三章常见曲面

1、第三章常见曲面 3.1球面和旋转面1.1球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点 M。Xo,yo,zo，半径为R_0的球面方程。根据以下充分必要条件M (x, y, z)在球面上 u M 0M =R，得2 2 2 2X - Xo 亠y - yo z - Zo i =R ，（ 3.1）展开得2 2 2x y z2bx 2b2y 2RZ c = 0,（3.2）其中，b = x）,t2 = _y,t3 = _z）c= x）2 + y。2 + zo2 _ R2。（3.1）或（3.2）就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项（xy,xz, yz项）,平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2

2、 ）的方程经过配方后可写成：X b 2 yb22 zb32cf2-b22-b32=0,ooooo当b|b2b3c时，它表示一个球心在Jb厂6厂匕3，半径为,bib2b3-c的球面；当b；+鸟2+b32 =c时，它表示一个点（_b|, _b2,b3）;当匕2+b22+b32 c时，它没有轨迹（或者说它表示一个虚球面）。1.2球面的参数方程，点的球面坐标如果球心在原点，半径为 R，在球面上任取一点 M x, y, z ,从M作xOy面的垂线，垂X，+T足为N N,连OM ON。设x轴到ON的角度为,ON到OM的角度为v （M在xOy面上 方时，二为正，反之为负），则有ix = Rcos v cos

3、(3.3)y = Rcos v sin0 _ ： 2 二，I 22z = Rsin 入（3.3）称为球心在原点，半径为R的球面的参数方程，有两个参数门，其中称为经度,，称为纬度。球面上的每一个点（除去它与Z轴的交点）对应唯一的对实数，因此 f称为球面上点的曲纹坐标。为半径的球面上，而球面上点（除去它与 z轴的交点外）又由它的曲纹坐标厂唯一确定，因此，除去 z轴外,因为空间中任一点M x, y, z必在以原点为球心，以空间中的点M由有序三元实数组 R,唯一确定。我们把 R,v,称为空间中点 M的球 面坐标（或空间极坐标），其中RZ0，-& = ,0兰兰2兀。点M的球面坐标（RT 2 2 ，与M的

4、直角坐标x, y, z的关系为R_0,TtTt-_ 71220 _ - 2-(3.4)x = R cosT cos, y = Rcos： sin ,Iz 二 Rsinr.1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程从球面的方程（3.2 ）和球面的参数方程（3.3 ）看到，一般来说，曲面的普通方程是一 个三元方程F x, y,z =0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程：X =x（u,v）,*y = y（u,v）, a 兰u 兰b, cv 兰d,（ 3.5）Z =z（u, v）,其中，对于u, v的每一对值，由（3.5 ）确定的点 x, y, z在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由（u,v ）的某一

5、对值（3.5 ）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的点（可能要除去个别点）便可以由数对 u,v来确定，因此 u,v称为曲面上的曲纹坐标。空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立:F（x,y,z） =0,G（x,y,z） =0.即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线，曲线的参数方程是含有一个参数的方程：X =x（t）,* y = y（t）,a 兰t 兰b.（3.6）z = z(t),其中，对于t a乞t乞b的每一个值，由（3.6 ）确定的点 x, y, z在此曲线上，而此曲线上 任一点的坐标都可由t的某个值通过（3.6 ）表示。例如，球面x2 y2 z2 -R2与xOy平面相交所得的圆

6、的普通方程为:x2 + y2 + z2二 R2,z =0.而这个圆的参数方程是:x = Rcos :y = Rsin :：1.4 旋转面球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。、旋转面的定义定义3.1 一条曲线】上每个点M。绕I旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过I的 半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。-8-已知轴丨过店M!九丫仆乙，方向向量为vl,m,n，母线-的方程为：F（x, y,z） =0G（x, y,z） =0、旋转面的方程的求法点M x, y,z在旋转面上的充分必要条件是 M在经过母线:上某一点

