数值分析课后部分习题答案

1、WORD格式习题一 P.141. 以下各近似值均有 4 个有效数字, x*0.001428, y*13.521, z*2.300 ,试指出它们的绝对误差和相对误差限 .解x*0.001428=0.142810 2有4个有效数，即n4 ， m2由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为110m n110 6，22由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为110 (n 1)1103；2a12y*13.521=0.13521 102有4个有效数，即n4 ， m 2由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为110m n110 2，22由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为110 (n 1)1103；2a1

2、2z*2.300=0.2300101有4个有效数，即 n4 ， m 1由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为110m n110 3，22由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为110 (n 1)110 3.2a14专业资料整理WORD格式2以下各近似值的绝对误差限都是有几位有效数字.1 10 3,试指出它们各2专业资料整理WORD格式x*2.00021,y*0.032,z*0.00052解 x* 2.00021 0.200021 101，即 m 1由有效数字与绝对误差的关系得110m n110 3，22即 mn3 ，所以， n 2 ；y*0.032 0.32 101，即m1由有效数字与绝对误

3、差的关系得110m n110 3，22即 mn3 ，所以， n 4 ；z*0.00052 0.52 10 3，即 m3由有效数字与绝对误差的关系得110m n110 3，22即 m n3 ，所以， n 0 .4. 设有近似数x*2.41, y*1.84, z*2.35 且都有3位有效数字，试计算 S x*y* z*，问S有几位有效数字.解 方法一因 x*2.41=0.241 101 , y*1.84 0.184 101 , z*2.35 0.235 101都有 3 位有效数字，即n3 ， m1 ，那么|e( x*)|110mn110 2， |e( y*)|110m n1102，2222|e(z

4、*)|110mn110 2，22专业资料整理WORD格式| e( y* z*) | | z* e( y*)y* e(z*) |z*| e( y*) |y*| e( z*) |专业资料整理WORD格式2.35110 21.84110 22.09510 2，22| e( x*y * z*) | e( x*)e( y* z*) |110 22.095 10 220.259510 1110 1，2又x * y * z*=2.411.84 2.350.6734101，此时m1 ， m n1 ，从而得 n2 .方法一因 x*2.41=0.241101 , y*1.840.184 101 , z*2.350

5、.235101都有 3 位有效数字，即n3 ， m1 ，那么11( x*)|=| e( x*) |110 2|e( x*)|10mn10 2，|er22.41，22x *11( y*)|=| e( y*) |110 2|e( y*)|10mn10 2， |er21.84，22y*11(z*)|=| e( z*)110 2|e(z*)|10mn10 2，|er|22.3522z *| er ( y* z*) | | er ( y*) er (z*) | ，x *y* z *| er ( x *y* z*) | | x * y* z *er( x*)x *y* z* er( y* z*) |2.4

6、1| er ( x*) |1.842.35| er ( y*)+ er ( z*) |2.411.842.352.411.842.35110 21.84110 22.35110 22222.411.842.352.411.842.352.411.842.350.385410 21102，专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式由有效数字与绝对误差的关系得n2 .5. 序列 yn有递推公式yn10yn 11,( n1,2,)假设 y021.41三位有效数字 ，问计算 y10的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解用 0 表示 y0 的误差，由y021.41 ，得0 =0.0042，由递推公

7、式yn10yn 11,(n1,2,) ，知计算y10的误差为10 =0.42108，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题 2 ( P.84)n3.证明lk ( x ) 1k 0，对所有的 x其中 lk ( x) 为Lagrange插值奇函数.证明 令 f ( x)1 ，那么f (xi) 1，nn专业资料整理WORD格式从而又Ln ( x)l k ( x) f ( xk )lk ( x) ，k0k 0Rnf ( n1() )n 1 (x)0 ，(x)1)!(nn专业资料整理WORD格式可得n，从而lk ( x )1l( x )f ( x) 1k 04.求出在 x=0，

8、1，2 和3处函数 f ( x)x21的插值多项式 .解 方法一因为给出的节点个数为4，而f (x)x 2 1从而余项专业资料整理WORD格式R3f (4)()( x) 0，( x)44!于是L3( x)f ( x)R3 ( x)f ( x)=x2+1（ n 次插值多项式对次数小于或等于的多项式准确成立 .方法二因为 f (0)1， f(1)2， f (2)5， f (3)10，而l0 (x)( x 1)( x 2)( x 3) =- 1 ( x 1)( x2)( x 3) ，(01)(02)(03)6l1 (x)x( x2)(x3)12)( x3) ，(10)(12)(1=x( x3)2l2

