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1、圆锥曲线中的面积问题一、基础知识:1面积问题的解决策略:(1 )求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高)。(2)面积的拆分:不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于三角形如果底和高不便于计算,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、 多个图形面积的关系的转化:关键词“求同存异”,寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点,从而可将面积的关系转化为线段的关系,使得计算得以简化3、面积的最值问题:通常利用公式将面积转化为某个变量的函数,再求解函数的最值,在寻底找高的过程中,优先选择长度为定值的线段参
2、与运算。这样可以使函数解析式较为简单,便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式(证明详见“圆锥曲线的性质”)X y2(1)椭圆:设P为椭圆2 =1 a b 0上一点,且.RPF2 - v,则a b2 QSPF1F2 =b ta 门X y2(2)双曲线:设P为椭圆二 2 1 a,b 0上一点,且.RPF2 - v,则a b2 eSPRF2 =b cot 2二、典型例题:2例1 :设f1,f2为椭圆+y2 n的左右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于p,q两点,T *当四边形PF1QF2的面积最大时,PF1 PF2的值等于 例2:已知点P是椭圆16x2 25y2 =1600上的一点,且在x轴上
3、方,分别为椭圆的左右焦点,直线 PF2的斜率为-4、3,则 PF1F2的面积是()A. 32 .3B. 24.3C. 32. 2D. 24门例3 :已知F为抛物线y =x的焦点,点 代B在该抛物线上且 位于X轴的两侧OA OB =2,则 ABO与 AFO面积之和的最小值是()A. 2B. 3D. .10例4:抛物线y2 =4x的焦点为F,准线为I,经过F且斜率为、3的直线与抛物线在 X轴上方的部分相交于点 A,AK _ I,垂足为K,则 AFK的面积是()A. 4B. 3 -. 3C. 4 -. 3D. 82 2例5:以椭圆-y 1的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线 C,其左右焦点分别为 已,F
4、2,95A. 2B. 4C. 1已知点M的坐标为 2 , 1,双曲线C上点P x,D. -12 2F1,F2分别是双曲线的左例6:已知点P为双曲线笃-笃 h a 0,b0右支上一点,a b右焦点,且f1f2b2,I为三角形PF|F2的内心,若Sa門=珏+if1f2成立,则人a的值为()A.B. 2、3 -1 C. 、2 1 D. x2 -1例7:已知点F是椭圆E的右焦A 0,-2,椭圆E :笃爲=1 a b . 0的-为仝a ba 2点,直线AF的斜率为 3 , O为坐标原点3(1 )求E的方程(2)设过点A的动直线I与E相交于P,Q两点,当|_|OPQ面积最大时,求I的方程22i例8已知椭圆
5、C : 2 =1 a b 0的为一,过右焦点F的直线I与C相交于A, Ba ba 2两点,当1的斜率为1时,坐标原点近O到1的距离为2(1)求椭圆C的方程(2)若P,Q, M , N是椭圆C上的四点,已知PF与忌共线,与FN共线,且PF MF =0,求四边形PMQN面积的最小值例9:在平面直角坐标系 xOy中,已知点A -1,1 , P是动点,且三角形 POA的三边所在直线的斜率满足kOP kOA = kPA(1)求点P的轨迹方程(2) 若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且= OA,直线OP与QA交于点M,问: 是否存在点P使得LI PQA和LPAM的面积满足 Spqm = 2S PAM ?若存在,求出点 P的坐 标,若不存在,请说明理由。例10:设抛物线2y = 2x的焦点为F,过点M
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