圆锥曲线定点、定直线、定值问题

1、定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为1 . (I)求椭圆C的标准方程；(H)若直线l:y =kx m与椭圆C相交于A , B两点(A, B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标.【标准答案】2 2(I)由题意设椭圆的标准方程为笃爲=1(a . b 0)a b2 22X Va c=3,a-c=1 , a=2,c=1,b =31.43(ll)设 A(x1,y1),B(X2,y2),二 kx mx2 v2得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2-3) = 0,1.43

2、-64m2k2 -16(3 4k2)(m2 -3) 0, 3 4k2 -m2 0.1#8mk3 4k24(m2 -3)3 4k22 2Vi y2 = (kx1 m) (kx2 m) = kmk(x) x2) m3(m2 -4k2)3 4k2'以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0), kAD Kbd =1 , 比 1 ,X 2 X2 2(最好是用向量点乘来)ym * %X2 - 2(X1 X2) 4二0,2 2 23(m -4k )4( m -3) 16mk2223 4k 3 4k 3 4k227m 16mk 4k =0,解得 m1 =-2k,m22kT，且满足3 4k2 -m2 0

3、.当m = -2k时，I : y =k(x -2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22当m 7时，I ： y =k(x -”)，直线过定点(y ,0).2综上可知，直线I过定点，定点坐标为(,0).72、已知椭圆C的离心率e二一，长轴的左右端点分别为 A1 -2,0 , A 2 2,0。(I)求椭圆C的方程;(H)设直线x二my 1与椭圆C交于P、Q两点，直线Af与A?Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。#解法一：(I)设椭圆2 2C的方程为廿£ =1 a b .0。椭圆C的方程为322Xc =

4、 3 , b =a -c =1。(H)取 m =0,得 P|1,心,Q 1-y，直线A1P的方程是八£'3直线A2Q的方程是y二亍x 3,交点为S 4, 3 .若P 1,一仝2q I,兰，由对称性可知交点为S2 (43 )I 2丿若点S在同一条直线上，则直线只能为：x =4。以下证明对于任意的m,直线A1P与直线 A2Q的交点S均在直线:x=4上。事实上，由 4'x = my T2 2 2 2my 1 i 亠4y =4,即 m 4 y 2my -3=0,记 P X1,y1 ,Q X2,y2 ,则 y?设A1P与交于点S0(4,y0),由七-2 m-3m24 $诃2 _

5、 m24。,得、严汕2X1 2Xi设A2Q与交于点S0(4,y0),由七2y2y2,得 )一210 yo - y o6y12y? _ 6y1 my? -1 -込2 my3 _ 4myp2 -6 y1 y?x12 x2 -2X12 X2 -2X12 X2-2-12mm2 4-12m是A =0 ,12分xi 2 X2 -23#S恒在定直线 ：x=4上。13分- y0 =y0，即So与So重合，这说明，当 m变化时，点#解法二：(n)取 m=0,得 P；©Q；乍，直线73, J3A1P的方程是"石X 3,直线A2Q的方程是#取 m =1,得 P |,| ,Q若交点S在同一条直线上

6、，则直线只能为1y 二-1,交点为 S2 4,1 .y - 3,交点为 S1 4, 3 .110, -1，直线A1P的方程是y Jx，直线A2Q的方程是63:x = 4。#以下证明对于任意的m,直线AiP与直线A2Q的交点S均在直线 ：x=4上。事实上，由'x22 i匸y '得| x 二 my i5#2 2my T i 亠 4y 4,即 m 4 y 2my _3 = 0, 记 P i x i ,#-2myi y二齐八d 2i 。2m 4yiAiP的方程是八壮XZA2Q的方程是消去y,得xx 2二x2 -2以下用分析法证明x =4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明3yi my

