2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试(4月)数学(理)word

1、数学理科第 1 页（共 6 页）保密吉林市普通中学 2019 2020 学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。注意事项：1 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2 .选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

2、4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1.已知集合AA.2-1,0,1,2,Bx|y1,0lg(1 x)，贝y Al BB.C. 1D. 1,0,12.已知复数z满足11 i，则z=z11.1 1 .A.iB.i222 2111 1 .C.1D.i2 22 23.已知向量r a(3,1), b(3, .3),则向量b在向量a方向上的投影为A. 3B.3C.1D.14.已知m,n为两条不重

3、合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是A.m/n,m ,nB.m/n,m ,n数学理科第 2 页（共 6 页）图1六边形，设A F为2F A，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率A.2 1313B.413f(x) 2x2，则f(3)图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正A.18B.18C.2D.2已知数列an为等比数列，若a6a726， 且a5a936， 则-1 11a6a7a81313十191313A.B.或c.D.1818369622椭圆x91的焦点为2F1,F2，点P在椭圆上,若|PF2|2，则F1PF2的大小为A.1

4、50B.135C.120D.90已知ad)0.2,b log!CL2,cab，则a,b,c的大小关系是22A.ab cB.c abC.a c bD.bc a8.9.10.大约公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，4个全等的直角三”，可类似地构造如赵爽是我国古代数学家、 天文学家， 介绍了勾股圆方图”，又称赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）,类比赵爽弦图5.6.7.C.m n,m II ,nD.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为1083A.C.函数A.已知B.D.n,m ,nf(x) cos(2x3）的对称轴不可能为B.x3

5、f（x）C.f(x64) f (x),当xD.x3(0,2)时，11.侧视图C3数学理科第3页(共 6 页)二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置.13. 二项式(2 x)5的展开式中X3的系数为(用数字作答) _.14. 已知两圆相交于两点A(a,3), B( 1,1)，若两圆圆心都在直线x y b 0上，则a b的值是_.15. 若点P(cos ,sin )在直线y 2x上，贝Ucos(2 )的值等于_.11x 2 x16. 已知数列an的前n项和Snan且a，设f (x) e e 1，则44f (log2a!) f (log2a2) L Lf

6、 (log2a7)的值等于 _.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17：21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分17. ( 12 分)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.3a b(si nC . 3cosC).(1) 求角B的大小；(2)若A -,D为ABC外一点，DB 2,CD 1,求四边形ABDC面积的最大值C.4D.712.已知FI,F2分别为双曲线C：2x2a2爲1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点,b且以F1F2为直径的圆经过点P，若吋2的面积为写b2，则双曲

7、线的离心率为A.、3B.2C.、5D.3数学理科 第4页（共 6 页）18.（ 12 分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励 学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系， 对高三年级随机选取 45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5 小时的有19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120 分的占，统计成绩后得到如下2 213列联表：分数不少于 120 分分数不足 120 分合计线上学习时间不少于 5 小时419线上学习时间不足 5 小时合计45（1）请完成上面2 2列联表；并判断是否有 99

8、%的把握认为“高三学生的数学成绩与学 生线上学习时间有关”；（2）（I）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120 分和分数不足 120 分的两组学生中抽取 9 名学生，设抽到不足 120 分且每周线上学习时间不足5 小时的人数是X,求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（H）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120 分的学生中随机抽取 20 人，求这些人中每周线上学习时间不少于5 小时的人数的期望和方差（下面的临界值表供参考）P(K2k)0.100.050.0250.0100.0050.001ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式

9、Kn(ad be)2(a b)(e d)(a e)(b d)其中nabed)数学理科第5页(共 6 页)19.( 12 分)1如图所示，在四棱锥pABCD中，ABCD,AD AB尹，DAB60，点20.( 12 分)已知倾斜角为的直线经过抛物线C : x22py(p 0)的焦点F，与抛物线C相交于A、4B两点，且| AB | 8.(1 )求抛物线 C 的方程;(2)设P为抛物线C上任意一点(异于顶点)，过P做倾斜角互补的两条直线l1、l2，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线1的倾斜角为，直线CD的倾斜角为，求证：与互补.21. (12 分)已知函数f(x)In x2ax (a b

10、 1)xb 1(a,bR).(1 )若a0， 试讨论f (x)的单调性；(2 )若0a2,b1，实数x1,x2为方程f (x) m2| ax的两不等实根，求证: 丄丄人X-422a.E,F分别为CD,AP的中点.(1) 证明：PC/面BEF;(2) 若PA PD，且PA PD，面PAD值面ABCD,求二面角F BE A的余弦数学理科 第6页（共 6 页）（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22. （ 10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x . 3 cosy sin（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，

11、建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（ ） 2.6（1）求曲线 G 的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程;（2）设A,B为曲线Ci上位于第一，二象限的两个动点,且AOB -,曲线C2分别ABCD的面积.23. ( 10 分)已知a,b,c均为正实数，函数11 1f(x)|x2I I x2I2的最小值为1.ab4c证明：（1）a2b24c29；(2)1ab1 12bc 2ac吉林市普通中学 2019 2020 学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学参考答案与评分标准、选择题123456789101112BBADADCACBDB二、 填空题413.- 40；14.-1;15.；16.75三、

