[精选]上册第四章第12节正弦、余弦;正切资料

1、课程信息年级初三学科数学版本湘教版内容标题正弦、余弦和正切编稿老师阳矩红【本讲教育信息】教学内容：正弦、余弦和正切教学目标（一）知识与技能1. 了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边之比。2. 熟记30°、45°、60。角的正弦、余弦、正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角 三角形的边长，会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。3. 了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。4. 会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。（二）过程与方法：经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体

2、验学习的乐趣。（三）情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习自信心。教学重点1. 正弦、余弦、正切的定义。2. 特殊角30°、45°、60。的正弦值、余弦值、正切值。3. 互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。教学难点1. 锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。2. 综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。主要内容1. 正弦、余弦、正切的定义：（1）如图，在Rt ABC中，锐角A的对边与斜边的比，叫做/ A的正弦。记作 si nA，即 sin A =Z A的对边斜边A的余弦。记作COSA,即CO A =Z A的邻边b斜边(2) 在Rt ABC中，锐角

3、A的邻边与斜边的比叫做ZA的正切。记作t a nA,Z A的对边Z A的邻边(3) 在Rt ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做Z当锐角A确定后，这些比值都是固定值。2. 特殊角30°、45°、60。的正弦值、余弦值、正切值。asin :cos-tan：12-32332T.221如图，在 Rt ABC 中，Z C = 90°,Z A = 30C设 BC = k,贝U AB = 2k由勾股定理AC - ；*3k si r30oBCABk2kc o 30ACAB、3k _、. 32k 2tar30°BCACk =三3k 3用同样的方法可求 45°、

4、60°角的三角函数值。3. 互为余角的正弦、余弦之间的关系:aa由定义知：si nA , cosB =-ccb/ si nA = cosB即 s i nA = co s9(0°- A)同理：cos A = si n(90°- A)语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;比如：任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。sin60 ° 二 cos30 °cos52 ° 二 sin 384. 同角的三角函数之间的关系：si n A c°sA = 1&si nA1t a nA， tan A 二cos Atan(90- A

5、)5. 0。90。间正弦值、余弦值、正切值的变化规律:0 ： s i nA ： 1, 0 ： c o sA : 1在0°90°间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）6. 会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。【典型例题】例 1.已知 ABC 中，AC = 7, BC = 24, AB = 25,求 sinA, cosA , tanA, sinB , cosB , tanB分析：根据正弦、余弦、正切的定义知，应首先判断ABC是直角三角形。解：/AC = 7, BC =

6、 24, AB = 252 2 2 2AC BC =724 =625AB2 =252 = 6252 2 2 AC BC = AB ABC为直角三角形,/ C= 90°由三角函数定义得:.A BC sir A =-ABA AC cosA 二-ABBC tar A = -AC242572524由互余角的关系得:si rB = cosAcosB = sir A2524257tarBTrA 245例 2.已知 RtA ABC 中，/ C= 90°, si rA，求 cosA, tar A13分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。法一：如图解：T si rA 13设

7、 BC =5k, AB =13k由勾股定理得：AC = 12k八 AC 12k12cosA =AB 13k13“ BC 5k 5 t a nA =-AC 12k12225法二：解：/ sin A cos A = 1, sin A =-13毕)13又/ A为锐角，cosA > 0cosA1213tarAsi nA cosA-13_ 12512135变式训练：已知在RtA ABC中，/ C= 90°, si nA，周长为60cm，求斜13边c的长。提示：可引进参数法。例3计算:(1)sin30°(sin45°2cos45° ) -sin220°

8、; - cos2 20°(2)sin2 60°sin2 45°1 tan45 °-tan 60 cos 30分析:解:(1)原式丄x2- 2(2J222牙)®20°cos20°)(2)13- 3 x 2, 3 2 2 2原式=(尹(亍21 -231 12例4.已知锐角：满足-2cos2.工-.；3sin: -1 = 0,求二的值。分析：把条件式看作关于 sin a的一元二次方程，利用解方程求出sina ,再确定a的值。2 2解：/ si n 二 * cos 二 1条件式子可化为： 2-2cos2鳥.*3si n:3=0即 2

9、si n ?,3si n 3=0得(2si n - . 3) (sin .30/ 0 < sin ： 1 sin 壽,"3 丰 0J3s i n =2v sin60°练习(1)2sin ： = 1,贝V :-=(2)2cos> = 3，则=(3)2 3sin(： -10° )=3,则=(4)3ta n= 3，贝U=答案：(1) 30°(2) 30°(3) 70°例5.如图在Rt ABC中,求适合条件的锐角:(4) 30°(1) 求 si nA , si nB 的值。(2) 过点C作CD丄AB于D,求cos/ACD

10、的值。分析：(1)利用正弦定义来解决。(2)求cos/ ACD，在RtA ACD中求CD较麻烦，但利用互余角的关系将AC/ ACD转化为/ B则非常简便。解：(1 )在 Rt ABC 中，/ C= 90°, BC = 5, AC = 6v AB2 = AC2 BC2 AB h；：6252 二 61,.A BC 5561-s i nA = AB £6161“AC 66/61s i rBAB 、；6161(2)v/ ACB = 90°,./ A + / B = 90° 又 CD丄AB 于 D,/ ACD +/A = 90° / B = / ACD

