合工大2010级考研数值分析试卷

1、2010 级一、填空题（每空2分，共20分）1. 近似数x* =2.315关于准确值x = 2.31565有 3位有效数字，相对误差是0.0002807 或 0.0002808 .解 x =2. 3 15650. 231 5匕定 15 二1x x* =0.00065 =0.065汉10, c0.5汉 10， n m 丨=2m 丨=-2 二 丨=3相对误差为1#:0.0002807:0.0002808 .2. 若 f(x) =x7 -2x设函数 f(0.9)1.2178, f(1) = 1, f(1.1) = 0.6018,用三点数值微分公式计算f的近似值为 3.08, f (1)的近似值为18

2、.04._23 设 A = j，贝卅 A = 8 ，Cond(A)竺二 36 ./ -5一lAmaxi 2+ 4 , 3 侍 5 (列范数)，.1-5-315 3A = I1=_ I ,2 -4 -2 一 2 4 2 一A 二;= max' -2 3, 4 -5 ； = 9,(行范数)A* 二=max5. 2 3 2, 2 1 ； = 4,Con d(A£ = |AAjL = 9S = 36. 3，贝U fD01, ,37=_， f 30,31/ ,38 =0解 f 30,3 1 ,3 7 = f( 4)=©=1, f 3 ,3 Z1 ,3 ? f U)=2 = 0

3、. 7!7!8!8!其中1介于30,31/' ,37之间，；介于30,31/ ,38之间。5. 设x*是方程f(x) =0的3重实根，则求x*的改进的Newton迭代公式为Xk="3 壮心26.设函数f(x)二ex, p2(x)是以0, 1, 2为节点的f (x)的二次Lagrange插值多项式，工则余项 e* - P2(x)二一,x(x-1)(x-2),其中介于 0,1, 2, x 之间。3解f 1”(尹)23 -2 -e - p2(x) 一(x-0)(x _1)(x-2) 一x(x-1)(x-2)3!3!4e °x(x-1)(x-2)，其中 介于0, 1, 2与

4、x之间。 3(本题满分8分)对下列方程组2x1 6x2 3x3 = 3, x2X2 4X3 二 5,4捲一2x2x3 = 2建立收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Gauss-Seidel迭代公式，并说明理由解调整上述方程组的次序，得4X1 -2X2X3 =2,2x1 6x2 3x3 二 3, x1 2x2 4x3 二 5.据此建立Jacobi迭代公式X1(k 1(2x2k)-x3k)+2), =(-2xr-3x3k3), x3" 1 -x -2x2k) - 5 ,和Gauss-Seidel迭代公式x1卄专(2x2kx/f ,r2k+1完卜2X1册丄)3x3k¥ 3 ,x3k

5、14 -X1k(丄 2xT 5).因为调整后的方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以据此建立的Jacobi迭代公式及Gauss-Seidel迭代公式所产生的序列x(k)都收敛。三(本题满分10分)已知列表函数X0123f(X)0-5-63用差商法求满足上述插值条件的 Newton插值多项式(要求写出差商表) 解构造差商表Xif (x)一阶差商二阶差商三阶差商Xo =0f (x°) =0X1 =1f (xj = -5f X°,为=x2 =2f (x2) = -6f X1,X2>-1fX),X1,X2 =2X3 = 3f(X3)=3f X2 ,X3 =9fX1,X2,X3

6、】=5fX0,X1,X2,X3】=1所求Newton插值多项式为P3(X)=f(Xo) fXo,Xi(X -Xo) fXo,音,X2(X-Xo)(X-Xi)fXo,X,X2,X3(X-Xo)(X-X)(X-X2)= 0-5(x-0) 2(x-0)(x-1) (x-0)(x-1)(x-2)二 _5x _x1 (2)分别用两点古典 Gauss公式及Simpson公式计算Iexsinxdx的近似值。解(1)因为两点Gauss型求积公式具有3次代数精度，所以上述求积公式 若是Gauss型求积公式，则当f(x)=1, x, x2, x3时，上述求积公式应准确成立, 由此得： x3.四(本题满分16分)(

7、1)确定xi, X2, A, A，使下面的求积公式为 Gauss型求 积公式1.(x)dx： Af(xJ A2 f (X2).3卢2= A+ A?,0 = AX * A2 X2,2/3 = A-jX2 + A2xf,330=入洛 +A2x2,解得片=_1/ f3 ,x2 = yv3,A- =1,A2 = 1.1故所求两点Gauss型求积公式为f (x) dx ： f - 1 f 1 .1、(2) 对 Iex sinxdx ,被积函数为 f(x)二 exsinx .11用上述两点Gauss公式计算Iex sin xdx的近似值：1exsin xdx exp -吉n(亠罷)+ exp培 Jsin培