12、 解答题17.解：(1)Q-、3a b(sinC、3cosC),由正弦定理得：、3si nA sin B(si nC、.3cosC)、3sin(B C) sin BsinC、3sin BcosC， 即 、3cosBsinC sinBsinC- 3 分Q si nC 0, 3 cos B si nB即tan B.,3QB (0,), B -3-6分(2)在VBCD中，BD 2,CD 1 BC212222 1 2cosD5 4cos D又A -，则VABC为等边三角形，1SVABC BC2sin 5-33 cos D3234-8分又SVBDC1BD DCsin D sin D，2SABCD5.3s

13、in D3 cos D2sin( D-)443数学理科第 7 页（共 6 页）数学理科 第 8 页(共 6 页)D(Y) 200.6 (1 0.6)4.812 分19.解“(1)证明：连接AC交BE于H，连接FH55“当D时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为264- 12 分18解:(1)分数不少于 120 分分数不足 120 分合计线上学习时间不少于 5 小时15419线上学习时间不足 5 小时101626合计252045- 3 分99%的把握认为高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”- 5 分20(2 ) ( I )由分层抽样知，需要从不足 120 分的学生中抽取9204人45C

14、1C3C43) CC416,P(X 4) C6C20C20B(20,0.6), 故E(Y) 20 0.612Q K2讐曲7.29 6.635X的可能取值为 0,1,2,3,4.P(XC40)4,P(X 1)C20C3C1CCC16,P(xC20C2C22)C20P(X(II)从全校不少于 120 分的学生中随机抽取1525此人每周上线时间不少于 5 小时的概率为0.610 分设从全校不少于 120 分的学生中随机抽取20 人，这些人中每周线上学习时间不少于5 小Q AB CE, HABHCE,BHA CHA2分数学理科 第 9 页（共 6 页）ABH也CEHAH CH FH PPCQ FH面F

15、BE ,PC面FBE(2)取AD中点O，连PO,OB由PA PD,PO ADQ面PAD面ABCDPO面ABCD，又由DAB 60,AD ABOB AD以OA,OB,OP分别为X,Y,Z轴建立如图所示空间直角坐标系- 6 分2则A(1,0,0)，B(0j3,0)，D( 1,0,0)，P(0,0,1)，F(1,0,2)PC P面FBE- 4 分设ADuurEBirni（0,0,1）为面BEA的一个法向量-8 分9 分设面unFBE的法向量为n2（X。，miEB依题意，盂BFinn2uin22x012X。01 z 02令y 3，解得irZ0ui6.n2(0, 3,6)10cosnin2因为二面角为锐

16、角，故其余弦值为2 39132. 3913- 12 分uuuuuQ AB CE, HABHCE,BHA CHA2分数学理科 第 9 页（共 6 页）20.解:数学理科第 10 页(共 6 页)(1)由题意设直线AB的方程为 y令A(Xi,yJ、B(X2,y2)，联立yiy23p,根据抛物线的定义得AByi故所求抛物线方程为x24y(2)依题意，设设11的方程为2消去y得xy2-o2得y 3py2pyp 4p，又AB2Pg亍)，C(Xc,亍)，D(XD,普)2x。2X。2Xcyk(x X0)，与x24y联立424kx 4kx0X。0X0Xc4k,同理X0XD4kXcXD2xo，直线CD的斜率KC

17、D切线I的斜率K,y21.解:(1)依题意x 0，当aXX)X0。由Ki0时，f (x)当b 1时，f (x)0恒成立，此时2p44p8,p阳=4(XCXD)4(X2xj4KCD0,得与互补(b 1)f(x)在定义域上单调递增;12x。12-10 分分分5 分数学理科第12页（共 6 页）当b 1时，若x 0,，f (x)0;若xb 11n,f (x)0故此时f（x）的单调增、减区间分别为1n,(2)方法 1 :由f (x)m ax2得In x (a2)x 2令g(x)In x(a2)x 2，则g(xjg(X2)m依题意有Inx-i(a2)为In x2(a2)X2，In翌2乞X2Xi要证丄X1

18、X24 2a，只需证却一2(2%x2a)2InX（不妨设x1X1X2） ，即证也X2X2X1x22In210 分令生t(tX11)，g(t)2ln t1t Qg (t)(11)20，g(t)在(1,）单调递减,g(t) g(1) 0，从而有4 2a12X1X2方法 2:由f （X）m ax2得In x(a 2)x 2 m令g(x) In x (a 2)x 2，则g(xj g(X2)m，g (x)(2 a)71x (-2 a12 a1当X (0,)时g(x) 0，2 a1故g(x)在(0,)上单调递增，在(2 a)时g (x)0，）上单调递减,1不妨设x-ix2，则0 x-i2 ax2，1 1要证4 2a，只需证X1X1X2X2(4 2a)x21，易知X2(4 2a)x21(0,土5 分数学理科第13页（共 6 页）数学理科第 12 页(共 6 页)x1令h(x) g(x) g(), (x),(4 2a)x 12 a_1 (2 a)x1(2 a)x 1=2x4 2a x 1x- 11 分(也可代入后再求导)1上单调递减，h(x) h( ) 0,2 a故对于x1时，总有g(x) g( 1)。由此得一2a) x 1N4 2a-12X2分2 a(422.解：(1)由曲线C1的参数方程为x、3 cosy sin( 为参数)消去参数得2x2.孑y 1-2分故只需证g(xjg(4