山西省平遥中学高二数学教学设计：选修22 2.3.1 数学归纳法及其应用

1、.“数学归纳法教学设计山西省平遥中学 李 英【教学内容剖析】?数学归纳法?是人教版选修教材22第二章第三节内容，本节课是第一课时。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的根底上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法数学归纳法。数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的表达。并且，本节内容是培养学生严谨的推理才能、训练学生的抽象思维才能、体验数学内在美的很好的素材。

2、【教学目的确定】1、知识和技能1 理解数学归纳法的原理；2 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的形式；3 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2、过程与方法通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由理论向理论过度的过程。在学习中培养学生探究发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的才能，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。3.情感态度价值观通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探究中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探究的治学精神。进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。【教学重点和难点】根

3、据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识程度，本节课知识的重点和难点制定如下：教学重点：1使学生理解数学归纳法的本质 。2掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用教学的难点：1学生不易理解数学归纳法的思想本质，详细表如今不理解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2运用数学归纳法时，在“归纳递推的步骤中发现详细问题的递推关系因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设假如不会运用“假设当时，命题成立这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。 为打破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“1当时，命题成

4、立；2假设时，命题成立，求证：当时命题成立的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用处，从而打破数学归纳法第二步中证明命题的难点【教学条件支持】利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基和“归纳递推，知道只有把“归纳奠基与“归纳递推结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进展分析讲解，增强课堂教学效果【教学过程设计】一、问题导入1、考虑题：数列满足，且，我们已经计算出，并由此猜测通项公式为，那么如何证明我们的猜测是正确的呢？分析：逐一验证是不可能的那么，我们应该考虑“怎样通过有限个步骤的推

5、理，证明取所有正整数都成立的问题引出课题“这就是我们今天要研究的一种特殊的直接证明方法数学归纳法【设计意图】 应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该考虑题的类型出如今本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式上升的详细表达，其思维形式就是“观察归纳猜测证明2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】 通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从详细到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.考虑游戏1: 多米诺骨牌游戏的最大特点是什么？牵一发而动全身考虑游戏2: 摆放好多米诺骨牌，推倒第2块

6、骨牌，观察发生的结果？【设计意图】 在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是根底，也是前提条件.考虑游戏3: 摆放好多米诺骨牌，存在一块骨牌倒下后没有砸倒下一块骨牌，观察发生的结果？ 【设计意图】 在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性问题1:要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？问题2: 从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？【设计意图】 在类比的过程中学习数学归纳法.分析1：根据“第一块骨牌倒下抽象出数学归纳法的第一步，即1证明当取第一个值时,命题成立. 归纳奠基分析2：

7、根据“假设某一块骨牌倒下，那么必定导致后一块骨牌倒下。，抽象出数学归纳法的第二步，即2假设时命题成立,证明当时命题也成立. 归纳递推分析3：从完成“多米诺骨牌游戏中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由1，2可知，命题对于从开场的所有正整数都成立.单靠“死记还不行,还得“活用,姑且称之为“先死后活吧。让学生把一周看到或听到的新颖事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即稳固了所学的材料,又锻炼了学生的写作才能,同时还培养了学生的观察才能、思维才能等等,到达“一石多鸟的效果。板书，证明过

8、程3.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于一些与正整数有关的命题，我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：1证明当取第一个值时,命题成立；归纳奠基2假设时命题成立,证明当时命题也成立；归纳递推根据1和2，可知命题对于从开场的所有正整数都成立.问题3: 1为什么完成了“两个步骤和一个结论就说明命题对所有的正整数都成立？【设计意图】 进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的情形.分析：有了第1步，就有了根底；有了第2步，就可以进展传递，形成了无限的循环；有了结论，整个数学归纳法的过程顺利完成了. 4.数学归纳法的应用【设计意图】 尝试应用数学归纳法解决问题，所以此题选取了教材练

9、习的第一小题。在此题证明中，假如有学生出现直接套用公式解决的同学，就及时强调第二步证明中核心必须用到归纳假设。3请用数学归纳法证明： 5课堂小结1理解数学归纳法的原理2数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是根底，后者是递推根据，最终给出结论。3数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。 6课后作业：宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的老师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末，学堂兴起，各科老师仍沿用“教习一称。其实“教谕在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者那么谓“教授和“学正。“教授“学正和“教谕的副手一律称“训导。于民间，特别是汉代以后，对于在“校或“学中传授经学者也称为“经师。在一些特定的讲学场合，比方书院、皇室，也称老师为“院长、西席、讲席等。课本: P95 练习2;必做P96习题2.3 A组 1、2必做要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察才能，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、开展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察才能和语言表达才能的进步。 B组 1、2 选做