大一课程线性代数线代

1、线线 性性 代代 数数线性代数序言线性代数序言二、课程特点二、课程特点 掌握三基掌握三基基本概念基本概念 ( 定义、符号定义、符号) 基本理论基本理论 ( 定理、公式定理、公式) 基本方法基本方法 ( 计算、证明计算、证明) 提前预习提前预习体会思路体会思路 多动手，勤思考多动手，勤思考深入体会思想方法深入体会思想方法 培养培养自学能力，独立分析问题能力自学能力，独立分析问题能力 和独立解决问题的能力和独立解决问题的能力三、学习方法三、学习方法第一章第一章 矩矩 阵阵1.1 矩阵的基本概念矩阵的基本概念 一一. 矩阵与向量矩阵与向量 二二.几种特殊矩阵几种特殊矩阵一一. 矩阵的线性运算矩阵的线

2、性运算三三. 矩阵的转置矩阵的转置1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 二二. 矩阵的乘法矩阵的乘法例例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品. A =20 50 30 2516 20 16 16 B =200 180 190100 120 100150 160 140180 150 150 单价单价 (元元/箱箱)重量重量 (Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京 苏州苏州 常州常州啤酒啤酒(瓶装瓶装)2016200180190啤酒啤酒(易拉罐易拉罐)5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤25161801501501.1 矩阵的基本概念

3、矩阵的基本概念 例例2. 四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示. 若若aij表示从表示从i市市 到到j市航线的条数市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1 42 3A = aij =0 1 1 11 0 0 00 1 0 01 0 1 0 一一. 矩阵与向量矩阵与向量 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211称为称为mn 阶矩阵，其中阶矩阵，其中aij 称为矩阵的元素。称为矩阵的元素。矩阵用大写字母表示：矩阵用大写字母表示：实矩阵与复

4、矩阵实矩阵与复矩阵 ijnmijnmaaAA1. 矩阵定义矩阵定义 具有相同行数、列数的矩阵称为同型矩阵；如具有相同行数、列数的矩阵称为同型矩阵；如果两个矩阵是同型的，并且对应位置的元素也相果两个矩阵是同型的，并且对应位置的元素也相同，则称它们是相等的。同，则称它们是相等的。2. 矩阵相等矩阵相等3. 零矩阵与负矩阵零矩阵与负矩阵 规定两个特殊的矩阵：规定两个特殊的矩阵： (i) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵， 阶零阶零矩阵记作矩阵记作 或或 。nm nmo o (ii) 称矩阵称矩阵 为为 的负矩阵，记的负矩阵，记为为 。nmija nmijaAA4. 方阵：行数与

5、列数都等于方阵：行数与列数都等于n 的矩阵，称为的矩阵，称为n 阶方阶方阵或阵或n 阶矩阵；阶矩阵；5. 向量：只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量；向量：只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量；只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量；例如例如2222222613是一个是一个3 阶方阵。阶方阵。naaa,21n维行矩阵维行矩阵naaa21n维列矩阵维列矩阵 44 11阶矩阵阶矩阵 1. 对角矩阵对角矩阵D = diag(d1, d2, , dn) =d1 0 0 0 d2 0 0 0 dn0,ijaji二、特殊矩阵二、特殊矩阵 2. 数量矩阵数量矩阵dddA 3. 单位矩阵单

6、位矩阵EEn111 4. 三角形矩阵三角形矩阵 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann 上三角矩阵：方阵的主对角线以下的元素全为上三角矩阵：方阵的主对角线以下的元素全为0 下三角矩阵：方阵的主对角线以上的元素全为下三角矩阵：方阵的主对角线以上的元素全为00,ijaji0,ijaji5. 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 满足下列条件的矩阵满足下列条件的矩阵A称为行阶梯形矩阵称为行阶梯形矩阵 （1）若）若A有零行有零行(元素全为零的行元素全为零的行)，则零行位，则零行位于最下方于最下方; （2）非零

7、行的非零首元）非零行的非零首元 (自左至右第一个不为自左至右第一个不为零的元，称为主元零的元，称为主元) 列标随行标的递增而递增。列标随行标的递增而递增。1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 满足以下条件的行阶梯矩阵称为行最简形矩阵满足以下条件的行阶梯矩阵称为行最简形矩阵 （1）A的每个非零首元均为的每个非零首元均为1; （2）非零首元所在列其余元素均为）非零首元所在列其余元素均为0。1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0行最简

8、形矩阵行最简形矩阵单位列向量单位列向量1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 1. 加法定义加法定义一、矩阵的线性运算一、矩阵的线性运算 设有两个设有两个mn阶矩阵阶矩阵A = ( aij )，B = ( bij )，则，则称矩阵称矩阵 C = ( aij + bij ) 是是A与与B的和，记作的和，记作C = A + B。例如例如:12345698186309153121826334059619583112986447411132. 加法运算律（加法运算律（4条）条） ABBA1 CBACBA2 AA 03 0)(4AA3. 数乘定义数乘定义 设设mn阶矩阵阶矩阵A = ( aij )，k是数