8、)=0.665844;1用Simpson公式计算Iex sin xdx的近似值：exsinxdx ： 1 ； ° f (一1) 4 f (0) f (1)11 - a01n=一 e sin( 1 )+4He ><sin0+esin1= 0.659265.3 -1准确值：丨sinxdx".6634936666312411五（本题满分10分）已知方程x3-2x-1 =0在怡=1.5附近有一个实根x .（1）取初值X。=1.5，用Newton迭代法求x*（只迭代两次）。（2）取初值X。=1.5,为=1.6，用弦截法求x*（只迭代两次）。解（1）f (x) =x3 -2

9、x-1， f (x) =3x2 -2，据此建立 Newt on 迭代公式XXkj3f (xkJ)Xkj -2xk4 -1xk42f (Xkj)3X2-2k =1,2,取初值X0 =1.5，贝Ux0 2X0 1彳 1.5 _2疋1.5-1A t-nxx00 2 01.521.63158,3x2-23 1.52 -2X2X1x； -'2x1 -13xf -2= 1.63158 -1.63158-2 1.63158-123 1.63158 -2= 1.61818.（2）弦截法格式为4xk J xk 2f (Xk) - f(Xf (Xk)5#=xk JXkl 2xk 11 xk_22xk_21

10、xk J _ 2xk J _ 1, k = 2,3,.#取初值 x0 =1.5, x, =1.6，代入上式计算得：x2 =1.61996, x3 =1.61800.六（本题满分10分）求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式，取权 一=1 ,i "1,2,3.i0123xi1234yi1.33.54.25.0解根据题意，得m=3, n=1, o(x)=1, l(x)=x.=1 (i 71,2,3)Xo = 1,x1 2, x 3,X3 = 4,yo 二1-3, y1 =35, y2 =42,y3 =50,3Co,0)八 11 =4,i=03(唧 1)=迟 1" =10,i=0

11、33(1,0)=" xi 1 10,(1,1)= " x xi= 30,i =0i =0得法方程组14 10卜=14：10 30g_*0.9一解得G =0.55, g=1.18.于是，所求多项式为3( ：°,f)八 1 yi =14,i=03( 1, f) = » Xi yi =40.9.i=0Pi(x) =0.55 1.18x七（本题满分16分）（1）设初值问题dH（®，.y（t0）= y°.证明Euler方法是求解上述初值问题的仅有一阶精度的数值方法6 用改进的Euler方法求下列初值问题（取步长h = 0.5）啦二空，0：mi,

12、gdt 1+ty(0) =i.证 设头二 y(tn)，则 y (tn) = f (xn, 丫(切).将y(tn i)在tn处作Taylor展开 h2y(tn 1)= y(tn h)二 y(tn) h y (tn) y ( )， tn ： tn -12!由Euler方法得yn 1 *n h f (tn,yn) =y(tn) h f (tn,y(tn) = y(tn ) h y (tn )上面两式相减得y（tn .J - yn i =占 y （ ） = O（h2）,于是p1 = 2 = p =1，即：Euler方法是具有一阶精度的数值方法证毕!解(2)根据题设知f(t,y)二3y，则改进的Eule

13、r方法的计算格式为1 +t% 1 二 yn h f(tn,yn),J山yn 1 *n 2 f (tn,yn) f (tn 1, Yn i)L由 y° 二 y(0) =i， h =0.5，得3汇1yi = y0 h f (t0, y0 ) 1 0.525,1+0h- 2+-0.5 3J .4 =32111 0 1 0.5y2 = yih f(ti,yi)=3 0.5 -3 =6,1+0.5y2yih i_ 0.53 33 6= 6.75.8#下面2题任意选做1题。八（本题满分10分）设S（x）是0,2上的三次自然样条:S°(x) =i 2x -x ,S(x)二Sdx)=2+b

14、(xi)+c(xi)d(x-i)3,0 - x ： 1,1 x 2.#求 b, c, d .#解 因为S(x)是0,2上的三次自然样条，所以有&(1-0)仝1(10),S)(10)=Si(10),S (2)占=0,即2-3x2 心二 b 2c(x-1) 3d(x-1)2 心 心乂厂氐6d (x-,12c 6d (x-二，0亦即-1 二 b,-6 二 2c,2c 6d = 0.解得b - -1, c - -3, d =1.八(本题满分10分)设迭代矩阵M的某种范数M二q ：1，证明迭代公式x(k1)=M x(k) - d , k= 0,1,2,对任意初值X(0)都收敛到线性方程组x = M x d的解x，且有估计式x(k) - x(k4)其中M Rnn