华东师大版九年级数学下册教案：27.4　正多边形和圆

1、.课题27.4正多边形和圆授课人教学目标知识技能使学生经历正多边形的形成过程，理解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；能应用正多边形的边角关系进展有关计算数学考虑使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，开展学生的形象思维问题解决使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，开展学生的理论才能和创新精神情感态度通过等分圆周、构造正多边形等理论活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心.教学重点理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等名称及其求法教学难点探究正多边形和圆的关系授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回忆

2、多媒体演示问题：1切线长定理的内容是什么？请画出一个三角形的内切圆2请画出垂径定理的根本图形，并说明其中的数量关系3什么是正多边形？你对正多边形有多少理解？师生活动：老师引导学生进展解答，并适时做出补充和讲解回忆以前学习过的且对本节课的学习有根底作用的知识，为学习新知打下根底.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】课件展示观看以下美丽的图案，提出问题：图27441你能从这些美丽的图案中找出正多边形吗？2你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作出一个正多边形呢？师生活动：老师引导学生观察、考虑，学生讨论、交流，发表各自见解老师关注：学生能否从图案中找出正多边形；学生能否从图案中发现正多边形和圆的关系

3、创设情境，使学生主动将圆的知识与正多边形联络起来，激发学生探究的热情，调动学生学习的积极性.活动二：理论探究交流新知【探究新知】问题1：将一个圆分为五等份，依次连结各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正多边形吗？假如是，请你证明这个结论师生活动：老师演示作图并提示学生从正多边形的定义入手证明，引导学生观察、分析，老师指导学生完成证明过程老师在学生考虑、交流的根底上板书证明过程：图2745如图2745，ABBCCDDEEA.3，CD.同理可证：ABCDE，五边形ABCDE是正五边形A，B，C，D，E在O上，五边形ABCDE是圆内接正五边形.活动二：理论探究交流新知老师小结：圆心O到各边的间隔

4、都相等，记为r，那么以点O为圆心、r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它就是正五边形的内切圆归纳：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角问题2：假如将圆n等分，依次连结各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形师生活动：学生考虑，然后小组内交流、讨论，老师根据学生的答复进展总结老师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请

5、说明理由师生活动：学生讨论，考虑答复，老师进展总结讲解老师重点关注：学生能否利用正多边形的定义进展判断；学生能否由圆内接正多边形的各边相等得到弦相等及弦所对的弧相等；学生能否举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形【应用新知】活动一：老师演示课件，根据正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念进展相关计算老师提出问题：1正多边形的中心角怎么计算？2边长a，半径R，边心距r有什么关系？3正多边形的面积如何计算？ 图2746师生活动：学生在老师的引导下，结合图形，得到结论：正n边形的中心角等于360°÷n，2r2R2.活动二：提出问题：如何把一个圆进展n等分呢？师生活动

6、：学生小组内讨论，得到：把中心角n等分，那么弧被n等分，即可得到正多边形老师引导分析：正方形的中心角为90°，说明两条半径互相垂直；正六边形的中心角为60°，说明两条半径和一边构成等边三角形1.将结论由特殊推广到一般，符合学生的认知规律，并交给学生一种研究问题的方法2教学中，使学生明确圆内接正多边形必须满足各边相等，各角相等，培养学生严谨的态度和思维批判性3通过学生探究、归纳，教给学生等分圆周的方法，尤其是尺规作正方形、正六边形.活动三：开放训练表达应用【应用举例】例1如图2747，有一个亭子，它的地基是边心距为2 的正六边形，求地基的周长和面积结果保存根号图2747解：六

7、边形ABCDEF是正六边形，BOC×360°60°，而OBOC，OPBC，OBC是等边三角形，BOPCOP30°，BCOB，cos30°，而OP2 ，BCOB4，该地基的周长4×624，面积6××4×2 24 .师生活动：老师引导学生画出图形，进展分析，完成例题的解答老师总结：正六边形中由两条半径和边组成的三角形为等边三角形，所以半径与边相等，所以正六边形的周长为半径的6倍；正六边形的面积分割为六个全等的等边三角形，先求每个等边三角形的面积再乘6即可变式训练如图2748，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个