7、2 -1 = y2 myi 3 即证 2myiy 3 yi y2 .2my 1y 3(y +y )= fm _ jm =° 式恒成立。这说明，当 m 变化时彳7 m +4 m +4''2lL+y2=i2解法三：(n)由 4得 my i 亠 4y2 = 4,即 m2 4 y2 2my - 3 = 0。x =my 亠i-2 m-3-2, y 1 y 2 = 2。m 4m 4AiP的方程是yy1x 2 , A2Q的方程是y y2 x-2 ,x,2x2 2记 P xnyi ,Q X2,y2 ，则 y?由I zX2 2*(x+2)得七(x+2)=七(x-2)Xt +2x2 2x

8、-2 ,y2x -2 x2 -2-6yl红,即证Xt 2 x2 -2点S恒在定直线 ：x=4上。即 x -2/2 xi 2 yi x2 -2 _2_y2 myi 3 yi my2 衆孑砒皿 3丫2 -仏 勺2(Xi +2 )yi 02 2 ) S(myi+3 )yi(my2 i )3y2+yi 3 2 m2m ' 23 2-m 4 m 4=2_-J -2m3 2-yim 4一yi 一yi=4.12分yi这说明，当m变化时，点S恒在定直线 ：x=4上。13分#3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在 x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为.2 -i，离心率为e =-.2(I)求椭圆E的方程；

9、(H)过点i , 0作直线 交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点 M , MP MQ为定值? 若存在，求出这个定点 M的坐标；若不存在，请说明理由.#22解：(I)设椭圆E的方程为冷爲=1,由已知得:a ba 一 c 二.2 -1c_ 2 a2ar*詁一 CT.椭圆e的方程为扌(n)法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设P(x1 ,y 1),Q(x 2,y2)，则:MP =(x1 -m, y1),MQ =(x2 -m, y2),MP MQ =(x 1 - m) (x2 -m-y1y22=乂必2 -m+x2)+m +y1y2。5 分当直线l的斜率存在时，设直线|的方程为：y =

10、k(x -1)，则2聖 y2 =1222由 2得 x 2k (x -1) 2=0y -k(x -1)2k2-2 皿,X1 X227 分2k 11 222kyy =k (X1 -1)(X2 -1) = k X1X2 -(X1 X2) 12k十1(2m -4m 1)k2 (m -2)22224k(2 k1)x -4k x (2k -20 X1 X222k +1_ _ 2k2 _o4k2所以 MP MQ =一1 -m -rm22k +1 2k +1对于任意的k值，MP MQ为定值，所以k22 = 22k 12k 12252m _4m 1 =2(m -2)，得 m =,457所以 M(5,0),MPM

11、Q；41611分1当直线l的斜率不存在时，直线l： x =1,x 1 x2,x1x2 =1$训2 =-25 7由m 得MP MQ =416综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为(5,0) 4法二：假设存在点 M(m,0)，又设 P(X1,yJ,Q(x 2$2),贝U： MP =(X1 -m,y ",MQ =(X2-m,y2)2MP MQ =(X1 -m)(X2 -m)亠yy2 = X1X2 -m(X1 亠X2)亠m 亠yy2 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为'2X 2 +yx 二 ty 1,xty-11 2得(t 2)y 2 2ty T =0 . y1 y213分-2

12、t-12 ,y 1 y 22t 2 t 2t22t2+t2+22t2+2X1X2 =(ty11) (ty21) “2丫1丫2 t(y1 y2) 1 二2 2-2t2t 44 t21_(m2 -2)t2 2m-4m 1t2 +2MQ则 * -2屮 2m2-4m 1X1 X2 二t(y1 y2)2 二 t2 . 22t2 2 4m 2MP MQ 22 mt +2 t +2设MPt2 2t2 2t2t2 - 2.(m2(m2-2)t2 2m2 4m 1 二(t2 2)-2 - ')t? 2m -4m '1 -2， 0m2 _2 _ =022m -4m 1 -2，=05m45二 M(,

