厂2+(-2)门,n+(-3)n.)(3 0 4 -3丿、丿4 3 0o o o loo (下一步:(-1),呼(-2).)4 3 0 _ _2 11 o o O1 o Ozr(下一步 n-r2.)（下一步：呼3.）2 10 o o O loo zrnoe（卜一步：厂2+3厂3）o o o1 0 2 1)0 0 10 (下一步：门+(-2)门,八+卩)0 0 0 1丿o 1/o o o loo7 I3 4 7 _ _ _2 3 4sow2)oooo o zoo ooo巾E O0 0_ o oooo寸寸e zcn cm o o Iz e o o Io ooT o o

22、o1 o o oE寸E SI I I T o o o 一 o o oJ/($ (CITCOE 系 1$)寸8 9 O(wcc,cei -朵 1$)el 寸 El e e e 寸El 寸 Ell(23 1 -3 -7)(4)12 0-2-4w 3 -2 83 0(2 -3 743丿一7)-403丿（下一步：口一2门，口一3, r4-2r2.）(23 1 -31 2 0-23-2 83(2 -3 74 011 1 1)1 2 0-2-40 -8 8912 (卜一步：+2八，-8八，-7口).0 -7 78 1L f0 1 0）2.设O 11 Ozfloll12 0 02-173 4 02-00 o

23、 1 o o 1 o o o、 丿12 4 4（下一步：口广2-1）, r4-r3.）（下一步2+口）14 7 zf x=、 丿 n 1A o 1 o loo zr LIAoov loo o 1 o解 I o 0是初等矩阵E（l,2）,其逆矩阵就是其本身. （0 0 1丿fl 0 1)0 1 0是初等矩阵(1,2(1),其逆矩阵是 (0 0 1丿-1O 1o 1 o4 7o oo oo 1 o zr kx nrA、 丿3 6 92 5 8o 1 o5 2 8r4l J2 2 25 2 8 7o1)5 ；3丿3.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:(3 2(1)3 1(3 2(3 2 1 1 0 0、3 2 11 0 0)3 15 0 100-14-1 1 03 2 3 0 0 k /0 0 2 -101解7/2 2 -9/23XTOKOQ 2-13 ozrOK1 0 0 7/6)1 0 一1)0 1 -1/22/3 一3/2)-1 20 1/2 J、 丿3-221-22 - 3-1o- 7-6-11 2 zr Lx故逆矩阵为23ZTO 07O-3O0 14-2021 -21321-214231000-21321222/、 丿 -2-16 O2 O-1 r-ZIP6 O111 1 -2 一4)