7、M。Xo,y,Zo 的纬圆上（如图3.2 ）。即，有母线上的一点M0使得M和M0到轴丨的距离相等（或到轴 上一点Mi的距离相等）；并且MoM，_1。因此，有F Xo,y,Zo =O,G Xo, y, Zo = 0,MM 1M1 、，(3.7)(1)y2Z2_ = 9(x y5z-1)2。丨 x-X。m y - yo n z -z =0.从这个方程中消去参数 X。，y,Z0,就得到x, y, z的方程，它就是所求旋转面的方程。x y z 1例1：求直线绕直线x=y=z旋转所得的旋转面的方程。2 1 0解：设Mi（Xi,yi,zJ是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过Mi的纬圆方程为1 (x

8、Xi) i (y yji (z zi) =0,2 2 2 2 2 2X y z = Xiyi乙；由于Mi（xi,yi,）在母线上，所以又有Xi =2%,乙=1,由（1），（ 2）消去为，,乙得所求旋转面方程为三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程现在设M (x1, y1,z1)旋转轴为z轴，母线在yOz平面上，其方程为: f (x,y )=0,I x 0,则点M x, y,z在旋转面上的充分必要条件是：” f(yo,zo)=o,xo = 0,2丄22丄2x +y =Xo +y ,(z-Zo) = O.消去参数Xo,y,zo,得(3.8 )-绕z轴旋转所得,z不动。坐标平f i.

9、x2 y2Z=0 o(3.8 )就是所求旋转面的方程。由此看出，为了得到yOz平面上的曲线的旋转面方程，只要将母线 -在yOz平面上的方程中y改成.x2 y2 面上的曲线绕坐标轴所得旋转面方程都有类似的规律。四、应用举例例3.1 母线-y2 = 2 pz,x = 0,绕z轴旋转所得旋转面方程为X2 y2 =2pz.这个曲面称为旋转抛物面(如图例3.2 母线-3.4 ) o2 2a2 b2z = 0,绕x轴旋转所得曲面方程为2 2 2x y z12 . 2- 1a b这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.4 ）。绕y轴旋转所得曲面方程为z2a2这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图3.5 ）。例3.3

10、圆2 20 r : a.x-a zI y = o,绕Z轴旋所得曲面为x2y2z2a2-r2 =4a2 x2 y2 ，这个曲面称为环面（如图3.6 ）。例3.4设h禾口 12是两条异面直线，它们不垂直，求12绕h旋转所得曲面的方程。解 设11和12的距离为a，以11和12的公垂线为x轴，且命名12与x轴的交点a,0,0，建立 一个右手直角坐标系。设|2的方向向量为vl,m, n,因为12与x轴 垂直，所以ve=0，得l =0。因为12与li异面，所以V不平行于e3，于是m = 0。因此可设V的坐标为0,1, b。 因为11与12不垂直，所以V 3 = 0,于是b = 0。因此，J的参数方程为x

11、二 a,y =t,_： ： t ：.z 二 bt,点M在旋转面上的充分必要条件是消去参数xo, yo,zo,t得xo = a,y。=t,Zo =bt,2 2 2 2x +y =Xo +yo ,1 z-z。=o.这是个旋转单叶双曲面。y222 Z=a 门，b作业习题3.1 : 2（ 4），4，6，96, 9），11(1,3)。 2柱面和锥面2.1柱面方程的建立定义3.2 一条直线丨沿着一条空间曲线 C平行移动时所形成的曲面成为柱面.l成为母线，C称为准线。按定义，平面也是柱面。对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一（除去平面外）与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。柱面的方程的建立

12、。设一个柱面的母线方向为 （l,m,n）,准线C的方程为F(x,y,z) =0,G(x,y,z) =0,F面我们根据点 M (x, y, z)在此柱面上的充分必要条件求这个柱面的方程。C上一点点M (x, y, z)在此柱面上的充分必要条件是M在某一条母线上，即，有准线IMo(X0,yo,Z0)使得M在过Mo且方向为的直线上。因此，有F(x,yo,Zo) = O,G(xo, y,Zo) = 0,x=x lu, y = yo+mu,z = z) nu,消去Xo,yo,Zo，得F (x-lu, y-mu, z-nu) = 0,G(x-lu, y-mu,z-nu) = 0,再消去参数u，得到x,y,

