第11周习题课参考内容

1、第 11 周习题课参考内容二重的计算和性质一、计算二重1 òò x cos(xy)dA ， D = 0,2p ´0,1Dp / 2p / 2p / 2= òsin xdx = 1 。1解： òòD00001 p / 2òò x cos(xy)dA = ò ò x cos(xy)dxdy = ？（注：观察另一种次序较）D002 òòsin(x + y)dA ， D = 0,p ´0,1Dp 1pòòò òò解： sin

2、(x + y)dA = sin(x + y)dydx = -cos(x + y) y=1 dxy =0D0 00pò= cos x - cos(x + 1)d0+ 1)p = sin1 - sin(p + 1) 。01 p次序 òòsin(x + y)dA = òòsin(x + y)dxdy = 注：检验另一种D0 03 òò f (x, y)dA ， D = 0,1 ´0,1 ，Dì1,ìx + y,y £ x 2 ,x 2£ y £ 2x 2 ,其中（1） f

3、 (x, y) = í（2） f (x, y) = íî次序y > x ;2y < x 或y > 2x .22î0,0,解：（1）参考图 1，可以采用两种x21òò f (x, y)dA = ò ò1dydxD0 011= ò x 2dx =；301 1òò f (x, y)dA = ò ò1dxdyD0y1= ò (1 -1y )dy =。30（两种算法结果相符）（2）参考图 2，采用下面的次序比较容易yò (x + y)dx

4、dyy / 21òò f (x, y)dA = òD0y11x 211= ò (+ yx)dy = òy + (1 -) y 3/ 2 dy24200y / 2= 1 + (1 -) 2 =121 -2 。8540521 2 x2思考：换一种次序òò f (x, y)dA = ò ò (x + y)dydx 是否正确？x2D0二、将二重化为累次计算（具体计算可留到课下进行）1 òòex+ y dA ， D = (x, y) :| x | + | y |£ 1D解： D 由 x

5、 ± y = ±1 （4 条直线）围成，如右图，0 x+11 1- xòòex+ y dxdy = ò ò ex+ y dydx + ò ò ex+ y dydx = -1 - x-10 x-1D2 òò x cos(xy)dA ， D = (x, y) : x 2 + y 2 £ a 2D解： D 由 y = ±a 2 - x 2（ | x |£ a ）围成，还可以利用区域和函数的对称性，aa2 - x2= òò-aD- a2 - x23 &#

6、242;ò| cos(x + y) | dA ， D = 0,1´0,1D解：根据 cos 函数的性质将区域 D 分成两个子区域 D = D1 È D2 ，如左图，òò = òòDD1+ òòD2则p -1p - x211òp -1 22òòò=ò cos(x + y)dydx + ò cos(x + y)dydx0D100= 11òòD2= - ò ò cos(x + y)dydx = p -1 p -

7、x22三、改变累次次序（利用二重过渡，全部用区域图形说明）x211 ò ò f (x, y)dydx0 01 1解：作图，原式= òò f (x, y)dA = ò ò f (x, y)dxdyD0ye ln x2 ò ò f (x, y)dydx1 01 e解：如右图，原式= òò f (x, y)dA = ò ò f (x, y)dxdye yD01 x3 ò ò f (x, y)dydxx20y1解：作图，原式= òò f (x,

8、 y)dA = ò ò f (x, y)dxdyD0 yb x4 òò f (x, y)dydxa ab b解：作图，原式= òò f (x, y)dA = òò f (x, y)dxdyDa y11- x25 ò ò f (x, y)dydx-1- 1- x 2解：如右上图，1- y 21- y01原式= òò+ òò= òò f (x, y)dxdy + ò ò f (x, y)dxdyD1D2-10 - 1-

9、y- 1- y 21 1- x6 ò ò f (x, y)dydx0 x-11+ y1- y01解：作图，原式= òò+ òò= ò ò f (x, y)dxdy + ò ò f (x, y)dxdyD1D2-1 00 0p cos x7 ò ò f (x, y)dydx00解：如右图，注意在 D2 中需要增加负号0parccos y1原式= òò- òò= ò ò f (x, y)dxdy - ò 

10、42; f (x, y)dxdy-1 arccos yD1D200四、综合练习a xa11设 f 为一元连续函数，求证òò f (x) f ( y)dydx =ò f (x)dx220 00证明：如右图，可化为区域 D1 上的二重，再利用区域和被积函数关于 x 和 y 的对称性，便有= òò f (x) f ( y)dA = òò f (x) f ( y)dAD1D21 a a1=òò f (x) f ( y)dA =òò f (x) f ( y)dydx22D0 01 aa=

