2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试(4月)数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试（4月）数学（理）试题一、单选题1 1 已知集合A 1,0,1,2，B x|y lg（1 x），则Al B（）A A .2B B. 1,0C C. 1D D. 1,0,1【答案】B B【解析】求出集合B，利用集合的基本运算即可得到结论 【详解】由1 x 0,得x 1,则集合B x|x 1,所以，A B 1,0. .故选：B.B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B是解决本题的关键，属于基础题. .1_2 2 .已知复数z满足1 i，则Z= =（）zB B .丄1i22【答案】B B【解析】利用复数的代数运

2、算法则化简即可得到结论【详解】由-z11 i，得z1 i1 1 .所以，zi. .2 2故选： B.B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题3 3.已知向量a （.3,1）, b （3,3），则向量b在向量a方向上的投影为（ ）第2 2页共 2020 页A A.,3,3【答案】A AB. -.3【解析】投影即为b cos斗，利用数量积运算即可得到结论【详解】设向量a与向量b的夹角为由题意，得a,3 3所以，向量b在向量a方向上的投影为故选：A.A.【点睛】b cosa bIT2、32本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题4 4 .已知m,n为两条

3、不重合直线,为两个不重合平面，下列条件中,的充分条件是A A.m/n,m,nB B.m/n, m , nn,m/, n/D D.m n, m , n【答案】【解析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可【详解】对于 A A,当mn,m,n时，则平面 与平面 可能相交,/,故不能作为的充分条件，故A A 错误;对于 B B，当时，则/，故不能作为的充分条件,故 B B 错误;对于 C C,当n,m/,n/时，则平面 与平面相交,/,故不能作为的充分条件，故C C 错误;对于 D D，当，则一定能得到，故 D D 正确. .故选：D.D.【点睛】第3 3页共 2020 页本题

4、考查了面面垂直的判断问题，属于基础题5 5个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（10【答案】A A【解析】 根据题意，可得几何体，利用体积计算即可【详解】【点睛】 本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题.26 6.函数f(x) cos(2x)的对称轴不可能为()35A A xB B.xC C x 636【答案】D D【解析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】对于函数cos 2x，令2x -103iW故选：A.A.第4 4页共 2020 页kk，k Z，解得x乙3k Z，所以,第 4 4 页共 2020 页当k 1,0,1时，函数的对称轴为x故选：D.D.【

5、点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.7 7已知 f(x)f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x 4)f (x) 2x2，则f (3)()性质将f 3转化为f 1函数值，即可得到结论. .【详解】由题意，f x 4 f x，则函数f x的周期是4,所以，f 3 f 3 4 f 1,2又函数f x为R上的奇函数，且当x 0,2时，f X 2x,所以，f 3 f 1 f 12. .故选：C.C.【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题1 1 18已知数列an为等比数列，若36 37 38 26，且35 a9 36，则恳a;f(x),当x (0

6、,2)时,A A 18B B.18C C 2D D.2【解析】由题设条件f x 4f x，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的13131818B B.兰或空181836136【答案】A A【解析】根据等比数列的性质可得2asa9a6a8a?36，通分化简即可【详由题意，数列an为等比数列，则asa9a6a8a?36,所以,第 4 4 页共 2020 页又a6a?a826，即a6a&26 a?,2第7 7页共 2020 页【答案】【详解】故F1PF2120故选：C.C.【点睛】【答案】【详解】111a7a ba6a8a6aya6aya8a6a7a836ay26ay36 26ay2ay

7、36a736ay故选：A.A.36aya6a836ay26 ay36ay36 ay3626ay3626ay1336ay36 ay18. .【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题2x9 9 椭圆一92-1的焦点为F1, F2，点P在椭圆上，若 l lPF2| | 2 2，则F1PF2的大小2为(A A 150B B.135D D 90【解根据椭圆的定义可得PFi2.7,再利用余弦定理即可得到结论由题FW27,PR由余弦定理可得cos F1PF2PF22，则PR 4,PF12|PF22F1F2216 4 2812lPFdPF22 2 42本题考查椭圆的定义，考查余弦