13、0) 11 分 I. 7'4r=当直线l的斜率为0时，直线l:y =0，由M(5,0)得:164755257MP MQ 乂2 一4)(一 2 一4)=16 一26综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(5 0)。13分4'，过椭圆的右4、已知椭圆的焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2 =4y的焦点，离心率e= 2焦点F作与坐标轴不垂直的直线 丨，交椭圆于 A、B两点。(I)求椭圆的标准方程；(n)设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(MAMB)_AB，求m的取值范围;(川)设点C是点A关于x轴的对称点，在 x轴上是否存在一个定点 N，使得C、B、 三点共线？若存在

14、，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。2 2解法一：(I)设椭圆方程为 笃与=1(a b 0)，由题意知b = 1a b2 2a -b""2a(n)由22x22a2 = 5故椭圆方程为y =1(I)得 F(2,0)，所以 0 _m _2，设丨的方程为 y =k(x-2) ( k = 0)代入 y2 =1，得(5k2 1)x2 -20k2x 20k2 -5=0 设 A(xyj, Bg, y?),52 220k20k 5则治X22MX?2,%丫2="为X2-4),%-y2 =k(X1-X2)5k +15k +1-MA MB 二化-m,yj 区-my) =(x x?

15、 -2口, y?), AB =区 - y? - yj(MA MB) _ AB,. (MA MB) AB =0, (x1 x2 -2m)(x2 - x1) (y y1)(y1 y2)2 2.2m42k0, (8 -5m)k2 -m =0 由 k2 m 0, 0 ： m ：,5k2 15k2 18-5m5o.当 0 ： m :-时，有(MA MB) _ AB 成立。55直线BC的方(川)在x轴上存在定点N(?,0)，使得C、B、N三点共线。依题意知 C(x1y1),程为、 屮 =业yi (x _冷), 令 y = 0，贝H x = y1 以2_x1 = X2 禺y?+y1'l的方程为y=k

16、(x-2), A、B在直线丨上， k(x1)x2 k(x2 -1)x1 k(x1 x2) -4kyk(X| 一 2), y2 二 k(x2 -2) x%X2 yxy y12kx1x2k(x1 x2)k(x1 x2) -4kOl 20k2 -5 r 20k22k 2 2k 2 _5k2 +15k2 +12k；4k5k2 +15_丁在x轴上存在定点n(2,0)，使得CBN三点共线。9解法二：()由(I)得F(2,0)，所以0乞m辽2。设丨的方程为y二k(x-2) (k = 0),2代入 y2 =1,得(5k2 1)x2 -20k2 20k2 -5 = 0设“为,yj, By),则5心 - X2)x

17、1 x2 二 x1x2 二20： :% y2 = k(x1 x2 -4)= -k4n5k +15k +15k +1(MA MB) _ AB,. | MA |=| MB |厂,(花-m)2 y-(Xi X2 -2m)(Xi -X2)(yi 丫2)(% - y?) = 0,(1 k2)(N x2) _2m4k2 =0, (8 5m)k2_m = 0 8k288、| 门decm 22) k = 0, . k 0. 05k2 +15 5(5k2 +1Q =«* a* -"J.当 0 ： m ： 时，有(MA MB) _ AB 成立。5化-m) 目2、:m5(川)在x轴上存在定点N(=0)，使得C、B、N三点共线。2设存在N(t,0),使得C、B、N三点共线，则CB/CN ,C B = ( X - X，y y, c N (丄 1 X，1 ”(X2 -Xi)yi -(t -Xi)(yi y2)=0即(x2-xJHn -2) _(t -xjk%x2-4) = 0.2XjX2_(t2)(为x2)4t =020k2 -520k22円7 2心，t = 5.存在N(5,0)，使得CBN三点共线。2 226、(福建卷)已知椭圆y2 =1的左焦点为F , O为坐标原点。2(I)求过点 O、F i并且与椭圆的左准线I相切的圆的方程；(H)设过点F且不