Matlab笔记——层次分析法020

1、20、 层次分析法一、概述层次分析法 （Analytic Hierarchy Process, AHD） 就是将要决策的问 题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次,进而进行定性与定量分析的决策方法。 它的特征就是合理地将定性与定量决策结合起来 按照思维、心理的规律把决策过程细致化 （层次化、数量化 ）。层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题,而决策就是基于该方法计算出的权重 ,所以也常用来确定指标的权重。层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维、判断过 程大体上就是一样的。例如 ,选购一台笔记本电脑 ,假设有三种不同品 牌款式的笔记本电脑 A、B、C 供选择。我们一般会根据价格、外

2、观、 重量、用途、功耗、品牌等一些准则去反复比较这个三个候选。 首先 , 会确定这些准则在自己心目中各占多大比重,不同的人这种比重会有很大差异 （喜欢玩游戏的人瞧重硬件性能与散热、预算有限的人瞧重 价格等）。其次，还会就每一个准则将A、B、C进行对比，比如A最便 宜,B次之;C性能最好,B次之;C的品牌最知名等。最后,将这两个层次 的比较判断进行综合 ,在 A、 B、 C 中确定一台作为最符合自己需求的 电脑。、算法步骤1、将问题条理化、层次化 ,建立层次结构模型1）最高层（目标层）只有一个元素 :决策目标 ;2）中间层（准则层）考虑的因素，决策的准则、子准则；3）最底层（方案层）决策时的备选

3、方案、措施。层次分析法要解决的问题就是，求出最底层对最高层的相对权重, 以此对最底层的方案、措施进行排序，选择最优方案。注1:为了避免两两比较判断过于复杂，每层次中各元素所支配的 元素一般不要超过9个，否则应划分为若干子层；注2:层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用，认 为同一层次的元素间相互独立，若考虑进来需要网络分析法（ANP）。例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型，可以建立如下的层tine,电譎q电IMG次结构：方次窈（捕腐to2、构造判断矩阵（成对比较矩阵）构造好层次模型后，针对某一层来讲，在比较第i个元素与第j个元 素相对于上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重

4、aj来表 示，假设共有n个元素参与比较，则矩阵aana1称为判断矩阵（或成对比较矩阵）Saat y根据绝大多数人认知事物的心理习惯，建议用19及其倒数 作为标度来确定aj的值。« 11 * J标虞含义i比/强的1357其中,2, 4, 6, 8分别介于1,3, 5, 7, 9对应的重要程度之间。显然,A中的元素满足：i) aij> 0;ii) aji = 1/aj； iii) m =1称为正互反矩阵。例如，选购笔记本电脑模型中，可以根据实际三台电脑的重量得到 电脑对准则层Bs的判断矩阵(aj可以取笔记本电脑j与i的重量之比, 重量越轻越好):11/31/5ABc313/555/

5、313、层次单排序及判断矩阵的一致性检验通常用特征根法从判断矩阵导出，单一准则下元素相对排序权重。定义若n阶正互反矩阵 佝斤n满足aikakj = aj(对应aj二Wi/Wj,故需要 aikakj =(wi/wk)/(wwj) = aj),则称(aj)n“ 为一致性矩阵。成对比较的不一敢情况11/24A 2也二2弘二 4（d）'不一致一致比较匚二=s（c：q）允许不一致，但要确定不致的允许范围特征根法的基本思想就是，当正互反矩阵（aj）nxn为一致性矩阵时, 对应于判断矩阵的最大特征根九ax的特征向量，经归一化后（使向量中各元素之与等于1）即为排序权向量，记为W, W的元素为同一层次因

6、素 对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排 序。能否进行层次单排序，就瞧判断矩阵就是否为一致性矩阵，有如下 定理：定理n阶正互反矩阵A为一致性矩阵的充要条件就是,A的最大 特征值hax = n、在实际操作中，由于客观事物的复杂性以及人们对事物判断比较 时的模糊性，很难构造出完全一致的判断矩阵。因此,Satty在构造层次分析法时，提出了一致性检验,所谓一致性检验就是指判断矩阵允许有 一定不一致的范围。一致性检验步骤如下：1）计算判断矩阵A的最大特征值 hax；2) 求出一致性指标(Consistencey Index):C.I.maxn 1C、I、=0表示完全一致，C、I、