8、定理,考查运算能力，属于基础题1010 .已知a0.2,blog10.2,c2b.a，则a,b,c的大小关系是B B.cab【解利用函数x与函数ylog丄x互为反函数，可得2b 1，再利用对数运算性质比较a,ca,c 进而可得结论 PF26，又2第8 8页共 2020 页依题意，函数yy log丄2x关于直线y x对称，则第9 9页共 2020 页【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题序时，介绍了 勾股圆方图”，又称赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1 1）,类比 赵爽弦图”，可类似地构造如图（2 2）所示的图形，它是

9、由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F 2F A，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）【详解】 由题意，设AF a，则AF 2a，即小正六边形的边长为AF 2a,所以，FF3a,AF Fi，在AF F中，由余弦定理得AF2AF2FF22AF FFcos AF F,即AF2a23a22a 3a cos，解得AF、7a,3所以，大正六边形的边长为AF ,7a,0.2log10.2,20.2 log10.2log120.220.2.20.2150.212所以,c a b. .故选:B.B.11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元22222

10、2 年，赵爽为周髀算经一书作2 1313413【答案】D D【解析】设AFa，则AF 2a，小正六边形的边长为AF2a，利用余弦定理可得大正六边形的边长为AB = . 7a，再利用面积之比可得结论MlED第1010页共 2020 页所以，小正六边形的面积为s -2a 2a仝2 2a 2,3a6、3a2,22大正六边形的面积为S21.7a,7a出27a . 21a21. 32a222所以，此点取自小正六边形的概率P勺4S27故选：D.D.【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.2 21212 已知FI,F2分别为双曲线C：笃 爲1的左、右焦点，

11、点P是其一条渐近线上一a b点，且以F1F2为直径的圆经过点P，若PF1F2的面积为 乙3匕2，则双曲线的离心率3为（ ）A A .3B B.2C C.,5D D.3【答案】B B【解析】根据题意，设点P Xo,yo在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论 【详解】b由题意，设点P xo,yo在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为y x,aK所以，yXo,a又以F1F2为直径的圆经过点P，则OP c,即Xo y c2，解得Xoa,y ,12、322、32422所以，SPF1F22c y0c b,即c，即c c a,2333所以，双曲线的离心率为e 2. .故选：B.B.【点睛】本题

12、主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a与c的关系，属于基础题 二、填空题531313 在2 x的展开式中，x x3项的系数是 _ (用数字作答)第1111页共 2020 页【答案】40【解析】2 x5的展开式的通项为：C；25 r( x)r. .令r 3，得C；25 r( x)r40 x3. .答案为：-40.-40.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)(1) 求展开式中的特定项 可依据条件写出第 r r + 1 1 项，再由特定项的特点求出r r 值即可. .(2)(2) 已知展开式的某项，求特定项的系数 可由某项得出参数项，再由通项写出第 r r + 1 1 项,

13、由特定项得出 r r 值，最后求出其参数 1414 .已知两圆相交于两点A a,3, ,B 1,1，若两圆圆心都在直线x y b 0上，则a b的值是_. .【答案】1【解析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB与直线x y b 0垂直，且AB的中点在这条直线x y b 0上，列出方程解得即可得到结论 . .【详解】由A a,3, ,B1,1，设AB的a 1I I 勺中点为M,2,2根据题意，可得a12 b3 10，且kAB1,2a 1解得，a a1,b1,b2 2 ,故a b1. .故答案为：1. .【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂

