2019全国1卷理数

1、2019全国1卷理数一、选择题1.已知集合M=x-4<x<2,N=xx2-x-6<0),则MAN=()A.x-4<x<3B.x-4<x<-2C.x-2<x<2D.x2<x<32.设复数z满足z-i=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()一222222A.(x+1)y=1B.(x-1)y=1C.x(y-1)=1_2.2D.x(y+1)=13 .已知a=log20.2,b=2°.2,c=0.2°.3,则()A.a:b:cB.a:c:bC.c:a:bD.b:c：a4 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐

2、的长度与肚脐至足底的长度之比是-125 一1(25比0.618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人6 体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是近一1.若某人满足上述两个黄金分2割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A.165cmB.175cmC.185cmD.190cmsinx.x.5.函数f(x):2在-n,n的图像大致为()cosxx6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.爻组成，爻分为阳爻“一一”和阴爻“一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）每一“重卦”由从下到上排列的6个,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取

3、一A.-16B.1132C2132D.11167.已知非零向量A.-6B.-3C.D.a,b满足|a|=2|b|,且（ab）_Lb,则a与b的夹角为（）8.如图是求1 一八1A-A=2A-1B.A=2一AC.1A;12AD.1A=12A9.记Sn为等差数列an的前n项和.已知$4=0e5=5,则（）A. an=2n-5B. an=3n-102Sn=2n-8nr12Snn*12C. Snn*12-2nn210.已知椭圆C的焦点为Fi(1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若AF2=2F2B,AB=BFi,则C的方程为()2222222“x2,xy,xy,xy,A.y三、解答题

4、17.zABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设A.y三、解答题17.zABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设2(sinBsinC)=sinAsinBsinC.1.求A；2.若J2a+b=2c,求sinC.=1B.=1C.=1D.=1232435411 .关于函数f(x)=sinx+|sinx有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间(3,H)单调递增2f(x)在te有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.已知三棱锥PABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,PB的中点，ZCEF=90

5、)则球O的体积为()A.8,6：B,4、6二C.2、,6二D.,6二二、填空题.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.12 .记Sn为等比数列劣的前n项和.若a1=，a：=a6,则S5=.313 .甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.2216.已知双曲线C:三4=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过巳的直线与CabTTTT的两条渐近线分别

6、交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为18.如图，直四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面是菱形，AA=4,AB=2,/BAD=60*E,M,N分别是BC,BBi,AD的中点.证明：MN/平面CQE；1 .求二面角A-MA1-N的正弦值.23一19.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为一的直线l与C的父点为A,B,与x轴的2交点为P.1 .若AF+|BF|=4,l的方程；.若AP=3品，求AB.20.已知函数f(x)=sinxln(1+x),fx)为f(x)的导数.证明:1. f(x)在区间(1三)存在唯一极大值点；，2f(x)有且仅有2个零点.21.为了治疗某

7、种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为口和P,一轮试验中甲药的得分记为X.1 .求X的分布

8、列；.若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,111,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0,p8=1,r=ap-+bpi+cpi+(i=1,2,111,7),其中a=P(X=T),b=P(X=0),c=P(X=1).假设0=0.5,P=0.8.(i)证明:Pi*Pi(i=0,1,2,川,7)为等比数歹U；(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.22.选彳44:坐标系与参数方程1-t2jX=2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11+t(t为参数).以坐标原点。为极4ty点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方

9、程为2PcosQ十J3Psin6+11=0.1 .求C和l的直角坐标方程；.求C上的点到l距离的最小值.23 .选彳45:不等式选讲已知a,b,c为正数，且满足abc=1.证明:1. +<a2+b2+c2；abc3332. (a+b)+(b+c)+(c+a)至24.参考答案一、选择题1 .答案：C解析：2 .答案：C解析：3 .答案：B解析：4 .答案：B解析：5 .答案：D解析：6 .答案：A解析：7 .答案：B解析：8 .答案：A解析：9 .答案：A解析：10 .答案：B解析：11 .答案：C解析：12 .答案：D解析：二、填空题.答案：y=3x解析：121.答案：3解析：13 .答

10、案：0.18解析：14 .答案：2解析：三、解答题.答案：1.由已知得sin又因为N为AD的中点，所以ND=A1D.15 .答案：1.由已知得sin又因为N为AD的中点，所以ND=A1D.由题设知ABi/2DC,可得B1CL/A1D,故MEL/ND,因此四边形MNDE为平行四边形，MN/ED.又MN0平面EDCi,所以MN/平面CiDE.2.由已知可得DE_LDA.B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得,222,b+c-a=bc.b2：:.c2a21由余弦定理得cosA=b一C=1.2bc2因为0=<A<180口，所以A=60以D为坐标原点，联的方向为x轴正方