13、z的一个方程，就是所求柱面的方程。例1:柱面的准线方程为x2 y2 z2 =1,2x2 2y2 z22,而母线的方向数为 -1,0,1，求柱面的方程。解：设皿1(咅，,弓)是准线上的任意点，所以过M1的母线方程为x - 洛 _ y - -1 0Z-Z11且有x!2 y2 z2 -1, 2x2 2y； z2 =2.再设x _ xiy - z _ w-1 0 1捲=X t,yi 二 y,乙二 zt ,(2)将(2)代入(1)中得(X t)2 y2 (z -t)2 =1,(3)2(x t)2 2y2 (z t)2 =2,解(3)得t=z,(4)将(4)代入(3)中得所求柱面为2 2(X z) y =

14、1，如果给的是准线 C的参数方程11x= f (t),y = g(t),a t 乞 b,z = h(t),(3.8 )同理可得柱面的参数方程为X = f (t) lu, y = g(t) mu, z = h(t) nu,a 乞 t 乞 b, -： u ：.(3.9 )2.2圆柱面，点的柱面坐标现在来看圆柱面的方程。圆柱面有一条对称轴l，圆柱面上每一个点到轴l的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半径。圆柱面的准线可取成一个圆C，它的母线方向与准线圆垂直。如果知道准线圆的方程和母线方向，则可用2.1中所述方法求出圆柱面的方程。如果知道圆柱面的半径为r，母线方向为 (l, m, n)，以及圆柱面的对称

15、轴|0经过点Mo(Xo,y,Zo)，则点M (x, y,z)在此圆柱面上的充分必要条件是M到轴I。的距离等于r，MM0 vv訂由此出发可求得圆柱面的方程。特别地，若圆柱面的半径为r，对称轴为z轴，则这个圆柱面的方程为(3.10)例2：已知圆柱面的轴为 仝J，点P(1,_2,1)在此圆柱面上，求圆柱面方程。1-2-2解：法一同例1.4法二：因为轴的方向向量为v(1,-2,-2)，轴上的定点为M0(O,1,-1)，而圆柱面上的点为Ir22_32+21+1 -斗1-2-2-2-11-2M/1,-2,1)，所以M0M1(1, -3,2)，因此点M1(1, -2,1)到轴的距离为1 2 + 2 1 +1

16、 一彳1173MoMv V 2 2-2-11-2d =于=VJ12 +(-2)2 +(-2)2再设M(x, y,z)为圆柱面上的任意点，则有MoMJ1174，化简整理得所求圆柱面方程为v38x2 5y2 5z2 4xy 4xz - 8yz - 18y 19z - 99 = 0。空间中任意一点 M(x, y,z)必在以r f x2y2为半径，以z轴为对称轴的圆柱面上。显然这个圆柱面的参数方程为x = r cos 日，y = rsin ,0 ： v : 2二,-：:u ：.z 7因此，圆柱面上的点 M被数偶 d,u 所确定。从而空间中任一点M被有序三元实数组r,u 所确定。rj,u 称为点M的柱面

17、坐标。点M的柱面坐标与它的直角坐标的关系是：系疋.r _ 0; 0 ： v ： 2二；-：:u .x = r cost,y = r sin v,z =u,2.3柱面方程的特点定理3.1若一个柱面的母线平行于 z轴（或x轴，或y轴），则它的方程中不含 z （或x , 或y ）；反之，一个三元方程如果不含z （或x，或y ）,则它一定表示一个母线平行于z轴（或x轴，或y轴）的柱面。证明：设一个柱面的母线平行于 z轴，则这个柱面的每条母线必与 xoy面相交，从而这个柱 面与xoy面的交线C可以作为准线，设 C的方程是f （x,y） =0, z = 0.点M在此柱面上的充分必要条件是：有准线 C上一点

