07第七节极限存在准则两个重要

1、第七节 极限准则两个重要极限分布图示例 1例 4例 7例 9例 12例 2例 5例 8例 10例 13例 3例 6准则单调有界准则sin x = 1limx®0例 11例 14xæ1 ö xlim ç1 += e÷例 15-16例 17例 18x®¥èx ø例 19课堂练习例 20内容小结习题 1- 7 返回内容要点一、准则：如果数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件:（1） yn £ xn £ zn (n = 1,2,3,L) ;（2） lim yn = a, lim zn =

2、 a,n®¥n®¥, 且 lim xn = a.那末数列 xn 的极限n®¥注：利用准则求极限，关键是构造出 yn 与 zn , 并且 yn 与 zn 的极限相同且容易求.二、单调有界准则：单调有界数列必有极限.三、两个重要极限æ1 öxsin x= 1 ；2 lim ç1+÷= e .1. limx ®0xx®¥èx ø四、极限准则例题选讲准则的应用æö111lim ç+÷.+L+例 1 (E01) 求n

3、®¥ç÷n2 +1n2 + 2n + nn2èøn11<+ L +<解 Qn2 + nn2 + 1n2 + nnn2 + 1n11= limn®¥= 1, limn®¥= limn®¥= 1,又 limn®¥1 + 11n2n2 + nn2 + 11 +n由定理得æö111lim ç+÷ = 1.+L +n®¥ç÷n2 + 1n2 + 22n + nè&#

4、248;例 2 求 lim (1+ 2n + 3n )1/ n.n®¥1éæ 2 önæ 1 ön ù n1解 由(1 + 2n + 3n ) n = 3ê1 + ç ÷ + ç ÷ ú , 易见对任意自然数 n, 有êëè 3 øè 3 øúûæ 2 önæ 1 ön1 < 1 + ç ÷ + ç &

5、#247;< 3,è 3 øè 3 ø1æ 2 önæ 1 ön ù né1故3 ×1n1< 3 × 3n .< 3ê1 + ç ÷ + ç ÷ úè 3 øè 3 ø1êëúû1而 lim 3 ×1n = 3, lim 3 × 3n = 3, 所以n®¥n®¥

6、1éæ 2 önæ 1 ön ù n1lim (1 + 2n + 3n ) n n®¥= lim 3ê1 + ç ÷ + ç ÷ ú= 3.è 3 øè 3 øn®¥êëúûn! .例 3(E02)求 limn®¥ nnn! = 1× 2 × 3Ln < 1× 2 × n × nLn

7、2n!22=, 易见0 <<. 又 lim= 0.解 由nnn × n × nLnn × n × nLnn2nnn2n®¥ n2n!lim= 0.所以n®¥ n2例 4求 lim n n.n®¥解 令 n n = 1 + rn (rn ³ 0), 则n(n -1)n(n - 1)2n - 1)n2n2n = (1 + r= 1 + nr +r +L+ r >r (n > 1), 因此 , 0 £ r <.nnnnnn2!2!2n - 1= 0,

8、所以 lim r = 0. 故 lim n n = lim (1+ r ) = 1+ lim r = 1.由于 limn®¥nnnn®¥n®¥n®¥n®¥例 5(E03) 求极限 lim cos x.x®0解 因为20 < 1 - cos x = 2sin 2ç÷,2è 2 ø2故由准则I¢, 得lim (1 - cos x) = 0, 即 lim cos x = 1.x®0x®0xé 1 ù

9、;例 6 求极限 limê x ú.ë ûx®01é 1 ù1 ，因此，当 x > 0 时, 1 -ùúû £ 1解 当 x ¹ 0 时,lim xé 1 ù = 1, 当 x > 0 时，有1 -ù ³ 1由定理可得êë x úûúûx®0+由定理可得 lim xé 1 ù = 1, 从而lim xé 1 ù =

10、1.êë x úûêë x úûx®0-x®0例 7 证明数列 xn =3 +3 + L+3 (n 重根式)的极限.证显然 xn+1 > xn , xn 是单调递增的.下面利用数学归纳法证明xn 有界.因为 x1 = 3 < 3, 假定 xk < 3, 则 xk +1 = 3 + xk < 3 + 3 < 3.所以xn 是有界的.从而 lim xn = A.n®¥由递推关系 x= 3 + x , 得 x2 = 3 + x , 故 lim= lim

11、 (3 + x ), 即 A2 = 3 + A,x2n+1nn+1nn+1nn®¥n®¥解得 A = 1 +13 , A = 1 -= 1 + 13 .13 (舍去). 所以 lim xn®¥n222例 8设 a > 0 为常数, 数列 xn 由下列定义:1 æöaxn =xç+÷(n = 1,2,LL)n-12xèn-1 ø其中 x0 为大于零的常数, 求lim xn .n®¥解 先证明数列 xn 的极限的性.1 æöa