11、向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,DA.16 由1知B=1200C,由题设及正弦定理得夜sinA+sin(120°C)=2sinC,即+cosC+-sinC=2sinC,可得cos(C+60口)=一2.22222由于0=<C<120°,所以sin(C+60°)=,故2sinC=sinC60-60=sinC60cos60-cosC60sin60,62=.4解析：18.答案:1.连I吉B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点，-一_1一所以ME/B1c，且ME=B1c.2则A(2,0,0),A(2,0,4),M(1,J3,2),N(1,0

12、,2),AA=(0,0,Y),AM=(-lj3,-2),AiN=(-1,0,-2),MN=(0,-V3,0).设m=(x,y,z)为平面AMA的法向量，则mAM=0mAA=0-x3y-2z=0,所以,可取m=(J3,1,0).-4z-0.,、nMN-0,设n=(p,q,r)为平面AiMN的法向量，则nAN=0.所以卜怎"可取n=(2Q-1).-p-2r=0.cosm,n=mn|m|n|2M_V152.55'所以二面角A-MA1-N山、10的正弦值为-5解析:319.答案：1.设直线l:y=3x+t，A(xi，yi),B(x2，y2).由题设得F'3,0j,故AF+BF

13、14)35=Xi+X2+,由题设可得Xi+X2=223,y=xt一,-22由2，可得9x+12(t1)x+4t=0,则x1+x2=212(t-1)9y=3xi12(t-1)从而一，、一37所以l的方程为y=3x7.282.由AP=3昆可彳导y=3y2.3,ly=xt一9由2,可得y2-2y+2t=0.2y=3x所以y1+y2=2.从而3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x=3,x2=1.34A故AB=.3解析：1120.答案：1.设g(x)=f(x),则g(x)=cosx-，g'(x)=sinx+2.1x(1x)当x"'1-i时，g'(x)

14、单调递减，而g'(0)>0,g'U)<0,可得g'(x)在匚1|,有唯,22.2一零点，设为：.则当xw(1p)时，g'(x)>0；当xwQ,mi时，g'(x)<0.,2所以g(x)在(-1p)单调递增，在1口，三单调递减，故g(x)在1-1:存在唯一极大值I2jI2)点，即f'(x)在1-1,|存在唯一极大值点.2. f(x)的定义域为(1,依).(I)当xW(1,0时，由1知，f'(x)在(1,0)单调递增，而f'(0)=0,所以当xW(1,0)时，f'(x)<0,故f(x)在(1,0)单

15、调递减，又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(1,0的唯一零点.(ii)当x亡10-时，由1知，f'(x)在(0尸)单调递增，在1«,-单调递减，而,2.2f'(0)=0f'<0,所以存在P=1«,-I,使得f'(P)=0,且当x三(0,P)时，?22)I2)f'(x)A0;当xwfp3Mf'(x)<0.故f(x)在(0,P)单调递增，在fp,-'单调递I,2，I2)减.又f(0)=0,fY=1n,1十三>0,所以当xw时，f(x)>0.从而，f(x)2.2.2>0,>0,“工。，

16、所以f(x)在'-,ni单调递减.而fi三i22f(n)<0,所以f(x)在11,n有唯一零点(iv)当xw(几代)时，ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(n,十无)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.解析：21.答案：1.X的所有可能取值为1,0,1.P(X-1)(1-：)'-,P(X=0)=：(1-：)(1-：)，P(X=1)=:(1-)所以X的分布列为X'-101P+-a./?)a(1-p)2.(i)由1得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此Pi=0.4pi+0.5口+0.如+，故0.1(pi*一Pi)=0.4(Pi-

17、Pi),即PR=4P-R.又因为PiP0=P1¥0,所以pi由p(i=0,1,2,111,7)为公比为4,首项为Pi的等比数列.(ii)由i可得847P8=P8-P7P7-P6,IHP1-P0P0=P8-P7P7-P6HlPi-P0=Pi3,3由于P8=1,故Pi=-8一,所以4-1P4=P4-P3P3-P2P2-PlPl-P0尸4-1Pl1257P4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治1愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=%0.0039,此时得出错误结论的概率257非常小，说明这种试验方案合理.1-t2l222.答案：1.因为1<一、<1,且X21t24t2221t2=1,所以C的直角解析：2坐标方程为X2-(=1(x=-1).l的直角坐标方程为2x+J3y+11=0.,八,、,x=cos：,.由1可设C的参数万程为W（口为参数，一冗<口</）|2cos±?.2j3sin工二11|7y=2sin工.C上的点到l的距离为0"(k'l一L当U=_红时，4cosla-1+1