9、 (x)x( x1)( x3)1(20)(21)(2=- x( x 1)( x 3) ，3)2l3 (x)x( x1)(x2)11)( x2) ，(30)(31)(3=x( x2)6从而L( x)l ( x) f ( 0 ) l (x )f ( 1 )lx( f )3( 2l )= x2 (+f 1) ( 3 )3012.5. 设f ( x)C 2 a, b 且 f (a)f (b) 0，求证max | f ( x) |1 ( ba) 2 max | f( x) |.a xb8ax b证明因 f (a)f (b)0 ，那么L1( x)0，从而f ( x)R1 ( x )f()a)( xb) ，

10、2!( x专业资料整理WORD格式由极值知识得6. 证明12) m fa x x|( ) |m a x f| x( ) | b ( aa x b8a x b( f ( x ) g ( x ) )f(x)g (x)f(x).gxh专业资料整理WORD格式证明由差分的定义专业资料整理WORD格式( f ( x) g( x)f ( x+h)g( xh)f ( x) g( x)专业资料整理WORD格式 f ( x+h)g( xh)f ( x) g( x+h) f ( x) g( xh)f ( x) g( x)专业资料整理WORD格式f ( x)g( x)f ( x) g( x+h)专业资料整理WORD

11、格式或着( f( x )g ( x ) )f(x +h )g (xh )f ( xgx专业资料整理WORD格式 f ( x+h)g( xh)f ( xh) g( x) f ( xh)g( x)f ( x) g( x)专业资料整理WORD格式f ( xh)g( x)f ( x) g( x)专业资料整理WORD格式7. 证明 n 阶差商有以下性质专业资料整理WORD格式(a) 如果F ( x)cf ( x) ，那么F x0 , x1 , xn cf x0 , x1, xn .专业资料整理WORD格式(b) 如果F ( x)f ( x)g( x) ，那么专业资料整理WORD格式F x0 , x1 ,

12、 xn f x0 , x1 , xn g x0 , x1 , xn .专业资料整理WORD格式证明由差商的定义(a) 如果 F ( x) cf ( x) ，那么F x1 , x2 , , xn -F x0 , x1 , , xn 1 F x0 , x1 , , xn xnx0cf x1 , x2 , xn -cf x0 , x1 , xn 1 xnx0cf x1 , x2 , xn -f x0 , x1 , xn 1 cf x0 , x1 , , xn .xnx0(b) 如果F ( x)f ( x)g( x) ，那么F x1 , x2 , , xn -F x0 , x1 , , xn 1 F

13、x0 , x1 , , xn xnx0 f x1 , x2 , , xn g x1 , x2 , , xn -f x0 , x1 , , xn 1 g x0 , x1 , , xn 1 xn x0专业资料整理WORD格式f x1 , x2 , , xn -f x0 , x1 , xn 1 g x1 , x2 , , xn g x0 , x1 , xn 1 xnx0+xnx0f x0 , x1 , , xn g x0 , x1 , , xn 8. 设f ( x) 3x74 x43x1 ，求012,7， f 20,21, ,28 .f 2,2,解 由 P.35定理 7 的结论 (2)，得7 阶差商

14、f20,21,2 7 =3( f ( x)的最高次方项的系数)，8 阶差商f20,21,2 8 =0(8 阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过 4 次的多项式P (x)，使它满足：P(0)P (0)0， P(1)P (1)1 ， P(2)1.解 方法一 先求满足插值条件P(0)0 ，P(1)=1 ，P(2)1 的二次插值多项式P2( x) =1x23 (L- 插值基函数或待定系数法)，22设 P (x) =P2( x)Ax( x 1)(x2) Bx2( x1)( x2)=1x23x + Ax( x1)( x2)Bx2( x1)( x 2)22从而 P ( x) =4Bx3 +(3A9

15、B) x2(6A 4B1) x(2 A3) ，2再由插值条件 P (0)0， P (1)1，得 A=3, B= 1,44所以P( x) =1 x23 x3 x( x 1)( x 2)1 x2 ( x 1)( x 2) ，2244即P( x) = 1 x43 x3+ 9 x2.424专业资料整理WORD格式方法二 设 P( x) =a0a1 xa2 x2a3 x3a4 x4，那么P ( x) =a12a2 x 3a3 x24a4 x3由插值条件 P(0)P (0)0， P(1)P (1)1 ， P(2)1，得a00a10a0 +a1 +a2 +a3 +a41a1 +2a2 +3a3 +4a41a

