圆锥曲线齐次式与点乘双根法_第1页
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1、.1， 圆锥曲线齐次式与斜率之积和为定值例1：为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程.解法一常规方法：设，,设直线方程为，联立化简可得:，所以因为所以又因为直线方程等价于为，即比照于，那么代入中，化简可得：.解法二齐次式：设直线方程为，联立化简可得:整理成关于的齐次式：，进而两边同时除以，那么因为所以，又因为直线方程等价于为，即比照于，那么代入中，化简可得：.例2：椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，假设直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点.解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如下图：旧坐标 新坐标即所以原来那么转换到新坐标就成为：设直线方程为：原方程：那么转换到新坐标就成

2、为：展开得：构造齐次式：整理为：两边同时除以，那么所以所以而对于任意都成立.那么：，故对应原坐标为所以恒过定点.例3：椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于两点，证明：直线斜率为定值.解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如下图：旧坐标 新坐标即所以原来那么转换到新坐标就成为：设直线方程为：原方程：那么转换到新坐标就成为：展开得：构造齐次式：整理为：两边同时除以，那么所以所以而.所以平移变换，斜率不变，所以直线斜率为定值.2， 点乘双根法例4：设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右顶点分别为，线段中点分别为，且是面积为的直角三角形.1求其椭圆的方程2过作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.解：12易知：直线不与轴垂直，那么设直线方程为：，因为，那么，所以现联

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