9、，则矩阵是数，则矩阵 ( kaij )称为称为k与与A的数乘，记为的数乘，记为kA。4. 数乘运算律（数乘运算律（4条）条） （设（设A、B为同型矩阵，为同型矩阵，k、l为数）为数） AA 15 kAllAkAkl)(6 lAkAAlk7 kBkABAk8 注：运算律注：运算律(1)-(8)是线性运算的基本性质，是判是线性运算的基本性质，是判别线性运算的标准。别线性运算的标准。 9 AXBXBA10000kAkA或矩阵的线性运算还满足：矩阵的线性运算还满足：skkjiksjisjijiijbabababac12211njmi, 2 , 1;, 2 , 1该乘积记为该乘积记为 C = AB。二、

10、矩阵乘法二、矩阵乘法 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积是一个的乘积是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC 1. 定义定义例如：例如：222263422142 C22 16 32 816?A =20 50 30 2516 20 16 16 B =200 180 190100 120 100150 160 140180 150 150 单价单价 (元元/箱箱)重量重量 (Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京 苏州苏州 常州常州啤酒啤酒(瓶装瓶装)2016200180190啤酒啤酒(易拉

11、罐易拉罐)5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤251618015015018000181501675010480102409680AB 415003112101A121113121430B 例例1. 设设故故 121113121430415003112101ABC. 解：解： ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 1010686132A 例例2. AB是是 23阶矩阵，但是阶矩阵，但是BA不存在。不存在。98512332133B (1) (2) 3, 1, 231A42113B AB是是11阶矩阵，阶矩阵，BA是是33阶

12、矩阵，不相等。阶矩阵，不相等。 (3) 1111A1111B AB与与BA均是均是22阶矩阵，但不相等。阶矩阵，但不相等。0000AB2222BA * 如果满足如果满足AB = BA，则称，则称A与与B是可交换的。是可交换的。或者说：矩阵乘法一般不满足消去律：或者说：矩阵乘法一般不满足消去律： * 在一定条件下在一定条件下(A可逆可逆) ，矩阵乘法满足消去律。，矩阵乘法满足消去律。 说明说明(5)：与特殊矩阵的乘积：与特殊矩阵的乘积 请观察，对角矩阵请观察，对角矩阵D与与n阶矩阵阶矩阵A相乘时，相乘时，DA与与AD的结果，它们各对矩阵的结果，它们各对矩阵A作了什么变换？作了什么变换？ 数量矩阵

13、？数量矩阵？ 单位矩阵？单位矩阵？ 练习练习. 证明：上三角阵的乘积仍然是上三角阵。证明：上三角阵的乘积仍然是上三角阵。 3. 矩阵乘法运算律矩阵乘法运算律 BCACAB1 ACABCBA2CABAACB kBABkAABk3 ;4AEAAE 4. 方阵的正整数幂方阵的正整数幂A2=AA, Ak+1=AkAAkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl设矩阵设矩阵A 是是n 阶方阵，规定阶方阵，规定 方阵幂满足性质：方阵幂满足性质： 5. 方阵的多项式方阵的多项式 设设A为一个方阵，为一个方阵， f(x)为一个多项式为一个多项式 称之为方阵称之为方阵A的一个多项式。的一个多项式。f(x)

14、= asxs + as1xs1 + + a1x + a0 f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0E 1212A 23fxxx 23fAAAE 例例3： 1212123121212E3E 例例4. 设矩阵设矩阵A是对称矩阵，计算乘积：是对称矩阵，计算乘积：321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbbAbbT332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 331221111bababa =(333223113bababa 0010010010012A22

15、2002012kAA求设,001001 例例5. 00100100201222223AAA32323003033由此归纳出：由此归纳出：200021121kkkkkAkkkkkkk 下面用数学归纳法进行证明。下面用数学归纳法进行证明。 当当 k = 2时，结论显然成立；时，结论显然成立；假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，nk 1 nk001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA 所以对于任意的所以对于任意的k都有都有kkkkkkkkkkkA0002112111110010211nnnnnnnnnn 例例6. 关于关于Ak的计算的计算 201211,2 ,.1 若求， 11

16、,21 121 11,21 1212 2012 201112112 思考题思考题,ABn设设 与与 为为 阶阶方方阵阵 问问等等式式BABABA22 成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么? 答：答： ,22BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 BABABA 22.BAAB 1()?nnkkn knkABC A B 的的条条件件 将矩阵将矩阵A的行，换成同序数的列，所得到的新矩的行，换成同序数的列，所得到的新矩阵，称为阵，称为A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作AT。例如例如,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB 1. 转置定义转置定义 三、

17、矩阵的转置三、矩阵的转置 说明说明(1)：转置后矩阵的行，就是转置前的列；转：转置后矩阵的行，就是转置前的列；转置后的列，就是转置前的行。置后的列，就是转置前的行。 AATT1 TTTBABA2 TTAA3 TTTABAB4 2. 转置的运算性质转置的运算性质 例例7. 计算计算(AB)T102324171231102BA 解法解法1:102324171231102AB10131731401031314170TAB 解法解法2：TTTABAB2130121310272411031314170 如果矩阵如果矩阵A满足满足AT = A，则称矩阵，则称矩阵A为对称矩阵；为对称矩阵；如果如果AT =