16、0 +2a1 +4a2 +8a3 +16a41a =931解得,a = - a,=24324，4从而P (x) = 1 x43 x3+ 9 x2.424方法三利用埃尔米特插值基函数方法构造.10. 下述函数 S( x) 在 1,3 上是3次样条函数吗？x33x22 x1,1x2S( x)=9x222x17,2x3x3解 因为3 x26x2 ,1 x233x21 x82 2 ,x2，S ( x ) =S ( x)=6 x6,1x26 x18,2x3而 S1(2)=1= S2 (2) ， S1 (2)=2= S2(2) ， S1(2)=6= S2 (2) ，又S( x)是三次函数，所以函数S( x

17、) 在1,3上是3次样条函数.补 设 f(x)=x4，试利用 L- 余项定理写出以-1,0,1,2 为插值节点的三次插值多项式.解 因为R3f ( 4()(x) x( x+1)( x 1)(x 2)，( x)44!专业资料整理WORD格式从而L3 (x)f (x)R3( x)2x3x22x习题 3 ( P.159)1设k(x)nk 0为 a, b上具有权函数(x)0的正交多项式组且k (x)为首项系数为1 的k次的多项式，那么k ( x)nk 0于 a, b线性无关 .解 方法一 因为 k ( x) kn0为 a,b 上具有权函数( x)0 的正交多项式组 ,那么其 Gram 行列式不等于零，

18、采用反证法：假设0 , 1 , , n于a,b线性相关，于是，存在不全为零c0 , c1 , cn , 使c0 0 ( x)c1 1 ( x)cn n ( x)0, xa,b上式两边与i 作内积得到c0 ( i ,0 )c1 ( i , 1 )cn ( i , n )0， ( i0,1, n)由 于ci不 全 为 零 ， 说 明 以 上 的 齐 次 方 程 组 有 非 零 解(c0 , c1 , cn ), 故系数矩阵的行列式为零，即 G0 ,1, n0与假设矛盾 .方法二 因为 k (x) kn0为 a,b 上具有权函数(x) 0 的正交多项式组 ,那么其 Gram 行列式不等于零，由 (P

19、.95)定理 2 得 k ( x) kn0于 a, b 线性无关.专业资料整理WORD格式2选择，使下述积分取得最小值专业资料整理WORD格式(a)1x22dx,(b)1x )2dx x(ex10解 (a)1 xx2 2dx =1 xx2 2dx11=2xx2 (x2 )dx =2x5 11 = 4，1155令1 xx2 2dx=0 ，得 =0 .1(b)1(ex1(exx)2dx0x)2dx =0=1x) (x)dx =222(ex03令1x2，得=3.0( ex)d x= 03设f (x)1 , x1,3, 试用H11, x求 f ( x) 一次最正确平方逼近x多项式 .解取权函数为( x

20、)x (为了计算简便)，那么专业资料整理WORD格式3(1,1)xdx1( x, x)33dxx13 1( f ( x),1)1xx2 32 14xxdx4,(1, x) ( x,1)x2dx3326 ,x31313320 ,1x 12， ( f ( x), x)31x2d*234 ，31 x2 1专业资料整理WORD格式26a0124a02得法方程3，解得11 ，26a14a1320113所以 f (x) 的一次最正确平方逼近多项式P1( x)123 x .1111专业资料整理WORD格式8什么常数C能使得以下表达式最小？专业资料整理WORD格式n( f ( xi )Ce xi ) 2i 1

21、nn解( f ( xi ) Ce xi ) 2 =2( f ( xi ) Cexi ) (C i 1i1nnf ( xi ) exi令( f ( x ) Cxi e2) = 0Ci 1C i 1i，得ne2x ii 1exi ) ，（ f ( x ), ex（ ex， ex.专业资料整理WORD格式14用最小二乘法求解矛盾方程组2x+3 y1x4y9 .2xy131x+y解 方法一 方程组可变形为22，x 4 y 91y1x22t3124原问题转化成在三组离散数据211f (t)922下求一次最小二乘逼近函数P1 ( x )xyt (x与y为一次函数的系数， t 为自变量 )，取H 1基1,t

22、,求解法方程专业资料整理WORD格式33tii133titi2i1i 13- 3 x即37y-32x3f ( xi )i1,3yi1t i f ( xi )-9x=- 37，得到矛盾方程组的解为31 .3756y=31专业资料整理WORD格式x+31y2方法二 方程组可变形为2，x4 y9x1 y122令 I ( x, y)3122112= x+ y- + x4y+9 + xy+22223y-1 x4 y+9+21y+1xI ( x, y) =2 x+2 x2222=6 x6 y18 ，yI ( x, y) = 3 x+ 3 y14 x4 y+91 x1 y+ 1222222=373 xy 3

