分式的化简与求值-竞赛辅导

1、平阳XX中学竞赛讲义第二讲分式的化简与求值要解决有关分式的问题，就必须准确掌握分式的概念，分式的根本性质、分式的四 那么运算等知识，本讲主要讲述分式的变形和求值的技巧。给出一定的条件，在此条件下 求分式的值称为有条件的分式求值而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须 先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的根本 策略.一、分式的分拆例1假设x取整数，那么使分式 6X3的值为整数的x的值有个2x 1例2将分式化为局部分式。2a2 + 3a 2 a2 -a-5 3a2 -4a - 5-8a +5例3化简分式:；4-a +1日十2a -2a- 3分析 直接通分计算

2、较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简 便得多.11例4化简分式：?十夷十2 X2十女十6斗疋2 H2分析： 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简.例5化简计算(式中a, b, c两两不相等):b c2b c - a2c a br+屮-ja - ab - ac be b - ab - be + ac 匚-浓-be + ab分析此题关犍是搞请分式、$罗弋 的变形，其他两项是类似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法.例6求能使- J能被n+10整除的正整数n的最

3、大值。分析：解决整除性问题的一个常用方法是把整式局部别离出来，从而只须考虑后面的分式局部 的整除性，这样有利于简化问题。、参数法例7、假设XyZ，且xy z1?求x ,y ,z甘肃升中题。234J12解：设XyZ k2 0,那么x=2k、 y=3k、 z=4k234代入x+y -z=l-,得：2k + 3k-4k=丄,解得：k= 1 ,121212所以：x= 1,y=-,z=1643评注：引入参数，把三个未知数转化为关于参数的一元方程问题。2例8求代数式x 2x 3的最大值和最小值？2x2 2x 1例9假设=- 求$xm匹冬空兰旦的值abc'例11假设aba b例12求证 无论a为什么

4、整数，分式均不可约。三、倒数法例10:_,求.F 十"13/ +A3 4-11，王求辿的值4 a e 5 ab be ae分析：对于某些非零代数式来说，如果从取倒数的角度来分析，有可能揭示出一些内在的特征，从 而找到解题的突破口。四、整体代入例13 a2+ 2a 1= 0,求分式(? 2° a 分析直接检的值代入原式和M计鼻緊坝*可将耳=J19 -8朽适当变形，化简分式后再计算求值.五、活用特殊值0和土 1 1 例15a b c 0,求c( )a b_) 电二4的值.a2 2a a2 4a 4 a 2分析：本例是将条件式化为“ a2 2a 1 代入化简后的求值式再求值，这种

5、代入的技巧叫做整体 代入.例14假设玉=J9堪岳求分式- 6丘-2/ 18a 卜 23 ?-8+15的值c a1 1a(b 1)的值.的值例16abc = 1,求:ab a 1bc b 1ca c 111111例17ax by cz 1，求片P厂孑C 口11z4的值六、从结论中寻找解题途径学会转化等价命题1 1例18假设：abca b1-1,求证：a、b、c中至少有一个等于c111 1例19不等于0的三个数a、b、c满足丄 丄 丄 1a b c a b c1求证：a、b、c中至少有两个互为相反数。r 、11111 22n 1 2n 12n 12n 1 2n 12n 1abcabc2c2ac2 , 2 2a b c2ab2 2 2例20设