7、越大越不一致;3) 用随机模拟取平均的方法，求相应的平均随机一致性指标R、I、,或者直接用Satty模拟1000次得到的R、I、表：C.R.=C.I.R.I.345«7R, 1,认90L 12L 32£1011RJ.L 451.49I. S)L 54L564)计算一致性比率:5)判断，当C、R、0、1时,认为判断矩阵A有满意的一致性；若C、 R、0、1,应考虑修正判断矩阵 A、4、计算各元素对目标层的合成权重(层次总排序)为了实现层次分析法的最终目的，需要从上而下逐层进行各层元 素对目标合成权重的计算。设已计算出第k-1层nk_1个元素相对于目标的合成权重为：(k 1)/

8、k 1 k 1k 1、 Tw (W1 ,W2 , ,Wnk1)再设第k层的nk个元素关于第k-1层第j个元素(j= 1,nk-1)的单一准 则排序权重向量为：uk (u1(k),u2k)j|,unk)T上式对k层的nk个元素就是完全的，若某些元素不受k-1层第j个元素支配，相应位置用0补充，于就是得到nkX nk-1阶矩阵:(k)U11u（k）(k)U21(k)U12(k)U22(k)U2nk 1(k) nk 2w(k)(k)w(k 1)按递归展开得写成分量形式为w(k)U(k)U(k1)|Uw(2)(k)nk1从而可以得到第k层的nk个元素关于目标层的合成权重向量nk i(k)(k) (k

9、1)WiUij Wj, i 1,|,nkj 1各层元素对目标层的合成排序权重向量就是否可以满意接受，与单一准则下的排序问题一样，需要进行综合一致性检验设A层的垛令怖标分娜为一致性捞标U L 机一致性指标R. I. ", 一致性比牢 c-R'113 -再设以第斥上第J元It为准则的一S性指标为C L严，平均一致性描标为 K. L严么C. 1,111 = g LWh t I. W”=E 诃 i©L：J IR- L = (R. LJtR* h* 严n利用式（】111）軸式Hl综書 燉性比辜当C、R、（k）v 0、1时,则认为层次结构在第k层以上的判断具有整体满意的一致性。

10、注:实际应用中，整体一致性检验常不予进行。主要原因就是,整体 考虑十分困难；其次若每个单一准则下的判断矩阵具有满意的一致性 而整体达不到满意的一致性时，调整起来非常困难。另外，整体一致性 的背景也不如单一准则下的背景清晰，它的必要性有待进一步研究。三、Matlab实现实现层次分析法的Matlab函数:ahp mfun ctio nW,ahpResu It = ahp(C)%层次分析法%0为n x 1的元胞数组,存储整个层次模型结构：第2层对第1层、第3层对第2层、第n+1层对第n层%假设第k层有m_k个元素，从左到右依次编号1,、，m_k%Ck也就是元胞数组，k=1,、,n%Ck1,j存储受第

11、j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵(j=1,2,、，m_k)%Ck2,j 存储第k+1层各兀素就是否受第k层第j兀素支配的(m_k+1)*1的逻辑数组,1表示支配,0表示不受支配%W!回方案层对目标层的最终权重向量%ahpResult为n x 1的元胞数组，存储层次分析过程各层的结果信息，ahpResultk 也就是元胞数组%ahpResultk1,j 返回第k+1层所有元素相对第k层j元素的权重向量，第k+1层元素不受第k层j元素支配的权重为0%ahpResultk2,j 返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素的判 断矩阵的最大特征值 断矩阵的一致性比率 C、R、RI=0 0 0 、

12、58 0 、90 1 、12 1 、24 1 、32 1 、41 1 、45 1 、49 1 、 51; % 平均随机一致性指标n = length(C);%得到C的长度n,于就是知道模型总层数为n+1ahpResult = cell(n,1);% '存储各层结果信息for k = 1:nm_k = size(Ck,2);% k 层的元素个数ahpResultk = cell(m_k,1);for kk = 1:m_k%求第k+1层各元素对第k层kk元素的成对比较矩阵的特征值与特征向量 V,D = eig(Ck1,kk);maxD,ind = max(diag(D);% 求最大特征值与