11、2; f (x)dxò f ( y)dy = 右式2002设 f (x) 在a,b上连续，利用二重证明：ù2ébbòòf (x)dx£ (b - a)f (x)dx ，2ê aúëûa其中等号当且仅当 f (x) 为常数时成立。证明：已知 f (x) 在a,b上连续，考虑D = (x, y) a £ x £ b, a £ y £ b上的连续函数 f (x) - f ( y)2 ³ 0 ，恒等号成立当且仅当 f (x) 为常数；由此bbò

12、 ò0 £ I =( f (x) - f ( y)2 dydxaabbbbbbò òò òò ò=f (x)dydx +f ( y)dydx - 2f (x) f ( y)dydx22aaaaaabbbbòòòò= (b - a)f (x)dx + (b - a)f ( y)dy -2f (x)dx ×f ( y)dy22aaaa2= 2(b - a)f (x)dx - 2f (x)dxùébbòò2êë

13、aúûaù2éëbbòòf (x)dx£ (b - a)f (x)dx ，2因此ûaa其中等号当且仅当 f (x) 为常数时成立。òò3 1 - x 2 - y 2 dA 的符号。3. 不计算，二重x2 + y 2 £4解：令 D = D È D È D ， D = (x, y) | x 2 + y 2 £ 1，1231D = (x, y) | 1 £ x 2 + y 2 £ 2， D = (x, y)| 2 £ x

14、 2 + y 2 £ 423则 òò3 1 - x 2 - y 2 dA = òò+ òò + òò，DD1D2D3òò3 1 - x 2 - y 2 dA £ òò1× dA = p ，D1D1òò3 1 - x 2 - y 2 dA £ 0 ，D2òò3 1 - x 2 - y 2 dA £ òò-1× dA = -2p ，D3D3故 ò

15、42;3 1 - x 2 - y 2 dA £ -p < 0 。x2 + y 2 £44. 求 I = òòx + ydA , 其中 D = 0,2 ´0,2, x + y为取整函数。D解：如图 D = D1 È D2 È D3 È D4 ，在 D1 , D2 , D3 , D4 中分别有0 £ x + y £ 1, 1 £ x + y £ 2, 2 £ x + y £ 3, 3 £ x + y £ 4 ，I = ò&#

16、242;x + ydA = òò+ òòx + ydA+ òò + òòD4DD1D2D3D4D3= òò0dA + òò1× dA + òò2 × dA + òò3 × dAD2D1D2D3D4= A(D ) + 2 A(D ) + 3A(D ) = 3 A(D) = 6D123425. 计算 I = òò x 2 + y 2 - 4 dA , D : x 2 + y 2 £

17、 16 。D解：记 D = D È D ， D : x2 + y2 £ 4 ， D : 4 £ x2 + y 2 £ 16 ，则1212I = òò(4 - x 2 + y 2 )dA + òò(x 2 + y 2 - 4)dAD1D22p 22p 4= òò (4 - r 2 )rdrdj + òò (r 2 - 4)rdrdj0 00 224r 4r 4= 2p (2r 2 -)+ 2p (- 2r 2 )= 80p4402I = -òò(x 2 +

18、y 2 - 4)dA + òò(x 2 + y 2 - 4)dA或者D1D2= òò( x 2 + y 2 - 4)dA - 2òò(x 2 + y 2 - 4)dAD1 ÈD2D12p 42p 2= òò (r 2 - 4)rdrdj - 2 òò (r 2 - 4)rdrdj = 80p0 00 0éùxx2ò ò6设 f (x) =eds dt ，求 f ¢(x) 与 f (x) 。-s0 êë tú

19、û解：利用二重过渡，交换累次次序记 D = (s, t) | 0 £ t £ x, t £ s £ x= (s, t) | 0 £ t £ s,0 £ s £ x（见右图）éùxxò òòò22则 f (x) =eds dt =edsdt-s-s0 êë túûD1éùxsxò òò222=edt ds =seds =(1 - e) ，-s-s- x0 êë 0úû20 d dxxò22f (x) =¢sedt = xe。-s- x0五、选讲/选做题*ps + a1cxoo- ac x sd,( a< 1)1计算I = ò 2 lns0解：直接计算比较x1co，根据下面观察，考虑化为累次，再交换次序：p21dy1ò