圆辅助线的做法

1、浅谈圆的辅助线作法在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不 得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而 有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分 析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。 下面以几道题目为例加以说明1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线, 以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题D例1如图1, OO的弦AB CD相交于点P, 且AC=BD求证：PO平分/ APD分析1 ：由等弦AC=BD得出等弧AC Bd进一步得出A= Cd，从而可证等弦ab=cD由同圆中等弦上的弦心距相等且

2、分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OELAB, OF丄CD 易证 OPEA OPF 得出 PO平分/ APD证法 1:作 OELAB于 E, OFLCD于 F AC=BD => = A(=> B D =>AAB=CCD=> OE=OFOPB图1-1D/ OEPh OFP=90 => OPEA OPF0OP=OP=>Z OPEh OPF => PC平分/ APD分析2:如图1-1，欲证PO平分h APD即证h OPAhOPD可把h OPAWh OPD勾造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA OD因此易证厶ACPA DBP得AP=

3、DP从而易证厶OPA OP)< 证法2:连结OA ODhCAPh BDP 一hAPCh DPB 1= > ACPA DBPAC=BD=>AP=DPOA=OD => OPAA OPD =>Z OPAMOPD =>P（平分/ APDOP=OF2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径 所对的圆周角是直角这个性质。例2 如图2,在厶ABC中，AB=AC以AB为直径作。O交BC于点D，过D 作O O的切线DM交 AC于 M求证DM丄AC。对的圆周角是直角。于是可连结AD得/ ADB二RH,又三角形性质分析：由AB是直

4、径，很自然想到其所3可得/仁/2 ,再由弦切角的性质可得/ ADMHB，故易证/ AMDhADB=90，从而 DML AG证明连结ADAB 为O O 的直径二 >/ ADB=RAB=ACDM切O O 于 D =>=>Z 1 = Z2ZADMB#=>Z 1 + ZB二Z2+Z ADM =>Z AMDZ ADB= RZ => DM丄AC说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦#如图3, AB是O O的直径，点D在AB的延长线上,BD=OB,#图3DC切O O于C点。求Z A的度数。分析：由过切点的半径垂直于切线，

5、于是可作辅助线即半径 OC得Rt, 再由解直角三角形可得Z COB勺度数， 从而可求Z A的度数。4解：连结0CDC切O O 于 C =>/ 0CD=9OC=OB=B=> C0& C0D=0C/0D=1/2>/ COB=60=> ZA=1/2/COB=30说明,例4圆0过A、求证由过切点的半径垂直于切线想到连结半径如图4，已知 ABC中，2 1 = 22,D两点，且与BC切于D点。EF/BC。分析: 是否相等, 与/ DEF证明欲证EF/BC，可找同位角或内错角 显然同位角相等不易证，于是可连结 由圆的性质可知这两个角分别等于/连结DEC4DE得一对内错角/ B

6、DE和/ 2,故易证EF/BC。BC切O O 于 D =>/ BDE= / 122= / DEF =>/ BDE= /DEF =>EF/BC / 1= 2 2 “由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。说明，4.当两圆相切，可作公切线或连心线例5 已知：如图5,0 0与O Q外切 于点P,过P点作两条直线分别交O 0与 O Q于点A、B、C、D 求证 PB?PC二PAPDC PB?PC=PAPD 即证 PA： PB=PC PD,AC BD并证AC/DB,要证平行，如/ C=/D,然后考虑到这两个角分别与弦切角有关， 圆公切线MN从而问题迎刃而解。证明 连结AG BD

7、过P点作两圆的内公切线M |B5N02 :分析：欲证由此可作辅助线图需证一对内错角相等,进而再作辅助线即两MN=>/APMhC, / BPNND/APMhBPN=> / C=Z D6=> AC/DB => PA : PB=PC PD => PB?PC二PAPD说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线图6和作弦。例6已知：如图6,0 O与O Q内切于点T,经过 切点T的直线与O Q与O Q2分别相交于点A和B。求证 TA : TB=QA: QB。分析：欲证TA： TB=dA： QB,可考虑证这四条线段所在的三角形相似，即证 TQZATQB,于是只

8、需连结QQ,并延长，必过切点，则产生厶T0A和TQB,由/ 1= Z2=ZT，贝S QA Q 2B，易证线证明段比相等。连结并延长QQO Q和O Q内切于点T f => °Q必过切点T=> Z 1= Z 2 => Q 1A/ Q 2BiA=0T =>Z 1= ZT2T= Q2B =>Z 2= Z T=> TQAs TQB => TA : TB=QA : QB说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。D5 .当两圆相交，可作公共弦或连心线。 例7 如图7，O Q与O Q相交于A B 两点，过A点作O Q的切线交O Q于点C, 直线C

9、B交O Q于点D, DA延长线交O Q 于点E,连结CE求证 CA=CEO分析：欲证CA=CE考虑在三角形中证它们所对的角相等，即Z E=Z CAE又由Z DAFZ CAE想到弦切角Z DAF与所夹弧对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦 AB,得Z E=Z DBA易证CA=CE证明连结ABoCA 切O Q于 A =>Z DAFZ DBA四边形 ABCE内接于O Q = >Z E=Z DBA I/ DAF玄 CAE=>Z E二/CAE => CA=CE说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。 例8 如图8,在梯形ABCD中，以两腰AD BC分别为直径的两个

10、圆相交于 M N两点， 过M N的直线与梯形上、下底交于 E、F。求证：MN丄AB分析：因为MN是公共弦，若作辅助线 OQ,必有MNL 0Q,再由OQ是梯形的中位线，得 OQ/AB，从而易证MNLAB证明 连结QQ交EF于G => MN丄QQ。DQ i=OA, CQ=QB => QiQ是梯形 ABCD勺中位线=> QiQ/AB= >/ EFA=/ EGQRt/ => MN 丄AB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线图96 .有半圆，可作整圆例9 如图9, BC为OO的直径，ADLBC于D,=BAAEAf交 BF于 E。求证 AE=BE分析：欲证AE=BE

11、可考虑在三角形中证这两边 所对角相等。即/ ABF/ BAE再考虑证这两个圆周角所对的弧相等，故需补全。O,可证BA Bh,故有Bh Af,易证AE=BE.证明补全O O,延长AD交O O于H,直径 BCL AD=> BA BhBa= Af=> Bh AF >/ ABF=/ BAH => AE=BE说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆7.相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径例10如图10,O O与O Q相交于A、B两点，且 Q在O O上，点P在O O上，点Q在O Q上，若/ APB=40，求/ AQB勺度数。分析 连结QA、QB,在O O中利用圆内接四边形性质求得/ AQB=140°,在O Q2中，/ AQB=1/2/ AQB=70°。证明过程略。说明，由同圆内同弧所对勺圆周角等于所对圆心角勺一半想到连结过 交点勺半径。几何辅助线勺添加，是几何学习勺一个难点，正确添加辅助线，是沟 通题设和结论勺桥梁，也是解题勺重要手段。学生在做几何题时