平面向量的坐标运算-教案

1、平面向量的坐标运算 教案一、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的坐标运算；2、过程与方法：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。3情感态度与价值观：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。二、教学重点与难点教学重点：平面向量的坐标运算。教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确三、教学设想一导入新课思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联那么我们在学习直 线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时 ，直线与直线的平行是一种 重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=O(A B不同时为零)何时所表达 的两条直线平行？向量的共线用代

2、数运算如何表达？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点0作向量OA=a,那么点A的位置被向 量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点0为原点建立平面直角坐标系，那么点 A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示，这样我就可以通 过坐标来研究向量问题了 .事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.引 入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化 ，将数与形紧密结合起来，这就可以 使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后，向 量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐 标来研究呢？二推进新课、新知探究、提出问题我们研究了平面向量的坐

3、标表示，现在a=(xi,y i), b=(x2,y 2),你能得 出a+b, a- b,入a的坐标表示吗？如图1,A(xi,y i),B(x 2,y 2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-xi,y 2-yi)的P点吗？标出点P后，你能总结出什么结论？活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:0X图1a+b=(x i i +y1j )+(x 2 i +y?j )=(x 1+X2) i +(y 1+y2)j , 即 a+b=(x1+x2,y 1+y2).同理 a- b=(x 1-x 2,y 1-y 2).又 入 a= X (

4、x i i +yj )=入 xi i +入 yij . -'-X a=( Xxi,入 y 1).教师和学生一起总结，把上述结论用文字表达分别为：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向 量的关系：将向量AB AB的坐标与以原点为始点，点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现：向量AB的模与向量0P的模是相等的.由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：| AB |=| 0P |=、(捲X2)2 (yiy2)2 .教师对总结完全的同学

5、进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新, 展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:能. AB=OB- 0A=(X2,y 2)-(xi,y i)=(x 2-x i,y 2-y i).结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标.提出问题如何用坐标表示两个共线向量？假设a=(xi,y i), b=(X2,y2),那么/ 基是向量a、b共线的什么条件？xix2活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a=(xi,yi), b=(X2,y2),其中b0.我们 知道，a、b共线，当且仅当存在

6、实数 X ,使a=X b.如果用坐标表示,可写为 (x i,y i)= X (X2,y 2),即 XiX2,消去 X 后得 Xiy2-X2yi=0.yi y2.这就是说，当且仅当xiy2-x 2yi=0时向量a、b(b0)共线.又我们知道xiy2-x 2yi=0与xiy2=X2yi是等价的，但这与 出 上 是不等价的.因XiX2为当xi=X2=0时,xiy2-x2yi=0成立，但仏 里均无意义.因此也 上是向量a、b X-!x2xix2共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学 生仔细体会这点.讨论结果：xiy2-x 2yi=0时，向量a、b( b 0)共线.充分

7、不必要条件.提出问题a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数X使得a=X b,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a=(xi,y 1), b=(X2,y 2),其中a,由 a=X b,(x i,y 1)=入(x 2,y 2)X1X2,消去 入,得 xiy2-x 2yi=0.yiy2.讨论结果:a / b(bM0)的充要条件是xiy2-X2yi=0. 教师应向学生特别提醒感悟：1°消去入时不能两式相除,I yi、y2有可能为0,而bM0,X2、y中至少有一个不为0.a bX1 y2X2 y10.2°充要条件不能写成 里 上(：X1、X2有可能

8、为0).3°从而向量共线的充要条件有两种形式：a/ b(bM0)三应用例如思路1例 1 a=(2,1), b=(-3,4),求 a+b, a- b,3 a+4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向 量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出 的结论.假设表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+

9、4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算 公式.变式训练1 31. (2007海南高考,4)平面向量 a=(1,1), b=(1,-1),那么向量a - b2 2 等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2. (2007全国高考,3)向量a=(-5,6), b=(6,5),那么a与b()答案:A例2如图2, ABCD勺三个顶点A B C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3) (3,4),试求顶点D的坐标.活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了

