函数应用中的异曲同工之妙

1、函数应用中的异曲同工之妙在解决数学问题时， 首先要对问题进行定位， 明确其属于哪一方面问题， 然后用什么数 学知识才能很快解决，即如何寻找解决数学问题的切入点，这对学生如何学好数学至关重要。数学中许多看似不相关的问题，通过简单的转化，发现其中间存在着紧密的联系，找到解决问题的突破口。通过这方面训练，有利于学生透过现象看本质，有利于培养学生解决问题的能力。函数值域或最值的求法虽然高考不作过高的要求，但是高考试题中经常涉及到与之有关的问题，单调性法、导数法、根本不等式定理等这几种求最值的方法就是高考中的热点， 特别是转化为函数最值问题在高考试题中更是屡见不鲜，下面举例说明考查求最值的几种不同形式。

2、一函数零点个数的判断转化为求函数的最值或值域图象法判断方程实根的个数或函数的零点的个数可转化为求两图象交点的个数，而方程有实根求参数可 通过别离常数转化为求函数的值域。例1判断函数fx =1 nx_x'_k有几个零点？解：令 In x x?k =0，变形得 k =ln xx1当k . -I "2-3时，fx无零点；当k-_-| n2-时，f x有一个零点;11当k ： _ In 2 一时，f x有两个零点; 2点评：此题通过别离常数k作一个平行于x轴的常函数图象与另一个函数 g x =lnx-x2 x -0的图象来求来判断交点的个数，也可以不别离常数， 作f x的图象并判，令

3、 g x =1 nxx2x 02x二亍；当g x 0时，2W"x耳,gx在L.'，当 gX =0 时，0vx<U,gx在 0,耳2 是增函数；当 g "X X。时,二gx最大值=g厂Q11.2 丿匕1n2H，当 XT°断与x轴的交点情况，另外用到极限思想来判断函数值的变化趋势。时，g心 S 当 XT W g5r作函数y=k与g x =lnx-x2x 0的图象,不等式恒成立全称命题求参数转化为求函数的最值或值域图象法f x g x恒成立不等价于f X小.g X大，如右图：f x.-g x的解集为f x的图象在g x的上方的局部对应的点的横坐标的取值集合

4、；f x .g x = f x g x 小 0，f x ： g x = f x g x 大：0而f X!x2恒成立可等价于f x小.g x大，如下面的转化f x, m >0在x三a, b上恒成立可转化为别离常数m . g x max或m ： g x min对 一X1,X2 m,n 都有 f X1 f X2 I： f x max -f x min 可导非常数函数f x在m,n是增函数的条件为 f，xi：0在xQm n上恒成立；可导非常数函数f x在m,n是减函数的条件为 f x .0在xQm n上恒成立；例2：函数g x =x2 2x a ln x在区间0,1上单调递减，求实数 a的取值范

5、围。解：g X =2x 2 a，由题意知，须使2x 2 - _0Mx三i0,1内恒成立,XX别离常数得:a _ -2x2 -2x - -2 x 1I 2丿1 2 1-在0,1上是减函数,(1、2 二-4 - y ：0，作出 y羽与y -2x I 2丿1x"0,1的图象,要使y二a图象恒在x"0,1的图象的下方,由右边的图象知：须使 a乞4。点评：不等式恒成立实际上是一个函数图象在另一个函数 图象的上方问题，要作出一个函数的简图必须求出单调区 间和函数的最值或值域，才能求出参数的取值范围。X三 不等式有解特称命题求参数转化为求函数的最值或值域图象法f x, m > 0在

6、x三a, b上有解别离常数可转化为 m g x min或m ： g x max。例3 :存在XX 0，使得-X3 ax2 -40成立，求实数a的取值范围？分析：令g x=x3 ax2 -4x 0，只需要g x最大值 0即可，但需要讨论；如果别离参数转化4x最.x . 0即可。:小值解：要满足：存在 xx 0，使得_X3ax2 -40成立，只需要a . X 上24x 最小值x . 0即可。令4g x =x 2 x .0, g x =1 8x x3 x3 _8-3 ，令 g x =0,那么 x=2，x、4为a x 2 x 0有解，只需要a x当 xG0,2 时，g x ：:0,当 xGZ ；时，g x .0, .g x在0,2上是减函数，在 2, :上是增函数，.g x最小值=g 2 =3,.只需要a . 3.四证明不等式可以转化为求函数的最值或值域例4:求证： 1 " In丄丄-2(n 丿n n证明：令 f x =x2 -ln x x 2 x - 0，T f x =2x1 1 =-， v x 0,2x 1 0，x当x .1时，Lx 0, f x在1,；上是增函数;当 o : x ：:1 时，f x : 0, f x 在 0,1 上是减函数； f x 最小值=f 1i=2 -0 , f x - f x最小值=2 . 0，即证明了 x2 -1