14、直平分相交弦，属于基础题 1515 .若点P(cos ,sin )在直线y 2x上，则cos(2)的值等于24【答案】 -5【解析】根据题意可得sin 2cos，再由sin2cos21，即可得到结论. .【详解】1第1212页共 2020 页当 coscos综上，cos故答案为:【点睛】 本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题11 11616.已知数列an的前n项和Snan且a1，设f (x)44 4【答案】7 7【详解】由题意，得sin2cos，又sin2cos1，解得coscos当cos时，sin此时cossin 2、5 2、55此时cossin 22、55由题意

15、，当n1时,Siai1a1，又 a a142时，由Sn 1所以,anSnSn 12an2an 1，即an2an故数列3n是以丄为首项,42为公比的等比数列，故an2n3，所以，f log2a1f log2a2log2a717. .故答案为：7 7 . .sine2 x1，则f (log2a!) f (log2a2)L L f (log2a7)的值等于【解析】根据题意，当2，进而得数列an为等比数列,再计算可得f x2，进而可得结论第1313页共 2020 页【点睛】 本题考查了数列递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，计算得f x f 2 x 2是解决本题的关键，属于中档题 三、解答题

16、1717 在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c, 若V3a b(sinC J3cosC).(1 1)求角B的大小；(2 2)若A -,D为ABC外一点，DB 2,CD 1，求四边形ABDC面积的最大3值 【答案】(1 1)B(2 2)工234【解析】(1 1)根据正弦定理化简等式可得tan B、3，即B-；3(2 2)根据题意，利用余弦定理可得BC25 4cosD，再表示出SBDCsinD，表示出四边形SABCD，进而可得最值. .【详解】(1 1)Q .3a b(sinC ,3cosC)，由正弦定理得: 3si nA sin B(si nC 3 cosC)即.3cosBsinC

17、sinBsinC,QB (0,),B3在ABC中，si nA sin B C，则,3sin(B C)sin Bsi nC . 3 si n BcosC,Q sinC 0,、.3cosB sinB,tan B.3(2)在BCD中，BD 2,CDBC2,2小22 cosD5 4cosD又A勺，则ABC为等边三角形,SVABCsin一3又SVBDC丄BD DC sin D sin D,2SABCD罟sinD 3cosD罗2sin( D第1414页共 2020 页当D 时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为5-3 32. .64【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基

18、础题.1818 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出 停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习 某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取4545 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于 5 5 小时的有 1919 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120120 分的占,统13计成绩后得到如下2 2列联表:分数不少于 120120 分分数不足 120120 分合计线上学习时间不少于 5 5 小时4 41919线上学习时间不足 5 5 小时合计4545（1 1） 请完成上面2 2列联表；并判断是否有 99%99%的把握认为

19、 高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关 ”（2 2） 按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120120 分和分数不足 120120 分的两组学生中抽取 9 9 名学生，设抽到不足 120120 分且每周线上学习时间不足5 5 小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120120 分的学生中随机抽取2020 人，求这些人中每周线上学习时间不少于5 5 小时的人数的期望和方差. .（下面的临界值表供参考）P(K2ko)0.100.100.050.050.0250.0250.0100.0100.0050.0050.0010.

20、001k02.7062.7063.8413.8415.0245.0246.6356.6357.8797.87910.82810.828n(ad be)2(a b)(c d)(a c)(b d)【答案】（1 1）填表见解析；有 99%99%的把握认为 高三学生的数学成绩与学生线上学习时（参考公式K2其中n第1515页共 2020 页间有关” （2 2）详见解析期望12;方差4.8第1616页共 2020 页【解析】(1 1)完成列联表，代入数据即可判断；(2 2)利用分层抽样可得X的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知Y Y : : B(20,0.6)B(20,0.6)，计算出期望与方差

21、【详解】(1 1)分数不少于 120120 分分数不足 120120 分合计线上学习时间不少于 5 5 小时15154 41919线上学习时间不足 5 5 小时101016162626合计2525202045452245(15 16 10 4)Q K25 20 19 26有 99%99%的把握认为高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关20(2(2)由分层抽样知，需要从不足120120 分的学生中抽取94人,45X的可能取值为 0 0, 1 1, 2 2，3 3，4 4，所以，X的分布列:X0 01234PC：C：C；6CC4G36G；C：0C；0C2：c：。C：0从全校不少于 120120