11、co/ACBcoB 二詈罟1例 6.如图在 ABC中，/ A = 30°, tanB , BC 二 10，求AB的长。3分析：根据条件知： ABC不是直角三角形，应添加辅助线，构造直角三角形。 解：过C点作CD丄AB于D，设CD = x在 Rt ACD 中，/ A = 30°v t ar30°CDAD ADCD 1 在RtA BCD中，tanB =BD 3 BD = 3x2 2 2又 BC -CD BD (.10)2 =x2(3x)2x= 1AD = - 3x = 3BD = 3x = 3 AB 二 AD BD = 3、3【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、填空

12、题：1 121. 求值：一 x sin60 X cos45 =。2 22. 在 RtAABC 中，/ C= 90°, a= 1, b = 2,贝U cosA =3. tan 10 ° tan20° tan30° tan70° tan80°=。2 山4. ABC 中，/ C = 90°，若 sin A=，贝y tanB =。31 25. . (cos45 ) -|tan60- sin 30| =。6. J3tan(80° a) =1，贝V a =7. 在 RtA ABC 中，/ C= 90°, 3a 二-

13、3b，则/ A =，周8. 已知等腰三角形 ABC的腰长为4、3，底角为30°,则底边上的高为长为二、选择题:9.在厶ABC中，若|sin A2 | ( _COSB)2 f A、/ B都是锐角,C的度数是（A. 7510.当锐角A >45°时,B. 90sinA的值(C. 105 °)D. 120 °V2A.小于 -2B.大于C.小于二2D.大于11.已知0 ° 爲 90,sin ： = cos30 ° ，U ：=(A. 30 °B. 60 °C. 45°D.无法确定12. 下列结论中不正确的是（）

14、A. sin48° 37'：cos41° 20'B. Rt ABC 中，/ C = 90°，贝U sin2 A cos2 A = 1C. Rt ABC 中，/ C= 90°,贝U tan B sin B 二 cosBbD. Rt ABC 中，/ C = 90°, AC = b,贝U AB si nB13. 如图CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角:（入 射角等于反射角），AC丄CD , BD丄CD，垂足为C、D，且AC = 3, BD = 6, CD = 11,则an : =（ ）ED113911A

15、.B.C.D.311111914.如果/ A为锐角，且cosA 二则（)4A. 0°: A : 30°B.30 °<A : 45 °C. 45°： A . 60 °D.60 °<A ： 90 °15.如图 Rt ABC 中，/ ACB = 90°, CD 丄 AB 于 D，若 AC = 4, BC = 3,贝U sin/ACD=( )CAD4343A.-B. 一C. 一D.-3455、解答题：16.计算：(1) J(1 - sin45°)2 -|2sin60°-sin30&

16、#176; | 1si n602sin30cos302ta n30°1 - tan2 3017. 如图 Rt ABC 中，/ C= 90°, b= 8，/ A 的平分线 AD罟。求/ B及a、c的值。18. 如图在等腰 ABC中，AB = AC,若AB = 2BC，试求/ B的正弦值和正切值。219. Rt ABC中，/ C= 90°,方程x -3sin A x 3sin A - 1 = 0有两个相等的实数根,斜边为C,方程cx2 -2x也有两个相等的实根，求这个直角三角形的三边的长。20. 如图在 ABC中，AD是BC边上的高，tanB= cos/ DAC。(1

17、) 求证：AC = BD。12(2) 若 sin C, BC - 12，求 AD 的长。13学习永远不曉甲一一高尔基-* 5、.十十r y r. -【试题答案】一、填空题：1.383.,334.56. 507. 308. 2.3, 128、. 3、选择题：9. C10. B11. B12. C13. D14. D15. C(2)原式=-X222二2-2 3 -2-2 3、 21+ 22y)2三、解答题:16.解:(1)原式=*(2一¥)2_Px<'3-2|3一311 17.解：在 Rt ADC 中，AC = 8,AC 8,3又 cos / DAC =-AD 仙323/

18、DAC = 30 °又AD平分/ BAC/ BAC = 60°,/ B = 30°c= 16, a= 8.318解：如图，过A点作AD丄BC于D/ AB = AC , AB = 2BC1 BD 二 CD AB4设 BC =2a，贝V BD =a, AB = 4a在 Rt ABD 中，AD 二、AB2 - BD2 = . (4a)2 - a2 二、15at a rBAD15aBD=15AD15a. 15sin B -AB4a4219.解：方程x - 3sir A x 3sin A -1二0有两个相等的实根2 ( -3sin A) -4(3sin A -1) = 09sin2 A -12sinA 4=0(3si rA -2)2 =0 z 2 si nA32 _ _又 方程cx -2x ' c = 0也有两个相等的实根2 2 ( -2) -