两条直线的夹角

1、两条直线的夹角(2)教学目标理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学方法师生互动教学过程设计说明引入1 引例：判断以下各组直线的位置关系，如 交点的坐标课本 p16例1.1I,:3x4y120,|2 :7x，2|1:3x4y120,l2 :x 33|1:3x4y120,l2:6x 8解：参考课本p1617说明复习判断两直线的平行、重合、相

2、交 的交点坐标的方法由此引出新的课题.思考并答复以下问题1 对于上述1、2这样，当两条直线相 来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线纟 生观察这两条直线的关系解答：两条直线的夹角2 .回忆旧知：在初中平面几何中“两直线夹角" 解答：角是有公共端点的两条射线所组成的 几何图形如右图说明在复习旧知的根底上引人新课 果相交，那么求出12y 10 ；;* 5 0.,以及求相交直线目交时，用什么“量"帝定点旋转，让学的定义是什么？DB概念分析关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？ 怎样定义两条直线的

3、夹角呢？平面上两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单我们规疋两条相交直线所成的锐角或/直角为两条直线的夹角如果两条直线平行或重合， 规定它们的夹角为 0因此,两条直线的夹角的取值范围是0, ，而两条相交直线夹角的取值范围2是o,2现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之 确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？说明为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性;提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向一一方向向量一一斜率一一倾斜角一一

4、夹角之间的关系由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的, 下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角 .说明引导学生画图分析， 寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路设两条直线a1,b1不全为零12 : a?x by C2 0 a2,b2不全为零设11与12的夹角为 ，h与12的一方向向量分别为 di与d2，其夹角为，且d1 =(bi, ai), d2当 0,时，那么2那么，如图乙所示.于得：cos |cos | |di °2. | |di| |d2|即为直线li与12的夹角公式.(b2, a2)，如图甲所示;当$ 时,|玄忌bi b2 |/ 2I

5、22飞 ai bia2 b2特别地,当且仅当aia2bib20时,1i与12的夹角为一,即2 .*li与12垂直.也就是说：li I2di垂直d2ni垂直gaia2 bib20(其中m ,压分别为li与匚的一个法向量)而由aia2b|b2 0 ,易得当 b0,b20时，有a- 21,即当两条直线的斜率都存在时，h与12垂直的充要bl b2条件是k1k21,其中k1, k2分别为直线11与12的斜率说明培养学生周密分析，严格论证的能力由于直线的夹角与两个向里的夹角有区别，前者的氾围是 0,一 .后者的氾围是20,因此必须考虑两种情况0,与(一，; 允许学2 2生从斜率的角度考虑，但是不作为本课的

6、重点，可留做课后探讨例题讲解例1:回到引例求以下各组直线的夹角：1l1 :3x 4y 120， l2 :7x 12y 10 ；2I1 :3x 4y 12 0， I2 : x 3；解：设h与12的夹角为，那么由两条直线的夹角公式得(1)|3 7 4 ( 12) |27屈(1) cos_,占2 42 J72 12296527 祈93 arccos即为所求；965|3 1 (4) 0|33(2) cost °° 一，arccoA 即为所求.V34 <1055说明解决本课开头提出的问题 ，本环节的设计目的是使学生熟 悉夹角公式的初步应用；鼓励学生一题多解，对于小题(2),由于

7、直线12的斜率不存在，还可以数形结合(图略)，求得11的倾斜角3 3、arctan-,得出l1与丨2的夹角为一 arctan 4 24a1例 2:假设直线 l1 : yx 一与 12: 2x (a 1)y10互相33垂直，求实数a的值补充解：先把直线11的方程化为一般形式11 : ax 3y 1 0 3两直线垂直，2a 3(a 1) 0，a为所求.5说明通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数.例3 :直线l过点P( 4,1)，且与直线 m:3x y 10的夹角为310,arccos，求直线l的方程(补充)10解：方法一设l的方程为a

8、(x 4) b(y 1)0其中n (a,b)为l的一法向量，那么也0,即<a2 b2£32( 1)2103ja2 b2 |3a b|化简为b(3a 4b)0解方程，得b 0, 3a4b当b 0时，那么a 0,此时方程为x4当3a4b 0时，方程为4(x4)3(y 1)0 ，即4x 3y 190综上，丨的方程是x4或4x 3y 190.方法二设点斜式，按直线 丨的斜率是否存在分两类讨论 假设直线丨的斜率不存在，那么过点P( 4,1)直线l的方程为x4，设它与直线 m: 3x y 1 0的夹角 ，那么|31( 1)0|3尿3质cos ,arcco，J3212V12 021010满足

9、题意.假设直线丨的斜率存在，那么设直线丨的方程为y 1 k(x 4),即kx y 4k 10 ,设它与直线m: 3x y 10的夹角，那么那么|3k11麵，即Jk2 ( 1)'32 ( 1)2103Jk21|3k 1| ,解得k 4 ,所以直线1的方程为34y 1(x 4),化简得 4x 3y 190,3由可知，丨的方程是x 4或4x 3y 190.说明启发学生探讨“求过某定点P，且与直线夹角为的直线方程这类根本问题的处理方法；一般地，求直线方程时，往往采用待定系数法：先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式， 求解；分析思路，启发学生一题多解.假设设点斜式，学生可能只 求出一条直线

10、，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否 存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线 方程的一般形式.例3类同于教材中的例 4,教材中例4给出的夹 角为特殊值一，本例为arccos '，目的让学生熟悉反二角的表示.310例 4： ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C(5,5)(1)求 ABC中 A的大小;(2)求 A的平分线所在直线的方程.补充解：1方法一：直线AB的方程为：y 1，直线AC的方程为：4x 3y 50,设它们的夹角为，又 A为锐角，所以 A=，33那么cos A -,

11、A arccos-即为所求；5544方法二：数形结合，因为kAB 0,k AC - ,A arctan即为33所求.2方法一：设角平分线所在直线方程 a(x 2) b(y 1)0，即ax by 2a b 0.由角平分线与两边 AB, AC成等角，运用 夹角公式得1 2b| 2 豐 3b25|b| |4a 3b |,Ja2 b25£a2 b2解得a 2b或 2a b ,由题意，舍a 2b所以角平分线的方程为：x 2y 0.方法二：数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率A11为k tan 2或一(舍 2)，k ,又它过点2, 1，222所以，角平分线的方程为：x 2y 0说明稳

12、固提高.因为此题中，直线AB的方程为：y 1,因此采 用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的根本方法.小题1，求三角形的内角，一般先求过 A的两条边所在直线方 程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或 其补角；小题2，注意结合图形，正确取舍课堂练习 11.3 2-1,3练习1.本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2 .会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的冋题；课堂3 .熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相小结交直线的夹角为锐角；4.进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为

13、点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.1、书面作业:练习11.32-2,4习题 11.3 A 组-10,11,122、思考题：光线沿直线l 1： 2x y 20照射到直线l2： x 2y 20上后反射，求反射线所在直线l3的方程.解由2x v 20，得反射点的坐标为(2, 2心x 2y 20)1设l3的方程为a(x 2) b(v 2)0h10X其中n(a,b)为一法向量，a,b不同时为零由反射原理,直线丨1与丨2的夹角等于丨2与13的夹角得作业2 2a 2bOOk或 d doOk舍去V5 545 Ja2 b2Cl厶 W4,舍去a 2b (否那么与丨1重合)，所以a-b,得l3的方程为112x 11y26 0.3 .思考题：在y轴的正半轴上