22、分的学生中随机抽取 1 1 人，此人每周上线时间不少于5 5 小时的概率7.296.635P(X0)号，P(XC20C3C1) CC6，P(XC202)420P(XC1C33) CCC6，P(XC204)G；C20第1717页共 2020 页15为0.6，设从全校不少于 120120 分的学生中随机抽取 2020 人，这些人中每周线上学习25第1818页共 2020 页时间不少于 5 5 小时的人数为Y，则 Y Y ： B(20,0.6)B(20,0.6),故E(Y) 20 0.612,D(Y) 20 0.6 (1 0.6)4.8. .【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学

23、期望与方差的计算问题,基础题 11919如图所示，在四棱锥P ABCD中，ABCD,AD AB CD, DAB2(1) 证明：PC/面BEF;(2) 若PA PD，且PA PD，面PAD面ABCD，求二面角F BE弦值 【答案】(1 1)证明见解析(2 2)乙更13【解析】(1 1)根据题意，连接AC交BE于H，连接FH,利用三角形全等得FH进而可得结论；(2 2)建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角F的余弦值 【详解】(1) 证明：连接AC交BE于H，连接FH,Q AB CE, HAB HCE,BHA CHA,ABH也CEH,AHAH CHCH 且FH / /PC,Q

24、 FH面FBE,PC面FBE,PC/面FBE,(2) 取AD中点O，连PO,OB. .由PA PD,PO ADQ面PAD面ABCDPO面ABCD，又由DAB 60o,AD AB属于60,A的余/PC,BE A点E,F分别为CD,AP的中点. .第1919页共 2020 页OB AD以OA,OB,OP分别为x, y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,设AD1 12，则A(1,0,0),B(0, . 3,0),D( 1,0,0),P(0,0,1), F(-,0,-),2 2urn (0,0,1)为面BEA的一个法向量，JH设面FBE的法向量为n2(x0,y0,z)，Ul所以，平面FBE的法向量n2(

25、0, -3,6)，LT JJlM mn1,n262.39cosg, n/ -tru-，m n2v3913又因二面角为锐角， 故二面角F BE A的余弦值为2-39. .13【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注 意中位线和向量法的合理运用，属于基础题. .22020 已知倾斜角为4的直线经过抛物线C：x 2py(p 0)的焦点F，与抛物线C相uuvuv2x00EBuuu/uv0即01x0、3y1Z0022依题意,令y。 -、3，解得z6，x。0uuu UJUuu第2020页共 2020 页交于A、B两点，且| AB| 8. .(1) 求抛物线C的方

26、程；(2) 设P为抛物线C上任意一点(异于顶点)，过P做倾斜角互补的两条直线11、12,2交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线I的倾斜角为 ，直线CD的 倾斜角为，求证：与互补 【答案】（1 1）x24y（2 2）证明见解析【解析】（1 1）根据题意，设直线方程为 y y x xp，联立方程，根据抛物线的定义即可 得到结论；x2（2）根据题意，设h的方程为、丄k x xo，联立方程得xoxc4k，同理可4得xoXD4k,进而得到XcXD2x。，再利用点差法得直线CD的斜率，利用切线与导数的关系得直线I的斜率，进而可得与互补. .【详解】第 1515 页共 2o2o 页(1)由题意设

