有限元原理基础知识

1、有限元原理基础知识学习思路:    有限元原理是目前工程上应用最为广泛的结构数值分析方法，它的理论基础仍然是弹性力学的变分原理。在有限元方法中，试函数的选取不是整体的，而是在弹性体内分区（单元）完成的，因此试函数形式简单统一。    有限元原理将单元内部位移用节点位移表示，这可以使用插值函数构造单元位移函数。并且通过单元位移描述单元的应力和应变分量。通过最小势能原理建立单元位移与单元节点力的关系，构造单元平衡方程。对于由单元集合得到的弹性体整体，应用最小势能原理构造整体平衡方程。这个方程是一个线性方程组，求解可以得到弹性体的位移，以及

2、单元的应力和应变分量。    近年来，随着计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得以有限元原理为代表的计算力学的迅速发展，改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。特别是以计算机的强大计算能力为后盾开发的大型通用有限元程序，目前已经成为工程技术人员手中强大的结构分析工具。    如果你需要进一步学习有限元方法的理论和应用，请查阅参考资料。学习要点：    1. 有限元原理与变分原理的关系；    2. 有限元原理的基本概念；    3. 单元与单元位移

3、确定；    4. 有限元单元分析；    5. 有限元整体分析。弹性力学问题的本质是求解偏微分方程的边值问题。由于偏微分方程边值问题的复杂性，只能采取各种近似方法或者渐近方法求解。变分原理就是将弹性力学的基本方程偏微分方程的边值问题转换为代数方程求解的一种方法。    有限元原理是目前工程上应用最为广泛的结构数值分析方法，它的理论基础仍然是弹性力学的变分原理。那么，为什么变分原理在工程上的应用有限，而有限元原理却应用广泛。有限元原理与一般的变分原理求解方法有什么不同呢。问题在于变分原理用于弹性体分析时，

4、不论是瑞利-里茨法还是伽辽金法，采用整体建立位移试函数或者应力试函数的方法。由于试函数要满足一定的条件，导致对于实际工程问题求解仍然困难重重。    有限元方法选取的试函数不是整体的，而是在弹性体内分区（单元）完成的，因此试函数形式简单统一。当然，这使得转换的代数方程阶数比较高。但是，面对强大的计算机处理能力，线性方程组的求解不再有任何困难。因此，有限元原理成为目前工程结构分析的重要工具。    近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学和结构力学领域发展起来。以有限元方法为代表

5、的计算力学的发展，迅速改变了弹性力学理论和方法在工程应用领域的处境。以计算机的强大计算能力为后盾开发的大型通用有限元程序，可以求解数十万自由度的线性代数方程组，目前已经成为工程技术人员手中强大的结构分析工具。在此基础之上，CAD, CAE等技术的应用使得计算机不仅成为数值分析的工具，而且成为设计分析的工具。变分原理实际是把求解偏微分方程边值问题转换为求解某一泛函的最小值问题。例如对于最小势能原理，变分方程除了满足给定的位移边界条件之外，等价于平衡微分方程和面力边界条件。当然这个转换过程的实质是在能量基础上对于边界条件的放松。因此，最小势能原理和偏微分方程边值问题仅仅是形式的不同，实质是相同的。

6、    本节将从位移变分方程引出有限元方法的基本概念。对于最小势能原理，物体的总势能为用矢量形式表达    如果将物体分解为若干个有限尺寸的单元，则物体总势能为所有单元体总势能的和。有其中e为单元序号，m为单元总数。而任意一个单元体的总势能为    这里Ve,(Ss)e分别表示第e个单元的体积和面力边界。显然如果选取的位移试函数是连续的，物体的总势能可以用单元总势能的和表示。有限元分析中，物体的位移是由单元位移确定的，因此位移连续需要分单元选取的位移试函数保证单元的边界位移与所有相邻单元位移相同

7、。有限元原理就是采用分单元选取位移函数，而选取的位移函数在弹性体内又是连续的这一基本思想的变分方法。所以有限元方法的理论基础是最小势能原理。当然，这一思想同样可以应用于最小余能原理，乃至广义变分原理等。    本节仅就最小势能原理推导有限元方法的概念，对有限元方法有兴趣的读者可以参考相关文献。下面以平面问题为例说明有限元方法的基本思想。   假设一个有一定形状并且占有一定区域的平面，将其化分为若干个有限尺寸的三角形单元体的离散体。各个单元体相互之间在三角形顶点（单元节点）铰接。对于任意一个三角形单元，设其节点为i，j，m，单元的节点位

8、移为    单元三个节点的六个位移分量用矩阵表示为    上式中，e表示单元。现在的问题是将单元内部位移用节点位移表示，这可以使用插值函数构造单元位移场。对于平面问题，有三个节点，可以构造线性位移函数。设    上述位移函数应该能够描述单元体节点位移，所以    求解上述公式，可将ai和bi 用节点位移ui和vi表示。回代位移表达式，整理可得    插值函数为     

9、;         其中为三角形单元的面积，有  ,  而  。单元位移插值函数确定后，可以根据几何方程确定单元的应变分量    写作矩阵形式，即  ，其中B 称为应变矩阵对于平面应力问题，由本构关系可得应力分量,其中C 称为弹性矩阵，有    因此可得应力分量与位移动关系为，其中D 称为应力矩阵。    显然，上述公式描述的单元应力、应变状态，可以看作是单元节点力作用的结果，节点力与单

10、元边界上的应力必须是静力等效的。节点力写作矩阵形式    因此单元的总势能为                。    总势能表达式中的单元体力和边界面力等外力均转换为节点力。因此，总势能的一阶变分为    令总势能的一阶变分为零，则        。其中 。称为单元刚度矩阵，写作子阵形式，

11、有其中                             弹性体的总势能是所有单元总势能的和，即。对于弹性体的总势能作一阶变分，有    令总势能的一阶变分为零，并且注意到单元的节点位移与弹性体节点位移相同，而单元的节点力之和等于弹性体外力的节点力，则整理可得上式即有限元原理的整体平

12、衡方程，其中K 称为整体刚度矩阵，F 称为整体节点力列阵，              因此，有限元原理就是利用在单元内部的构造位移试函数，根据单元和整个弹性体总势能最小的原则确定位移场。不难看出这与位移变分方程的类似之处，只是位移变分方程需要整体确定位移试函数，而有限元原理是在单元内部根据单元节点位移确定的。因此有限元原理适应几乎任何形状的弹性体。    尽管有限元原理选取的位移函数属于简单函数，但是可以证明分析是收敛的，因此随着单元的逐渐减小，计算模型趋于原结构，因此计算精度可以保证的。下面给出有限元分析的主要过程：    1. 建立计算模型（结构离散化，划分单元，