18、M/xyozJ使得M在过M0且方向为（0,0,1）的直线上，因此有f（X。, y） =0,z0 7X丸，y = y。，Z u,消去心亦0，得f （x,y） =0,z = u,由于参数u可以取任意实数值，于是得到这个柱面的方程为f (x,y) =0 。反之，任给一个不含 z的三元方程g(x, y)=0，我们考虑曲线 c:g(x,y) =0,z = 为准线，以z轴方向为母线方向的柱面，由上述议论知，这个柱面的方程为g(x,y)=0。因此，方程g(x, y) =0表示一个母线平行于 z轴的柱面。母线平行于x轴或y轴的情形可类似讨论。2.4锥面方程的建立定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的

19、一个定点 M0的连线组成的曲面称为锥面。M。称为顶点，C称为准线，C上的点与M。的连线称为母线。一个锥面的准线不唯一，与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。锥面方程的求法。设一个锥面的顶点为 M0(X0,y,Z0)，准线C的方程为F(x,y,z) =0,G(x,y,z) =0,我们来求这个锥面的方程。M在一条母线上，即，准线上有一点点M (x, y, z)在此锥面上的充分必要条件是:M1(, y1,z1)使得M1在直线M0M上。因此，有 c时，无轨迹。当h = 1+7 i弋，yob1+yobxozoa cxo .勺-Yoa c b1 + l0西_心b a c因为1 + y0与1-半不全为零，所

20、以下述方程组汇汁0,1粧汇(3.24 )(3.25 )(3.26 )(3.27 )是X, Y的一次齐次方程组。由（3.25 ）知，（2.27 ）有非零解，即有不全为零的实数 , 0 使得倍 + 盯+Ji+*=o, la c ) I b 丿1一仏 +、, Xo.Zo =0.I b丿la c丿这表明点M。在直线片Z卜。卜打=0, la c丿 I b丿X-； =0.(3.28 )上。现在考虑一族直线:卫+引+1+即=0,乜c丿I b丿1-1 +. X-Z =0.I I b丿2 c丿(3.29 )其中取所有不全为零的实数。若叫，1与2成比例，则它们确定（3.29 ）族中的同一条直线，若它们不成比例，则

21、它们确定不同的直线。所以直线族（3.29 ）实际上只依赖于一个参数：与的比值。上面证明了 ：单叶双曲面上的任一点在直线族（3.29）的某一条直线（3.28 ）上。现在从族（3.29 ）中任取一条直线11，它对应于 叫，. 1 ，且在11 上任取一点M1 Xp/W，则有i/x1 乙、(y 气+* 1+巴=0, t c丿I b丿叫1弋+乞兰=0. I I b丿la c丿(3.30 )因为叫，不全为零，所以（3.30 ）式说明二元一次齐次方程组丄a c丿Jb丿1x西-目Y=0K b丿（a c丿(3.31 )有非零解，从而（3.31 ）的系数行列式等于零。由于由本证明的开始部分知，M1（x1, y1,

22、）在单叶双曲面S上。所以，S是直纹面，且直线族（3.29 ）是它的一族直母线。类似地，用（3.26 ）可得S的另一族直母线:(3.32 )其中取所有的不全为零的实数。类似地方法可以证明双曲拋物面也是直纹面。若它的方程是则它有两族直母线:X2(3.33 )(3.34 )(3.35 )其中取所有实数。三、单叶双曲面、双曲抛物面的直母线性质：定理3.5 :单叶双曲面的直母线有如下性质：（i ）同族中任二直母线异面，不同族中任二直母线共面；（ii）过单叶双曲面（3.23 ）上某一点 M。，某一族中有且仅有一条直母线;（iii ）经过一条直母线的某一平面也必经过属于另一族的一条直母线；（vi ）同族中任

