南京市届第一次高三学情调研考试(数学)

1、样本数据X1, X2,6.如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为 第6题图7. 如图，它是函数 f(x)= Asin( x+ )(A>0,> 0,0,2)图象的一局部，那么f (0)的值为南京市2022届高三学情调研考试数 学考前须知：1.本试卷共4页，包括填空题第 1题第14题、解答题第15题第20题两局部.本试 卷总分值为160分，考试时间为120分钟.2 答题前，请务必将自己的、学校、班级写在答题纸上试题的答案写在答题.纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交答复题纸.参考公式1 n_1 nXn的方差S2=：刀(Xi X)2，其中X =刀Xi.n i= 1n i =11

2、锥体的体积公式：V= 1sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.3一、填空题本大题共14小题，每题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸 的指定位置上1.集合 A= 1, 0, 1 , 2, B= x|x2 1 > 0，贝V AQ B=.2 .复数z满足：z(1 i)= 2 + 4i，其中i为虚数单位，那么复数 z的模为 .3 某射击选手连续射击 5枪命中的环数分别为：，那么这组数据的方差为 .4.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，那么两球颜色不同的概率是(2a + b)，那么实数m的值为_5 .向量 a = (1, 2), b = (m , 4),且 a

3、/8.双曲线x2 y2a2 b2=1 (a> 0, b> 0)的一条渐近线的方程为2x y= 0,那么该双曲线的离心率为9 .直三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长均为 2，E为棱CC的中点，那么三棱锥 Ai B1C1E的体积为 10. 对于直线I, m，平面a, m a,贝厂'l丄m是"I丄a成立的 条件.在"充分不必要“必要不充分、“充要、“既不充分又不必要中选填一个111. 函数f(x) = 3X3 + x2 2ax + 1,假设函数f(x)在(1,2)上有极值，贝y实数a的取值范围为12. 平行四边形 ABCD中，AD= 2，/ BAD= 60&

4、#176;假设E为DC中点，且AE BD = 1,那么BD BE的值为 .13 .等比数列an的公比q > 1，其前n项和为3 .假设2S> + 1,贝U S的最小值为.14 .在平面直角坐标系 xOy中，A, B为x轴正半轴上的两个动点，P异于原点0为y轴上的一个定点.假设以AB为直径的圆与圆x2 + (y 2)2= 1相外切，且/ APB的大小恒为定值，那么线段 OP的长、解答题本大题共6小题，共90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15. 本小题总分值14分在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且acosB

5、= bcosA.1求-的值；a2假设sinA= 3，求sin(C?的值.16. 本小题总分值14分如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点.1求证：PC /平面BDE2假设 PC丄PA, PD= AD,求证：平面 BDE丄平面PAB.17. 本小题总分值14分某市对城市路网进行改造，拟在原有 a个标段注：一个标段是指一定长度的机动车道的根底 上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n= ax+ 5.新建一个标段的造价为 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.1写出新建道路交叉口的总造价y万元与x的函数关系式；2设P是新建标段的总造

6、价与新建道路交叉口的总造价之比.假设新建的标段数是原有标段数1的20%,且k>3问：P能否大于戏，说明理由.18. 本小题总分值16分椭圆笃+ & 1(a>b>0)的离心率e = ；2, 条准线方程为 x = 2 过椭圆的上顶点 A作一条与 a b2x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P, P关于x轴的对称点为 Q.1求椭圆的方程；2假设直线 AP, AQ与x轴交点的横坐标分别为 m, n,求证：mn为常数，并求出此常数.19. 本小题总分值16分函数 f(x)= ex, g(x) = x b, b R.1假设函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；2

7、设T(x) = f(x) + ag(x), a R,求函数T(x)的单调增区间；3设 h(x) = |g(x)| f(x), bv 1 假设存在 禺，血 0, 1，使 | h(X1) h(x2)| > 1 成立，求 b 的取值范围.20. 本小题总分值16分等差数列an的前n项和为S,且2a5 a3= 13,16.1求数列an的前n项和S ；n2设Tn = .!( 1)iai，假设对一切正整数 n,不等式XTn< an+1+ ( 1)n+ 1an 2n 1恒成立，求实数入的取值范围；3是否存在正整数 m , n(n> m> 2)，使得S2, Sm 9, S Sn成等比数

8、列？假设存在，求出所 有的m, n;假设不存在，说明理由.南京市2022届高三学情调研考试数学附加题9考前须知：1附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3.答题前，考生务必将自己的、 学校写在答题纸上. 试题的答案写在答.题纸上对应题目的答案空 格内.考试结束后，交答复题纸.21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只要选做 2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域 内作答.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修41 :几何证明选讲在圆O中，AB, CD是互相平行的两条弦，直线 AE与圆O相切于点A,且与CD的延长线交于 点 E,求证：AD2