13、其位置%为存储第k+1层所有元素相对k层kk元素的权重预留出空间,长度应等于Ck2,kk 的长度ahpResultk1,kk = zeros(length(Ck2,kk),1); %将相应正互反矩阵属于最大特征值的特征向量归一化后赋给ahpResultk1,kk 中相应位置% 这些位置由逻辑数组 Ck2,kk 决定ahpResultk1,kk(Ck2,kk) =V(:,ind)/sum(V(:,ind);ahpResultk2,kk = maxD;% Ck1,kk 正互反矩阵的最大特征值nn = size(Ck1,kk,1);% Ck1,kk 的阶数ahpResultk3,kk = (maxD

14、-nn)/(nn-1)/RI(nn);% 相应的一致性比率 C、R、endendW = ahpResult11,1;for k = 2:n% cat(2,ahpResultk1,:)把k+1层所有元素相对k层各个元素的权重向量横向排在一起生成权重矩阵 UA(k)W = cat(2,ahpResultk1,:)*W;end用该函数实现层次分析法的关键就是，把整个层次结构存入嵌套元胞数组C中(见程序注释):Ck存储第k+1层与第k层的结构(k=1,n);设第k层有mk个元素，其中第j元素与第k+1层的结构关系存储到Ck,j中(j=1,mk)，需要存储的信息有： 受第j元素支配的第k+1层各元素的判

15、断矩阵 第k+1层各元素就是否受第k层第j元素支配(即有没有连线)所以需要两个位置，即Ck1, j与Ck2, j、例1某工厂有一笔企业留成利润，需要决定如何分配使用。已经决定 有三种用途：奖金、集体福利措施、引进技术设备。考察准则也有三 个:就是否能调动职工的积极性、就是否有利于提高技术水平、考虑 改善职工生活条件。建立如下层次模型：音阿憧用留成利闽丿按高技戕集金R锻佯用利齐引进设备授术片经过工厂决策人员讨论，得到如下判断矩阵：1、第2层对第1层三个元素 Ci, C2, C3都受A支配，判断矩阵C11,1为ACtCiG11/51/3©sI31，厚1/31相应的逻辑数组 C12,1为t

16、rue truetrue、2、第3层对第2层(1) 第3层对第2层第1个元素Ci受C1支配的只有两个元素P1与P2,判断矩阵C21,1为相应的逻辑数组 C22,1为true truefalse、第3层对第2层第2个元素C2受C2支配的只有两个元素P2与P3,判断矩阵C21,2为Ct鬥paPlf 11/5Pl51相应的逻辑数组 C22,2为false true true、第3层对第2层第3个元素Cs受Cs支配的只有两个元素Pi与P2,判断矩阵C21,3为GPiPi12Pt1/21相应的逻辑数组 C22,3为true truefalse、3、有了上面的分析，层次模型的元胞数组表示C已经确定,调用函

17、数ahp、m即可C = cell（2,1）;%共n+1=3 层，故n=2C11,1 = 1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1;1层（目标层A）的判断矩阵C12,1 = true truetrue;C21,1 = 1 1/3;3 1;断矩阵C22,1 = true truefalse;C21,2 = 1 1/5;5 1;断矩阵C22,2 = false true true;C21,3 = 1 2;1/2 1;断矩阵C22,3 = true truefalse;%第2层（C层）关于第%相应的逻辑数组%第3层（P层）关于第2层第1元素C1的判%相应的逻辑数组%第3层（P层）关于第2层第2元

18、素C2的判%相应的逻辑数组%第3层（P层）关于第2层第3元素C3的判%相应的逻辑数组W %输出总排序的权重向量运行结果:W =0、19840、27080、5308W就就是方案层各个方案所占的比重，可见引进技术设备所占比 重最大，改善员工福利次之。体现在奖金分配上，即用全部留成利润的 53、08%引进技术设备，27、08%改善员工福利，19、84%发奖金。例2假设某人在制定食谱时有三类食品可选：肉、面包、蔬菜。这三类食品所含营养成分及单价如下表所示：* AH生* A/C1U > |)0/( x 90,35270,0021忆鶉Q. 0275面包11.510.00«at 山W21.0