18、-A，则称矩阵，则称矩阵A为反对称矩阵。为反对称矩阵。 说明说明(1)：对称矩阵和反对称矩阵的定义，也可以：对称矩阵和反对称矩阵的定义，也可以写成：写成：jiijaaji ,jiijaaji , A = ( aij )是对称矩阵是对称矩阵 A = ( aij )是反对称矩是反对称矩阵阵6010861612A 说明说明(2)：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等；反对称阵的对角线元素为零。相等；反对称阵的对角线元素为零。例如例如是对称矩阵是对称矩阵 例例8. 设列矩阵设列矩阵 满足满足 ，E为为n阶单位矩阵，阶单位矩阵， 。证明：证明：H是对称矩阵，且是对称

19、矩阵，且 TnxxxX,211XXTEHHTTXXEH2 证：证：TTTXXEH2TTTXXE2HXXET2是对称矩阵H2HHHT22TXXE TTTXXXXXXE44TTTXXXXXXE44EXXXXETT44 例例9. 证明：任一证明：任一n阶矩阵阶矩阵A，都可以表示成对称，都可以表示成对称矩阵与反对称矩阵的和。矩阵与反对称矩阵的和。 证证:TAAC设TTTAAC则CAATTAAB设TTTAAB则BAAT22TTAAAAA22BC命题得证命题得证C为对称矩阵为对称矩阵B为反对称矩阵为反对称矩阵 矩阵矩阵A = ( aij )为复矩阵，对为复矩阵，对A的每个元素取共轭的每个元素取共轭后得到的

20、矩阵，称为后得到的矩阵，称为A的共轭矩阵，记为的共轭矩阵，记为例如例如8532021iiiiA 1. 定义定义 四、矩阵的共轭四、矩阵的共轭z 记复数记复数z 的共轭为的共轭为 ijaA 8532021iiiiA 2. 共轭矩阵性质共轭矩阵性质AA ) 1 (AkkA)2(BABA)3(BAAB)4( TTAA)5(1.3 分块矩阵分块矩阵一一. 分块矩阵的概念与运算分块矩阵的概念与运算 矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。 在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵在矩

21、阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。 bbaaA110101000001 例如例如 A001aba110000b110 1B2B3B 即即, BEOAbbaa110101000001 aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O ,4321AAAA bbaa110101000001 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 说明说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的矩阵分

22、块时，同一个矩阵可以有不同的分块方法，应根据需要进行选择。分块方法，应根据需要进行选择。 2、矩阵分块一般形式、矩阵分块一般形式 矩阵矩阵A = ( aij )mn，在行方向分，在行方向分s块，列方向分块，列方向分t块，称块，称A为为st分块矩阵，第分块矩阵，第k行行l列子块列子块Akl是是mknl阶矩阵。阶矩阵。stssttAAAAAAAAAA212222111211smmm21tnnn21 各子块行数各子块行数 各子块列数各子块列数 mmskk1nntll1 说明说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依据问题需要，子块可以作元素运算。据问题需要，

23、子块可以作元素运算。 设设A、B是是mn阶矩阵，采用相同的分块法分块阶矩阵，采用相同的分块法分块将将A、B分块如下：分块如下：stssttAAAAAAAAAA212222111211stssttBBBBBBBBBB212222111211tsklklBABA则定义 注注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。 4、分块数乘、分块数乘 设设A是是mn阶矩阵，任意分块，阶矩阵，任意分块，k是常数，则定是常数，则定义义tsklkAkA 5、分块乘法、分块乘法设设A是是ml阶矩阵，阶矩阵， B是

24、是ln阶矩阵，阶矩阵， 即即A的列数的列数 = B 的行数的行数即即A的列分块法的列分块法 = B 的行分块法的行分块法分块分块A = ( Auv )sr B = ( Bvw )rt则则A与与B的乘积的乘积C = ( Cuw ) 是是st阶分块矩阵，满足阶分块矩阵，满足), 1;, 1(1twsuBACrvvwuvuw 注注. 分块矩阵乘积分块矩阵乘积AB中，每个子块：中，每个子块： （1）作为分块阵元素参与运算）作为分块阵元素参与运算 （2）作为矩阵也要满足乘法条件）作为矩阵也要满足乘法条件rvvwuvuwBAC1vwuvBA 例例1. 用分块矩阵法求用分块矩阵法求AB10110121001

25、00001A0211140110210101B 解：解：分块成把BA, 1011012100100001A 10011001A00001121 , EEO1A 0211140110210101B 11BE21B22B则则2221111BBEBEAOEAB2212111111BABBAEB又又21111BBA11012101112111012043114202141121221BA1333于是于是2212111111BABBAEBAB1311334210410101 说明说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程更简单，计算量更少。更简单，计算量更少。 6、分块转置、分块转置 设矩阵设矩阵A = (