2020年高考数学复习压轴题与难题讲座☆★专题38探究向量关系式

1、【精品】2020 年高考数学复习压轴题与难题讲座专题15探究向量关系式，几何意义先分析【题型综述】探究向量关系问题解题策略：(1)“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法【典例指引】类型一探究向量式是否为定值上，且 PC PD =- 1 (I )求椭圆E的方程；(n )设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于定值？若存在，求 入的值；若不存在，请说明理由

2、【2015 高考四川，文 20】如图，椭圆E2 2(ab0)的离心率是，点R0, 1)在短轴CDA B两点.是否存在常数入,使得 OA OB PA PB 为【解析】(I)由已知，点C, D的坐标分别为(0, D), (0,b)b)又点P的坐标为1),且死而=一11沪=1于是。-=当 解得a=2,b b= =/2a a2a a2 2-b-b2 2=c=c2 2所以椭圆F方程为3(H)当直线ABAB斜率存在时，设直线ABAB的方程为A,A, B B的坐标分别为 g 円)，g 刃)x1yy联立T+2，得(2 + 1)2+ 4-2=0yy二Ax+1其判别式=(殆护+8(2 + 1)04Jt2 2所以坷

3、F =-271心花=一乔7T从而OAOA OB-OB- APAAPA PBPB=xu2 + Afxua + 1一1)仇 一D1=(1 + A) )(l +总)X1J2 + A( (X1 + Jf2) )+ 1(-21-4)+(-2-1)2_i所以，当入=1时-册+兄_2 =此时，OAOA OB-APAPB-3OB-APAPB-3为定值 当直线ABAB斜率不存在时、直线ABAB即为直线CDCD此时OAOAOB-hAPAOB-hAPA PBPB = = OCOC ODOD + + PCPC PD-2-l-3PD-2-l-3故存在常数人=-1,使得OAOA OBOB + + XPAXPA PBPB为

4、定值-3_类型二探究向量式是否成立23=1(a2b20)均过点P(,1)，且以 Ci的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形.例 2.【2014 高考湖南卷文第 20 题】如图 5,O为坐标原点，双曲线C1:2x2aiy2=1(O0,b0)和2 2椭圆 C2士亡(1)求 C1,C2的方程;是否存在直线 I，使得 I 与 G 交于 A,B 两点，与 C2只有一个公共点，且|0A OB |=| AB | ?证明你 的结论.7/3【解析】设q的焦距为玄昭则2 = 2= 2,；.al=c2= +vP（-J）在q上,q：（爭一常叫=$员詔-手的方程分别为宀号丸 召+壬不存在符合题

5、设条件的直缆若直线J垂直于X轴即直线J的斜率不存在，因为与G只有一个公共点，所以直线的方程为匕血或当英二运时易知/（逅囘所以0十而卜2迈五卜“匕时回5 +囲卜再一当时,同理可得+ 卜廖|当直线/不垂直于尤轴时很卩直线J的斜率存在且设直绑的方程为尸&+化联立直线与取曲线方程y = kx+m，才=1可得（3-ey-2hnx-3 = 01与时胶于4月两魚时股/佃也宀）厕码兀满足方程（3疋）*-2M3=0.由根与系数的关系可得吗+花二兰笃阿花匸学于3/ctc32 2 22k 3 x 4kmx 2m -6 =0,因为直线 I 与椭圆只有一个交点，所以二=0= 16k2m2-8 2k23 m2-3

6、 =0,化简可得 2k2=m2-3,因此m23 3k2-3m2-k2-3n畑二k23k2-3 二k2-3 72 2 2 2221 24#+23k -3myiy2二 k X1X2km Xix2!m2k -3,联立直线 I 与椭圆y 二 kx m2 232可得y +(1-1严 +由椭圆走义知，込二于是OAOEIAIKBAEICIOHHOA+OB丰因为心阴,月(点哄所臥综上不存在符合题目条件的直线 1.类型三 探究向量式成立的条件例 3【2013 年高考，天津卷理】设椭圆= 1(a b 0)的左焦点为3F,离心率为 3,垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33(I )求椭圆的方程(n )设A,B分别为

7、椭圆的左右顶点，是否存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于 AC DBAD CB=8，若存在，求k的值，不存在，说明理由.【解析】(I)设巩po儿由 = 知，二住，过点F目与孔轴垂直的直线为a3有話J解得7 =普r于是罟解得乃=血Xa2-c2=沪，从而(所以椭圆的方程为y + 4= b(II)设点G佃jhQgfl由F(7,0)得直线CD的方程为尸蚣+1),代入椭圆方程?过点F且与x轴C, D两点，且代入稱圆方程=吕，忙=1 #;+与=1消去儿 整理得!詔*+昭C+36 =求解可得屮忌=3A?-62+3?=6 - 2西花2护说=6 - 2西不2A(码 +IX花 +1)二6一(2+)西在一(羽 + 花)2A类型四 利用向量探究曲线过定点=62k2122 3k2由已知得 6 -2k2122 3k2=8,解得k =2 .1右焦点为 F2，离心率 e 。过Fl的直线交椭圆于 代 B 两点，且.ABF2的周长为 8。2(I)求椭圆 E 的方程。(n)设动直线 I : y = kx m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线x = 4相交于点 Q。试探究:在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由。【解析】(I)设*岳匸*