12、1;+÷ Þ 2由 x =x2n-1+ a, 即(n - a Þ xn ³ a.22n-1n2xèn-1 ø由 a > 0, x0 > 0, 知 xn > 0, 因此 xn ³a , 即 xn 有下界.1 æöxn+1 xna11 a=ç1 +÷ =2+£ 1, 故数列 xn 单调递减，由极限准则知 lim xn又.2 ç÷22 xn2xn®¥èn ø1 æö1 æa

13、öaç xn-1 +÷ 两边取极限得: A =不妨设 lim xn = A, 对式子 xn =ç A +÷.2 èxn-1 ø2 èA øn®¥解之得 A = a, 即 lim xn = a.n®¥tan x .例 9(E04)求 limx ®0xtan x = lim sin x ×1sin x × lim1= limx®0= 1.解 limx®0xxcos xxx®0 cos xx®0tan

14、3x例 10 求 lim.x®0 sin 5xsin 3xtan 3x = lim sin 3x ×1× 31= 1 ´ 3 ´1 = 3 .3x= lim解 limx®0 sin 5xx®0 sin 5xx®0 sin 5x cos 3x5 cos 3x1 555xlim 1- cos x .例 11(E05) 求x2x®0æx ö2xx2sin 2sin 2ç sin÷1111解 原式= lim2=lim2 =lim ç2 ÷ =×

15、12 =.x2æ x ö22 x®0çx÷2 x®022x®0ç 2 ÷è2 øè ø例 12下列运算过程是否正确：lim tan x = lim tan x .x= lim tan x limx= 1.x®x sin xsin x®解 这种运算是错误的.当 x ® 0 时, tan x ® 1,x® 1, 本题 x ® p , 所以不能应用上述xsin x方法进行计算.正确的作法如下： 令 x - p =

16、 t, 则 x = p + t; 当 x ®p 时,t ® 0, 于是tan x = lim tan(p + t)tan ttan t ×t= lim= limt ®0= -1.limx®p sin xt ®0 sin( p + t)t ®0 - sin tt- sin tcos x - cos 3x例 13计算 lim.2xx®0cos x - cos3x2sin 2x sin x4sin 2x × sin x= limx®0= limx®0= 4.解limx®0x2x22

17、xxx - sin 2x .例 14 (E06)求limx®0 x + sin 2x1 - sin 2x1 - 2 sin 2xx - sin 2x = lim= 1 - 2 = - 1 .x2x= lim解 lim®0sin 2x 1 + 21 + 231 +x2x1 ön +3æ例 15 (E07)求 lim ç1+÷.n®¥èn ø1 ön+3éæ1 ön æ1 ö3 ùæ1 ön æ1 &

18、#246;3ælim ç1 +÷= lim êç1 +÷ × ç1 +÷úúû= lim ç1 +÷ × ç1 +÷= e ×1 = e.解n®¥èn øn®¥ êëèn øèn øn®¥èn øèn ø例 16 (E08)求 lim (1

19、- 2x)1/ x.x®0- 1 ù-22 x úúûé1= e-2.解 lim (1 - 2x) x = lim ê(1 - 2x)x®0x®0êëæ1 ö x例 17求 lim ç1 -.÷x®¥èx ø-1ö- x ùéææ1 ö xö xæ1111lim ç1 -÷ = lim ç1 +&#

20、247;= .e解- x øx®¥èx øx®¥èç1 + - x ÷èøæ 3 + x ö2xlim ç÷例18 (E09) 求.x®¥è 2 + x ø2ö x ù2ö x+2-2 ùéæéææ 3 + x ö2x11lim ç÷= lim êç1 +&#

21、247; ú = lim êç1 +÷ú解x®¥è 2 + x øx®¥ êëèx + 2 øx + 2 øúûx®¥ êëèúû2ö x+2 ù æéæö-411= lim êç1 +x®¥ êëèú

22、0;ûç1 += e2.÷÷x + 2 øx + 2 øèö xæx 2例 19 求 lim ç÷.ç 2÷x - 1x®¥èøxéæöx -1 ù x2 -12ö xæö xx2æ11lim ç÷= lim êç1 +ú= lim ç1 += e0= 1.÷÷解

23、31;÷x - 12x2 - 1øx®¥êèx2 -1øúx®¥èx®¥èøëû例 20 计算 lim(ex + x)1/ x .x®01ex ü exì111x æö xïéx ù x ïxlim (e + x) = lim (e )xxç1 + x ÷= e lim íê1 += e ×

24、; e = e .2x解ýx úèeøx®0ïëe ûx®0x®0ïîþ课堂练习1. 求极限 limx®0tan x - sin x .x2 sin x12. 求极限 lim (3x®+¥.（Augustin Louis Cauchy，17891857）业绩永存的数学大师19 世纪初期，微它的薄弱之处也越来越已发展成一个庞大的分支，内容丰富，应用非常广泛，与此同时，出来，微的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微概念，数学家们展开了数学分析严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要推伟大的数学定。1789 年 8 月 21 日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家并日日后必成大器。交往密切少年的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，日向其父建议“赶快