23、意三条直母线不能平行于同一平面。证：（i ）任取单叶双曲面（3.23 ）的二条U-族直母线x z * yUi（） =Ui （1 J,li：a cb i,2，Ui（2）i（l），Lacb则u1u1uu_abcFuiu1u1abcu2Fu2u2abcFu2u2u2abc所以li , I2异面一 U2-u1u1Fu1u1u1uiF-u1-u1u1u2F-u2u2-u2Fu2u2r_u2_u21abc4(qu? mu?)式 0。 abc同理可证不同族中任二直母线共面。(ii )略。(iii )任取一 u-族直母线lu：Xzyu ()=u(1),acb则经过lu的平面二的方程为:V u “IL a c1

24、vu V u 1 I b丿1 la c丿I b丄Izxu V 1 -._ a cbSV 2 uvfv1b所以二过一 V-族直母线lv：gz)la c丿 | fx zv . v 1a cb -(vi )任取二条u族直母线Uili: li：uiJl b 丿,j y / .b，= 1,2,3。2、ui )，则h的方向向量为b(ui2 72),气4，+(ui2bcac ab由行列式1*22、2 1/ 22、-(u1u1 )55ab(u1+ 5)bcac1吆2、2 ，1z 2壮、-(u2-u2 )比比ab(u2+ u2)bcac1 ,勺；_(u3u3 )2匕匕1(u32+ u32)bcacab2.2 2

25、a b c2 ui2u? u22ui222u1u1u2u2U3U32Ui2U22U32u12u22 u342戸（山上-比山）（上山a b c-U3U2 )( U3U1 - U3 U1 ) = 0所以三直线不平行于同一平面。定理3.6 :双曲抛物面的直母线有如下性质：（i）同族中任二直母线异面，不同族中任二直母线相交;直母线;（ii ）过双曲抛物面上一任点M0，族中有且仅有（iii ）同族中的所有直母线均平行于一定平面。 证明：仅证（iii ）对u族直母线Z = 2u,a bx y z,a b（1 1 2u ）其方向矢为，所以该直母线平行于平面bx ay =0。例：求过单叶双曲面22x. 上92

26、一2421?上的点牡8）的直母线方程。2解：单叶双曲面刍-社92422話的两组直母线方程为(=w. 1 -_y;Q工13 4丿I2丿13 4丿I 2丿把点（6, 2,8）分别代入上面两组方程，求得w: u = 1: 2与t = 0，代入直母线方程得34=2行,y1于0,0.3 44x-12y 3z-24 = 0, 与 y = 2,4x 3y-3z-6=0;4x-3z = 0.作业习题 3.4 : 3, 4,6,11o 3.5曲面的交线，曲面所围成的区域（1）斜二测法（即斜二等轴测投影法）让z轴铅直向上，y轴水平向右，x轴与y轴、z轴分别成135 角.规定y轴与z轴的单位长度相等；而x轴的单位长

27、度为y轴单位长度的一半（图 3.22）.（2 ）正等测法（即正等轴测投影法）让z轴铅直向上,x轴、y轴、z轴两两成120。角；规定三根轴的单位长度相等（如图3.23 ）。（3 ）正二测法（即正二等轴测投影法）让z轴铅直向上，x轴与z轴的夹角为90 S，其中是锐角，且t : - ； y轴z81与轴的夹角为90其中是锐角，且tg ： -o规定z轴和y轴的单位长度相等，x8轴的单位长度为y单位长度的一半。有时，也让x轴与z轴的夹角为 90 -，其中17tg ：:-；让y轴的负向与z的夹角为90 二，其中tg :：、；此时x轴和z轴的单位长88度相等，y轴的单位长度为 z轴单位长度的一半。般来说，采用正二测法画出的图形比较逼真。我们现在用正二测法画空间中的一个圆,它的方程是:x2 + z2y = 2.先过点M （0,2,0）分别作z轴、x轴的平行线，并截取 ME =ME=：1（ z轴的单位长），截 取MF =MF =1（ x轴的单位长）。过E、E，F、F分别作x轴、z轴的平行线，相