9、 = AB ED.B. 选修4 2 :矩阵与变换点P(3, 1)在矩阵A = a 2变换下得到点b 1P(5, 1).试求矩阵A和它的逆矩阵A1.C. 选修4 4 :坐标系与参数方程x=m+2cos a在平面直角坐标系 xOy中，圆C的参数方程为a为参数，m为常数.以原点0y=2sin a为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线I的极坐标方程为 pcos( 0 n)= . 2 .假设直线I与圆C有两个公共点，求实数 m的取值范围.D. 选修4 5 :不等式选讲设实数x, y, z满足x+ 5y+ z= 9，求x2 + y2+ z2的最小值.【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共

10、计20分.请在答.题纸指定区域内 作答.解容许写出文 字说明、证明过程或演算步骤.22. 本小题总分值10分2假定某射手射击一次命中目标的概率为§.现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否那么就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求：1X的概率分布；2数学期望日为.23. 本小题总分值10分如图，正方形 ABCD和矩形ACEF中，AB=“2, CE= 1, CE!平面ABCD.EB1求异面直线DF与BE所成角的余弦值;2丨求二面角 A- DF- B的大小.南京市2022届高三学情调研考试 数学参考答案及评分标准2022.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法

11、与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细那么.2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后续局部的解答有 较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题：本大题共 14小题，每题5分，共70分.1 . 22. - 103.4. 55. 26. 511.(2，4)12. 38. 丘9 .亨13. 2 ：3 + 314.：3、解答题：本大题共 6小题，共90 分.15.

12、解：1由 acosB= bcosA,得 sinAcosB= sinBcosA,即 sin(A B)= 0.因为 A, B (0, n,所以 A B ( n, n,所以 A B= 0,b所以a=b，即b =1.2因为sinA= 3,且A为锐角，所以cosA= 3?所以 sinC= sin( n 2A)= sin2A= 2sinAcosA= 9 ,10分cosC= cos( n 2A)= cos2A= 1 + 2si n2A= 9 n n n 8+ 7寸? 所以 sin(C 4)= sinCbos cosCsin =佗 .12分14分16.证明：1连结AC,交BD于O,连结OE.因为ABCD是平行

13、四边形，所以 OA= OC.因为E为侧棱PA的中点，所以 OE/ PC.因为OE/ PC,所以 PA丄 OE.因为PC丄 PAaa8分PC/平面BDE, OE 平面BDE,所以PC /平面BDE.因为E为PA中点，PD= AD,所以PA丄DE.所以 P= mX =X一 =2一)=2yk(ax+ 5)ka2 + 5)k(a2 + 25)18.1 1=30« 20.方法二 依题意x= a.aaka2 + 5)= k(a2+ 25) 假设1P>20，得 ka2 20a + 25kv 0.因为 k> 3，所以= 100(4 k2) v 0，不等式 ka2 20a + 25kv 0

14、 无解.1答：p不可能大于20.c迈a2解：因为，c = 2，所以 a= 2, c= 1,所以 b = _ a2 &=1. 故椭圆的方程为 与+ V2= 1.13分14分10分13分14分(2解法一 设P点坐标为(刘，y1),贝U Q点坐标为(X1,-y1).因为kAP= y0 = y，所以直线 AP的方程为y = - x+ 1 .X1 0X1X1X1令y = 0,解得m = . 8分y1 1V1 1V1 + 1V1 + 1因为kAQ= -= ，所以直线 AQ的方程为y=x+ 1.X1 0X1X1人“小X1令 y= 0，解得 n=.y1 + 12 X1X1X1所以 mn =1 +7 =

15、2.y1 1 y1+ 11 y1x2 2X22又因为(X1, y1)在椭圆+y2 = 1上，所以+ yi2X1口 r所以 2 = 2，即mn = 2.1 -1 12分 14分22 X1=1,即卩1 y1=,所以mn为常数，且常数为2.16分解法二 设直线AP的斜率为k(kz 0)，那么AP的方程为y = kX +1,联立方程组y = kX + 1,X22 + y2 =1,4k消去 y,得(1 + 2k2)/+ 4kx= 0,解得 Xa= 0, xp = i + 22,1 2k2所以 yp= k/p+ 1 = i + 2r2，那么Q点的坐标为(一4k1 + 2k2,1 2k21 + 2k2 力1

16、0分所以kAQ =1 2 k22 11 + 2 k2_ 14k 2k,1 + 2k21故直线AQ的方程为y= x+ 1.2k令 y= 0，得 n= 2k, 14 分1所以 mn= ( ) ( 2k) = 2.所以mn为常数，常数为 2. 16分 19.解：(1)设切点为(t, et),因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,所以 et = 1,且 et = t b,解得b= 1. 2分2)T(x) = ex+ a(x b), T'(x) = ex + a.当a>0时，T'(x)> 0恒成立. 4分当 av 0 时，由 T'(x)> 0，得 x&

