培优专题2-运用公式法进行因式分解(含答案)

1、2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式b2(ab)(ab)完全平方公式2abb2(ab)2立方和、立方差公式b3(ab) (a!2 ab b2)补充：欧拉公式:a3 b3 c3 3abc (a bc)(a2 .2 2b cab bc ca)扣 b C)(a b)22 2(b c) (c a)特别地：1当a b c 0时，有a3 b3c3 3abc2当c 0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。因此，正用公式法因式分解在求代

2、数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。F面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】把a222a b2b分解因式的结果是 A. (ab)(a 2)(b2)B. (ab)(a b2)C. (ab)(a b) 2D. (a22b)(b22a)分析：2 2a 2a b 2ba2 2a21 b 2b1再利用平方差公式进行分解，最后得到(a b)(ab :1.2，应选择B。2 2(a 1) (b 1)。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2.在简便计算、求代数式的值、解

3、方程、判断多项式的整除等方面的应用例：多项式2x3 x 2 22a22b22c22ab2bc 2ac 0(a22abb2)(b22bc c2) (c22ac a2)02 2 2(a b) (b c) (c a) 0(a b)20，(b c)20，(c a)20a b 0，b c 0，c a 0a b c m有一个因式是2x 1，求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算, 求出m的值。可假设另一个因式， 再用待定系数法即可3 2 2解：根据条件，设 2x x m (2x 1)(x ax b)那么2x32 xm2x3(2a 1)x2 (a 2b)x b2a11(1)由此可得a2b0(2)m

4、b(3)由1彳寻a1把a1代入2，得b 12把b丄代入:3，得i1m223.在几何题中的应用。2c ab bc ac 0，试判2 2 例：a、b、c是 ABC的三条边，且满足a b断ABC的形状。分析：因为题中有 a2、b2、ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。2 2 2解： a b c ab bc ac 0ABC为等边三角形。4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2n 1，2n 3 n为整数2 2那么(2n 3

5、)(2n 1)(2n 3 2n 1)(2n 3 2n 1)2(4 n 4)8( n 1)2 2由此可见，(2n3)(2n1)- -定是 8的倍数。5、中考点拨：32例1 ：因式分解：x 4xy 。解：x3 4xy 2 2解: a 2ab b 2ac c 2bc x(x2 4y2) x(x 2y)(x 2y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻 底。3223例2 :分解因式：2x y 8x y 8xy 。解：2x3y 8x2y2 8xy3 2xy(x2 4xy 4y2) 2xy(x 2y)2说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：111例

6、1.：a m 1， b m 2， c m 3， 2222 2 2求 a 2ab b 2ac c 2bc 的值。(ab)22c(ab)2 c(abc)21 . 1c1ca -m1，b m2， cm 3222原式(ab c)22111(-m 1)(-m 2)(-m 3)222而是把代数式ca)说明：此题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值,因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。333例 2. abcO, a b c 0，求证：a5 b5 c50证明： a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc把a b c 0，a3 b3 c30代入上式，可得

7、abc 0，即a 0或b 0或c 0假设a 0，那么b c，5.55a b c 0555假设b 0或c 0，同理也有a b c 0说明：利用补充公式确定 a，b，c的值，命题得证。例3假设x3y327，x2xy2y9，求x2 y2的值。解：x3 y3(x y)(x2xy2y)272 2且 x xy y92x y3, x2xy y292 2又 x xy y 9(2)两式相减得xy 0所以x2 y29说明：按常规需求出 x, y的值，此路行不通。用因式分解变形条件，简化计算过 程。【实战模拟】1.分解因式：2x5(x 2y) x2(2y x)1(a 2)2(3a 1)23a2(x y)2 2a(x

8、 y)3 (x y)42.：x -3，求x4 丄的值。xx3假设a, b, c是三角形的三条边，求证：a2 b2 c2 2bc 04：21 0,求2001的值。35.a, b, c是不全相等的实数，且abc 0, ab3c3 3abc，试求1a b c 的值；2ab1111-)b(-) c(ccaa丄的值。b【试题答案】1. 1解：原式(a2)(3a1)( a 2) (3a 1)(4a 1)( 2a 3)(4a1)(2a3)说明：把a 2, 3a1看成整体，利用平方差公式分解。2解：原式 x5(x 2y) x2 (x 2y)x2 (x 2y)(x31)x2 (x 2y)(x 1)(x2x 1)

9、3解：原式(x y)2a2 2a(x y) (x y)2(xy)2(axy)22解：X1 2221-)x2xx2 1(x丄)222X2(3)27xx/ 2 (x2)249，4 x14 249xXx4473.分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需 要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。2 22证明：abc2bca2(b2 2bc c2)a2(bc)2(abc)(ab c)a，b, c是三角形三边a b c 0 且 a b c (a b c)(a b c) 0即 a2b22 c2bc 04解210(1)(10，即200136675.分析与解答：1由因式分解可知b2 c2 ab bc ca)a3 b3 c3 3abc (a b c) (a1 abc 说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。2 2 2故需考虑abcab bc ca值的情况，2所求代数式较复杂，考虑恒等变形。解：1a3 b3 c33abca b c 3abc 0又 a3 b3 c3 3abc2 2 2(abc)(a b c ab bcca)(a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) 0而 a2