8、扳手的开口a的值应是AA2 cmB. cm 图2748C. cmD1 cm学生在老师的引导下，将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等集中在一个三角形中研究，可以利用勾股定理进展计算，进而可以求得正多边形的所有量老师引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题.【拓展提升】例2 半径为R的O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形师生活动：学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探究理论，然后与同桌交流，上讲台演示，老师要重点关注学生的解题过程图2749续表活动三：开放训练表达应用方法一：用量角器画圆心角AOB120°，BOC120°；连结AB，B

9、C，CA，那么ABC为圆内接正三角形方法二：用量角器画圆心角BOC120°；在O上用圆规截取弧AB弧BC；连结AC，BC，AB，那么ABC为圆内接正三角形方法三：作直径AD；以点D为圆心，OD长为半径画弧，交O于点B，C；连结AB，BC，CA，那么ABC为圆内接正三角形例3如图27410，AB，CD是O中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，OA为半径画弧，与O交于E、F两点1求证：AE是正六边形的一边；2请在图上继续画出这个正六边形解：1证明：连结OE，OF，AF，AEOAOE，AOE是等边三角形，故OAE60°，同理可证：OAF是等边三角形OAF60°，AEAF，

10、且EAFOAEOAF120°，AE是正六边形的一边 图274102以B为圆心，AE长为半径画弧，与O交于点G，H，然后顺次将A，E，G，B，H和F连结起来就得到正六边形.及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目的分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好数学的信心.活动四：课堂总结反思【达标测评】1假设正六边形的边长为6，那么其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为BA6，3 B6，3 C3 ，6D6，32如图27411，在O中，OAAB，OCAB，交O于点C，那么以下结论错误的选项是AABAC30° B.C线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D弦A

11、C的长等于圆内接正十二边形的边长 图27411 图274123.如图27412，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y位于第一象限的图象上，那么k的值为_9_.续表活动四：课堂总结反思4.如图27413，正五边形ABCDE，AFCD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G.1写出图中所有的等腰三角形；2求证：G2F.图27413解：1五边形ABCD是正五边形，ABBCCDDEEA，ABCBCDCDEDEAEAB108°，DCBC，CDB是等腰三角形C108°，1CBD36°.AFCD，F136&

12、#176;.ABDABCCBD108°36°72°，FBAF36°，BAF是等腰三角形，进而可得GEAG272°，FDG，AEG是等腰三角形，故等腰三角形有BCD，ABF，FDG，AEG.2证明：五边形ABCDE是正五边形，CCDE108°，CDCB，得136°，2108°36°72°.又AFCD，F136°，故G180°2F180°72°36°72°2F.师生活动：学生完成达标测评后，老师进展个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法

13、，使学生在个别考虑解答的根底上，共同交流、形成共识、确定答案.设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以根底为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、才能得以提升.【课堂小结】1谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？2学习本节课后，还存在哪些困惑？布置作业：教材P67习题27.4第1，2，3题稳固、梳理所学知识对学生进展鼓励、进展思想教育.【知识网络】提纲挈领，重点突出.续表活动四：课堂总结反思【教学反思】授课流程反思在探究新知的过程中，使学生认识到事物之间是普遍联络的，是可以互相转化的，并培养和训练学生综合运用知识和解决实际问题的意识，浸透数

14、形结合的思想和方法讲授效果反思引导学生注意以下几点：1正多边形的相关概念；2正多边形中的相关计算；3正多边形的画法师生互动反思从学生课堂发言和表现来看，学生可以主动参与，亲身体验知识的发生和开展过程，学有所获习题反思好题题号_错题题号_反思教学过程和老师表现，进一步提升操作流程和自身素质.典案二导学设计编 写 人 时间 月 日学生姓名班级 年级 班 组学习目的1、理解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、可以用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。学习重点难点重点：正多边形的概念及正

15、多边形与圆的关系。难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。学习过程自主学习一、情境创设：观察以下图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1等边三角形的边、角各有什么性质？2正方形的边、角各有什么性质？二、探究活动：活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念 概念： 叫做正多边形。注：各边相等与各角相等必须同时成立提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？假如一个正多边形有nn3条边，就叫正n边形等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形活动二 用量角器作正多边形，探究正多边形与圆的内在联络1、用量角器将一个圆nn3等分，依次连接各等分点所得的n

16、边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。活动三 探究正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？假如是轴对称图形，画出它的对称轴；假如是中心对称图形，找出它的对称中心。问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆圆心就是正多边形的中心。分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形要将圆六等分呢？你知道为什么吗？考虑：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，假如有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。考虑：如何作正八边形正三角形、正十二边形