17、gt; ln( a). 6 分所以，当a>0时，函数T(x)的单调增区间为( 8,+ )；当av 0时，函数T(x)的单调增区间为(In( a), + ). 8分3) h(x)=加1 f(x)= (囂豐.当 x>b 时，h'x)= (x b + 1) ex>0，所以 h(x)在(b,+ )上为增函数；当 x<b 时，h'x)= (x b + 1)ex,因为 b 1 v xv b 时，h 'x)= (x b+ 1) exv 0,所以 h(x)在(b 1, b)上是减函数； 因为 xv b 1 时，h 'x)= (x b + 1) ex>

18、; 0,所以 h(x)在(一, b 1)上是增函数.10分当b < 0时，h(x)在(0, 1)上为增函数.所以 h(x)max= h(1)= (1 b)e, h(x)min = h(0) = b.由 h(x)max h(x)min > 1，得 b V 1，所以 b W 0 . 12 分e当0v bv时，e + 1因为 bvxv 1 时，h'x)= (x b+ 1) ex>0，所以 h(x)在(b, 1)上是增函数， 因为 0vxv b 时，h'x)= (x b+ 1) exv 0,所以 h(x)在(0, b)上是减函数. 所以 h(x)max= h(1)=

19、(1 b)e, h(x)min = h(b) = 0.由 h(x) max 一 h (x) min > 1 ,ee1因为0 V bV石，所以0V b V W14分e当W b v 1时，e + 1同理可得，h(x)在(0, b)上是减函数，在(b, 1)上是增函数. 所以 h(X)max= h(0)= b , h(x)min = h(b)= 0 .因为 b v 1,所以 h(x)max h(x)min > 1 不成立.e一 1综上，b的取值范围为(一g,).e16分20.解：设数列an的公差为d.因为 2a5- a3= 13, S4= 16,2(a1 + 4d) (a1 + 2d)

20、= 13, A ZB 所以 4(a1 + 6d=1；.)，解得 a1=1,d= 2,所以 an= 2n 1, Sn = n2.当n为偶数时，设n = 2k, k N* ,那么 T2k= (a2 a1) + (a4 a3) + + (a2k a2k-1) = 2k.+-4k代入不等式 Xnv an+1+ (- 1)n 1an 2n 1，得 X- 2kv 4k,从而 Xv以.4k4k+14k4k(3k 1)设 f(k)=，贝U f(k+ 1) - f(k)= - - = 4(1.' 丿 2k'')、)2(k+1) 2k 2k(k +1)因为k N*，所以f(k+ 1)-f(

21、k) >0,所以f(k)是递增的，所以f(k)min = 2,当n为奇数时，设n= 2k- 1, k N* ,那么 T2k-1= T2k ( 1)2ka2k= 2k- (4k 1) = 1 2k.代入不等式 XTnV an+1+ (- 1)n+ 1an 2n1，得X- (1- 2k) v (2k- 1)4k,从而X>- 4k.因为k N*，所以一4k的最大值为一4，所以X>- 4.综上，入的取值范围为一4v Xv 2.10分(3)假设存在正整数 m, n(n> m> 2),使得S2, Sm- S2, Sn-Sm成等比数列，那么(Sm- S2)2= S (Sn Sm

22、),即(m2 -4)2 = 4(n2- m2),所以 4n2= (m2-2)2+ 12,即 4n2-(m2-2)2= 12 , 12 分即(2n m2+ 2)(2 n + m2-2) = 12.14分因为 n>m > 2,所以 n?4, m >3，所以 2n + m2 2> 15.因为2n - m2+ 2是整数，所以等式(2n-m2+ 2)(2n+ m2- 2) = 12不成立,16 分故不存在正整数 m , n(n>m >2)，使得S>, Sm- S2, 3 Sm成等比数列.南京市2022届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准2022.092

23、1.【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每题10分，共20 分.A. 选修41 :几何证明选讲 证明：连接BD,因为直线 AE与圆O相切，所以/ EAD=Z ABD.又因为 AB/ CD, 所以/ BAD=Z ADE, 所以DBA.-ED AD从而DD= BD，所以AD2= AB ED.10分B. 选修42 :矩阵与变换3a + 2a 2解：依题意得b 13a+ 2= 5, 所以“ dd3b 1 = 1,- 1 2 所以A=0 11 2因为 det(A) = 1 X ( 1) 0X 2 = 1,0 1“ 1 2所以A1 =.0 1解得3b 1 a= 1, b= 0.10分C. 选修44 :坐标系与参数方程 解：圆C的普通方程为(x m)2 + y2 = 4.sin 0) = . 2,直线l的极坐标方程化为p("2cos 0+即2+今丫=1 2,化简得 x+ y 2 = 0.因为圆C的圆心为 qm , 0),半径为2,圆心C到直线l的距离d=| m-2 | ,V2所以d=»2,10解得 2-2 2vmV2+2 2.D.选修45 :不等式选讲解：由柯西不等式得(x2 + y2 + z2)(12+ 52+ 12)> (1