23、72I ( x, y)0x y3令x， 得3 7，I ( x, y)03 xy3 72y37x解之得矛盾方程组的解为31 .专业资料整理WORD格式y5631专业资料整理WORD格式习题 47. 对列表函数x124810f ( x )0152127求 f (5)， f (5).解 一阶微商用两点公式(中点公式 ),得f (8)f (2) 10f (5),63专业资料整理WORD格式二阶微商用三点公式(中点公式 ),首先用插值法求f (5) ,由 f (4)5, f (8)21, 得一次插值函数L1( x) 4x 11,从而f ( 5 ) L1 ( 5 ), 9于是 ,f (5)f (2) 2

24、f (5)f (8) 4 .3298. 导出数值数分公式f (3) (x)13 f (x3 h) 3 f (xh ) 3 f ( xh)f (x3 h)h2222并给出余项级数展开的主部.解 由二阶微商的三点公式(中点公式 ),得f( xh1hh3)2 f ( x) 2 f ( x) f ( xh) ,2h222f( xh)12 f ( x3h ) 2 f ( xh) f ( xh)2h222f( xh)fx(h)从而f (3()x)22h=13 f ( x3 h)3 f ( xh)3 f ( xh)f ( x3 h)h2222将 f ( x3 h)， f ( xh)，f ( xh)， f (

25、 x3 h) 分别在x处展开,得2222f ( x3 h)=f ( x)f ( x)3 h1 f ( x)( 3 h)21f (3) ( x)( 3 h)3222!23!21f (4) ( x)( 3 h)41f (5) ( x)( 3 h)5 +O( h5 )(1)4!25!2f ( xh )=f ( x)f ( x)h1f( x) ( h) 21f (3) ( x) ( h)3222!23!21f (4) (x)(h )41f (5) ( x) (h)5O(h5 )(2)4!25!2f ( xh)=f ( x)f ( x)(h)1f( x)(h)21f (3) ( x)( h)3222!2

26、3!21f (4) ( x)(h )41f (5) ( x)(h )5O( h5 )(3)4!25!2专业资料整理WORD格式f ( x3 h)=f ( x)f ( x)(3 h)1f ( x) (3 h)21 f (3) ( x) (3 h)3222!23!21f (4) ( x)(3 h)41f (5) ( x) (3 h)5O( h5 )(4)4!25!2(1)(2)× 3 + (3)× 3(4), 得f ( xh )12 f ( xh) 2 f ( xh)f ( x3 h)1f (5) ( x)h2O(h2 ) ,2h2228即余项主部为1f (5) ( x)h28

27、习 题 5(P. 299)3. 设 A R n n为对称矩阵， 且a110，经高斯消去法一步后，A 约化为a11a1T，试证明 A2亦是对称矩阵 .0A2证明设Aa11a1T，其中(aij )=A1专业资料整理WORD格式aa=a21a12a22a23a2 n31a1 =a13，1， a =n1a1nan 2an 3anna11a1T专业资料整理WORD格式那么经高斯消去法一步后，A 约化为1T ，0 A1a1a11因而 A2A11a1T，假设AR n n为对称矩阵，那么A1为对称矩阵，a11且 a1 = ，易知 A2A11a1T为对称矩阵.a1113.设A100999998专业资料整理WOR

28、D格式(1) 计算| A | ,| A |2；专业资料整理WORD格式(2) 计算 Cond( A) ，及 Cond (A) 2.解 (1)计算 | A | =199 ,10099，A9998，其特征值为1,299 9802又 A10099为对称矩阵，那么 ATA=A2的特征值为99982(999802)2，因此 | A |2Tmax A2999802；1,2max ( A A)(2)A 19899，|A 1| =199 ，99100所以 Cond( A) = | A | A 1 | =9801，A 19899 为对称矩阵，其特征值为1,2999802 ，99100那么1 T1=(A12的特征

29、值为2(999802)2，因此(A)A)1,2|A 1|2max ( A 1 )T A 1 )max ( A 1 )2999802所以 Cond( A)2 = | A |2|A 1 |2(999802) 215.设 ARn n , x Rn，求证专业资料整理WORD格式1xx 1n x(2) 1AA 1n An；.专业资料整理WORD格式证明 (2)由 1xx1，得Ax1，n xAx nAx那么AxAx 1 n Ax，n xx 1x从而AxmaxAx 1maxn Ax，maxx 1x R nn xx Rnx R nx由算子X数的定义AmaxnAx， A1maxnAx1 ，x Rxx Rx1专业资料整理WORD格式得1AA 1n A .n17.设 WR n n为非奇异阵，又设x 为Rn上一向量X数，专业资料整理WORD格式定义x WWx，求证：x W是Rn上