10、两种解法：解法一利用“两个向量相等，那么它们的坐标相等，解题过程中应用了方程 思想；解法二利用向量加法的平行四边形法那么求得向量 0D的坐标，进而得到点D的坐标.解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y). 由 AB = DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).1 3 x,2 4 x.x 2,"y 2.顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法那么，可知BD BA A

11、D BA BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而 OD =0B + BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算 变式训练P,0 X图3如图3,平面上三点的坐标分别为 A(-2,1),B(-1,3),C(3,4), 求点D的坐 标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD寸,仿例二得:Di=(2,2);当平行四边形为ACDB寸,仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为DACB寸,仿上得:Da=(-6,0).例3A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),

12、试判断A、B、C三点之间的位置关系. 活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断 这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来 判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出 A B C三点,观察图形，我们猜测A、B、C三点共线.下面给出证明.AC=(2-(-1),5-(-1)=(3,6), AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),又2X6-3X 4=0, a AB / AC,且直线AB 直线AC有公共点A, A、B、C三点共

13、线.点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法 ，其实质是从同一点 出发的两个向量共线，那么这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三 点共线的方法移植过来的.变式训练 a=(4,2), b=(6,y),且 a / b,求 y.解：T a / b, a 4y- 2X 6=0.a y=3.思路2例2设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(Xi,y 1)、(X2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标；当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗？即当 葺=入时, PP2点P的坐标是什么？师生共同

14、讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比 推广,有学生可能提出如下推理方法：由 R P =入 PP2 ,知(x-x1,y-y1)=入(x 2-x,y 2-y),X X1yy1(X2x)(y2y)X11X2% y21这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探 索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话，可以探索入的取值符号对p点位置 的影响,也可鼓励学生课后探索.解:(1)如图4,由向量的线性运算可知0P= ( 0P1+0P2)=( $2 2y1y2 )2所以点P的坐标是(冬x2,-y1竺.)2 2 如图5,当点P是线段RR的一个三等分点时,有两种情况,即空上二1或P

15、F22PlZ=2.PP2如果空二1,那么PP2231 -=0R +-( 0P2 - OR )32 一 1 =_ OR +_ OP23 1322xi X2 2yi y2、=(， )33即点P的坐标是(空1空，纽生).3 3同理,如果空 =2,那么点P的坐标是空 空2 ,也 空.PP233点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式变式训练在厶ABC中,点A(3,7)、B(-2,5).假设线段AG BC的中点都在坐标轴上, 求点C的坐标.解:(1)假设AC的中点在y轴上,那么BC的中点在x轴上,设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得口 0,口 0,2 2x=-3,y=-5

16、,即C点坐标为(-3,-5). 假设AC的中点在x轴上,那么BC的中点在y轴上,那么同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2点A1,2,B4,5,O为坐标原点，OP =OA+t AB .假设点P在第二象限,求实数t的取值范围.活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等，把条件转化为含参数的方程组或不等式组再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组 织步骤的能力，或者让学生到黑板上去板书解题过程，并对思路清晰过程正确的 同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归思想的利用.不等式求变量取值范围的

17、根本观点是，将条件 转化为关于变量的不等式组，那么变量的取值范围就是这个不等式组的解 集.解：由 AB=(4,5)-(1,2)=(3,3). OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).假设点P在第二象限，那么3t 13t 23)2故t的取值范围是-,3P的坐标用t表示,由点P在第二象限点评:此题通过向量的坐标运算，将点可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是t的取值范围.变式训练 OA =(cos 0 ,sin 0 ), OB =(1+sin 0 ,1+cos 0 ),其中 OW0Wn,求 | AB |的取值范围.解:v AB = OB- OA=(1+sin 0 ,1+cos B) - (cos 0 ,sin 0)=(1+sin 0 -cos 0 ,1+cos 0 -sin 0).999'I AB | =(1+s in 0 - cos 0) +(1+cos 0 - sin 0)2 2 =1+(sin 0 - cos 0 门 + 1- (sin 0 - cos 0 门2=2+2(sin 0 - cos 0)=2+2(1- 2sin 0 cos 0)