19、4OlQOT假设该人体重为55kg,每天对各类营养的最小需求为维生素A7500IU维生素 B21、6338mg热量 Q8548、5kJ问题就是:应如何制定食谱使得在保证营养的前提下支出最小？单纯考虑问题条件，容易建立如下的线性规划模型：设选择肉X1, 面包X2,蔬菜X3,则有rmm0275jri +0 006衣 +0 007业礼 t. 0, 3527x)+ 0, OOO5j-2 + 25- 0x3 >7500J 0” 00214 +0. 0006xj + 0. 002t3>1. 63381L 93j：i +1 L 51x( +1. 04xj8548f 5LJEl ,XjO用Matl

20、ab求解线性规划问题的函数linprog,可以求出最优解：f = 0、0275;0、006;0、007;A = -0、3527 0、0005 25;0、0021 0、0006 0、002;11、93 11、51 1、04;b = -7500;1、6338;8548、5;opti ons = optimset('LargeScale' , 'off, 'Simplex' ,'o n');x,fval,flag=linprog(f,A,b,0;0;0,infinfinf,options)运行结果：x =0687、5267 610、6420fv

21、al= 8、3997flag =1%表示算法成功求解出的结果就是，每天不吃肉，吃面包687、5267g,蔬菜610、642g, 最低支出为 & 40元。但实际考虑的话，这个方案就是难以让人接受 的，只考虑了营养够、价格低，没有考虑到营养均衡(需要吃一定量的 肉)。为此我们先用层次分析法确定每天需要肉、面包、蔬菜的比重，再重新线性规划。建立如下的层次模型肃二厘注意:由于第2层支出因素D2直接支配第4层，需要在第3层补上 一个因素“补项B” （仍当作“支出”瞧待）,它只受D2支配，并且支配 D2的每个支配因素（第4层的肉Me,面包Br,蔬菜Ve）。有了上面的层次结构，再根据偏好建立判断矩阵

22、（当然偏好因人而 异）：1、第2层对第1层判断矩阵：13C 1 1,11/ 3 1逻辑数组:C12,1=true true、2、第3层对第2层（1）第3层对第2层第1元素D1判断矩阵：1 1 2C 2 1,11121/ 2 1/2 1逻辑数组:C22,1=true truetrue false、（2）第3层对第2层第2元素D2判断矩阵 :C21,2=1逻辑数组 :C22,2=false falsefalseture 、3、第 4 层对第 3 层(1) 第 4 层对第 3 层第 1 元素 A 判断矩阵 (用数据直接做比得到 ):10.3527 / 0.0005 0.3527 / 25C 3 1,

23、10.0005 / 0.352710.0005 / 2525/ 0.352725 / 0.00051逻辑数组 :C32,1=true true true 、(2) 第 4 层对第 3 层第 2 元素 B2 判断矩阵 (用数据直接做比得到 ):1 0.0021/ 0.0006 0.0021/ 0.002C 3 1,20.0006 / 0.002110.0006 / 0.0020.002 / 0.0021 0.002 / 0.00061逻辑数组 :C32,2=true true true 、(3) 第 4 层对第 3 层第 3 元素 Q判断矩阵 (用数据直接做比得到 ):1 11.93 /11.5

24、1 11.93/1.04C 3 1,3 11.51/11.93 1 11.51/1.041.04 /11.93 1.04 /11. 51 1逻辑数组 :C32,3=true true true 、(4) 第 4 层对第 3 层第 4 元素 B判断矩阵 (用单价比的倒数 ,因为单价越高越不重要 ):0.006/0.02750.007/0.0275C 3 1,40.0275/0.00610.007/0.0060.0275/0.0070.006/0.007逻辑数组:C32,4=true true true、4、有了上面的分析，层次模型的元胞数组表示C已经确定,调用函数ahp、m即可C = cell(

25、3,1);C11,1 = 1 1/3;3 1;C12,1 = true(2,1);C21,1 = 1 1 2;1 1 2; 1/2 1/2 1;C22,1=true truetrue false;C21,2=1;C22,2 = false,false,false,true;C31,1 = 1,0、3527/0、0005,0、3527/25;0、0005/0、3527,1,0、0005/25;25/0、3527,25/0、0005,1 ;C3 2,1=true(3,1);C31,2= 1,0 、0021/0、0006,0、0021/0、002;0、0006/0、0021,1,0 、0006/0、002;0、002/0、0021,0、002/0、0006,1 ;C3 2,2=true(3,1);C31,3= 1,11、93/11、51,11 、93/1、04;11、51/11、93,1,1151/1、04;1、04/11 、93,1 、04/11 、51,1