大一线性代数模拟试卷及标答(A)[1]

1、3,4 )武汉理工大学考试试题纸A 卷课程名称线性代数专业班级全校07级本科题号-一一二三四五六七八九十总分题分151532141410100备注：学生不得在试题纸上答题含填空题、选择题等客观题 01111、设D1011，那么D =0110111102、设Aab且ad be 2，那么A 1 =ocd3、12是三元齐次线性方程组Ax 0的两个不同的解，且RA 2，那么该方程组的通解为O、填空题每题3分，共15 分(1,2,0)1 ?2 ,T4、向量组 1(1,0,0)T，2(1,0,1)T，34(1,3,1)T，贝U R(2E5、设三阶方阵A与对角阵 diag1, 1,3相似,、单项选择题1、设

2、1,每题3分，共15分 n是n维列向量，且1, 2,(A) 1(B) 0(C) 2(D)2n2、设A1Aj 1/2，A,00A2，那么A1(A) 1(B) 23、2,3是向量空间C 1/2R3的一个基，那么以下仍是(D) 4R3的一个基的是(A)32,123(B)(C)23, 21(D)1 2,2 13,4、二次型2X12 24x2 4x32tx1x22x1x3 4x2x3是正定二次型，那么t应满足(A)t 2(B)t 0(C)0 t 1(D)A133 A23A33 ；0101 12、设A111 ，B20 ，求矩阵X，使其满足X AX B ；101533、设A为n阶方阵，且|A 2，计算A (

3、*A) 1 ;31121、Aj是行列式D513220112531三、计算题(每题8分，共32分)的元素aj (i, j123,4)的代数余子式，计算4、设 i (1,2,0)t，2 (1,a 2, 3a)T，3 ( 1, b 2,a 2b)T，(1,3, 3)T，求：a、b 为何值时， 能由1, 2, 3线性表示，且表示唯一，并求出表示式。四、(14分)线性方程组ax1X2X3a 3%ax 2X32 ,X2ax32(1) 求R： a为何值时，方程组有唯解、无解、有无穷多个解;(2)在方程组有无穷多个解时，用其对应的齐次线性方程组的根底解系表示其通解。2 2五、(14 分) 实二次型 f(X1,

4、X2) 5x1 4x1X2 2x2 ，(1) 写出f的矩阵A ；(2) 求f的秩；(3)求正交变换XPY (必须写出正交变换矩阵P)，把f化为标准形六、证明题(共10分)1、( 6 分)设1,2,3,4是齐次线性方程组Ax 0的一个根底解系，证明:234，341，34也是该方程组的一个根底解系;2、( 4 分)设A为2n1阶方阵，且AAt E， A 0,证明：A E 0武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数A卷1、3 ； 2、 2c；a选择题每题3分，共15 分1、C2 、A3、B 4解答题每题8分，共32分3151A133 A23A3320250由XAXB得EAX11

5、0因E AB1011021、2、填空题每题共15 分db31B125310k2,kR;4、3；5、 3.所以X=所以2A 1,* 1A1A2A 122113A 13分8 分2分6分8 分2分4分6分8 分_ A 1J A 1=5A =5 A15n=5n a1=524、记A1， 2，3,设X1 1 X2 2X33 . 2 分11111111解法一:代2a2b23 0ab103aa 2b303aa 2b311110ab1A4 分00a b0故当ia 0且ba时，方程组有唯一解,即能由1,2,3线性表示，且表示式唯一;6 分10011a1此时，A,0101a1丄aQ1a28 分001011 1解法二

6、：A 2 a 2 b 2 aa b 2 分03a a 2b故当a 0且b a时，方程组1有唯一解，即 能由1, 2, 3线性表示，且表示式唯一；4分1111 130ab1303aa 2b 310011a0101a4 分0010111此时，代2 a 2 b 203a a 2b11110ab100ab0111 12 8 分aa四14分、a 11系数矩阵为 A1a1 ，增广矩阵为B11aa 11 a 31 a 1211a211a211a2B0 a 11 a001 aa 100 1 a 1 a2 3a 300(1 a)(a2) 3a 3(1)解法2 时，R(B)R(A) 3，方程组有唯一解;(4分)1

7、1222时，B丿0330, R(B) 3, R(A) 2，方程组无解;0009当a1 1 1当a 1时，B0000 0 020, R(B) R(A) 13，方程组有无穷多个解。0(7 分)解法a11A1a1(a 2)(a 1)2,11a(4分)21151122当a2时，B12120330, R(B) 3,R(A)2，方程组无解；112200091 11 121112当a 1时，B1 11 120000,R(B) R(A) 13 ,方程组有无穷多个1 11 120000解。(7 分)当a 1且a2 时，A 0,R(A) 3R(B)，方程组有唯一解;在方程组有无穷多个解时，得同解方程组x1X2X3

8、2，取X2X30，得原方程组一特解2,0,0(9分)在 X1x2x3中取X2,TX31,0T , 0,1 T，得原方程组对应齐次线性方程组的根底解系为1 1,1,0T，1,0,1 T ；12 分)注：此题根底解系有很多种表示形式,改卷时需注意。2分)五14分、1 f的矩阵(2)因10R(A)2,所以f的秩为2；3分)(3)52A E22由1)(6，得A的特征值为11,26。6分)1时,解方程(AE)x40 ,由 A 6E =26时，解方程(A6E)x0,由A 6E =1,2单位化,得p11"5，P2那么有正交阵p1,5 21"525，得根底解系1 ，得根底解系01,2)T

9、；2(2,1)T12 分)2 2y1 6y2 .2_一5和正交变换15Py，把f化为标准形14分)注：此题根底解系有很多种表示形式，故正交阵P有多种形式，改卷时需注意。六、证明题1、 6 分证法一：由其次线性方程组解的性质知1123 ,2234 ,334都是Ax 0的解;2分)10 10110 0 K11110 11110,所以K可逆,10011100或K ,R(K)00110001又因为4,所以K可逆，从而R(B) R(A).1, 2, 3, 4是AX 0的一个根底解系，故它们线性无关,R(A) 4，于是R(B) 4，解向量组1, 2, 3, 4线性无关，故是该方程组的一个根底解系。(6分)证法二：由其次线性方程组解的性质知1123 ,2234 ,3341 ,434都是AX 0的解；(2分)设 k 1 k? 2 k3 3 k4 4 0，那么有(k1k3)1(k1k2)2(k1k2k3k4)3(k2k3k4 )40 ，因为1, 2, 3, 4是AX 0的一个根底解系，它们线性无关，故有k1k30k1k20k2 k3 k40Kk2k3k40其系数行列式为10 10110 011110 1111 ,方程组有唯一零解k1k2 k3 k40,所以解向量组3,4线性无关，故是该方程组的一个根底