27、直线AB的方程为x x-p-p，令A(X1,yJ、B(X2,y2)，联立py x22，得y22小x 2py3pyyiy23p，根据抛物线的定义得AByiy2P 4p，又AB 8，4p8,p故所求抛物线方程为x24y. .（2 2）依题意，设2P(xo,x)，c(xc,设I1的方程为y2Xo2k(x xo)，与x42 24y联立消去y得x 4kx 4kxoxo，XoXc4k， 同理XoXD4kXCXD2xo，直线CD的斜率kcD2X11 14(x2X1)= =4(XcXD)2Xo切线I的斜率kiyx Xo1Xo由k|kcD0，即互补. .第2222页共 2020 页【点睛】本题考查直线与抛物线的

28、位置关系的综合应用， 题的能力，属于中档题.22121 .已知函数f(x) In x ax (a b 1)x b 1(a,b R).(1) 若a 0,试讨论 f(x)f(x)的单调性；(2) 若0 a 2,b1，实数xx为方程f (x) m ax2的两不等实根，求证:【答案】(1 1)答案不唯一，具体见解析(2 2)证明见解析11x1x2x2x2分析不等式4 2a，即转化为一221 n 2,设一t(t1)，再构造x1x2x2x1x-1x-11函数g t 2In t t，利用导数得单调性，进而得证. .【详解】1(1 1)依题意x 0，当a 0时，f (x)- (b 1),x当b 1时，f (x

29、)0恒成立，此时 f f (x)(x)在定义域上单调递增；1 1当b1时，若x 0厂，f(x) 0；若x丁 ，f(x) 0；故此时 f f (x)(x)的单调递增区间为0,丄，单调递减区间为b 1b 12(2)方法 1 1：由f (x) m ax得In x (a 2)x 2 m 0令g(x)In x(a 2)x2，则g(xjg(X2)m,In x2In x-i依题意有In x-i(a 2)x1In x2(a2)x2，即a 2X1x211士儿x22In x2In x1要证4 2a,只需证2(2 a)(不妨设 X X1X X2),X1x.)x2X x2直线斜率的应用，考查分析问题解决问1X24 2

30、a. .【解析】(1 1)根据题意得f X，分b1与b 1讨论即可得到函数x的单调性;(2)根据题意构造函数g x，得g(x1)小In x2In xg(X2)m，参变分离得a 2-x1x2X2X12ln生4第2323页共 2020 页x-j即证-X2X2令二t(t 1)，设g t2I nt tX11，则g(t) 21t2(J1)20，g(t)在(1,)单调递减，即g(t)g(1) 0,从而有2a方法 2 2:由f(x) m ax2得In x (a 2)x2X1X2令g(x)In x (a 2)x2，则g(xj g(x2)m,g (x)(2a)1)时g (x)2 a1故g(x)在(0,)上单调递

31、增，在(2 a当x (0,1(r_a12不妨设为X X2，则0人x2,)时g (x) 0,)上单调递减,1要证一X114 2a，只需证X1X2故只需证令h(x)则h (x)1 (2X2g(xjg(x)g(x)a)xX2g(4 2a)x21(4 2a) x21)，即证g(x2)g(4 2a)x 1)，(X)，,易知X2(4 2a) x2X2g(42a) x21)?gg()，(也可代入后再求导)h(x)在故对于x【点睛】4 2a x 1(4 2a)x 1)22a x 1上单调递减,(2 a) x 1h(x)4(2 a) 2 a x4 2a总有g(x) g(h(厂2 a) 由此得(4 2a)x 1X

32、!X24 2a本题考查了函数的单调性、 最值问题， 考查导数的应用以及分类讨论思想， 转化思想, 属于难题 32第2424页共 2020 页x2222 .在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为y、3cos(为参数)，以原点sinO为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为Sin(6 2. .(1(1)求曲线Ci的普通方程与曲线 C C2的直角坐标方程;(2(2)设A, B为曲线Ci上位于第一，二象限的两个动点,且AOB-，射线OA,OB交曲线C2分别于D,C，求 AOBAOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积. .【答案】(1)2y21；x . 3y 430( 2 2)VAOB面积的最小值为四边形的面积为294【解析】(1(1)将曲线 C Ci