必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)

1、必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)平面向量的实际背景及基本概念学习目标1、能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别、2、会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量、3、理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识檀理自主学习知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向白量（如年龄、身高、体积等）称为数量.注意:向量的两个要素：大小与方向，缺一不可.解题时，注意从两个要素出发考虑问题.数量之间可以比较大小，而两个向量不能比

2、较大小.思考已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移：加速度；重力；路程；密度.其中就是数量的有，就是向量的有.答案知识点二向量的表示方法（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有左向的线段叫做有向线段，它包含三个要素:起点、方向、长度，如图所示./加终点）Ai起点）以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，一.，一一一、一.一一.一一一一（2）向重的子母表不：向重可以用子母a,b,c,，表小（ER刷用黑体a,b,c,书与时用a,b,c）.向量aB的大小：也就就是向量AB的长度（或称模，即有向线段AB的长度，记作|AB|、长度为0的向量叫做零向量，记作0;长度等于1个单位白向量，

3、叫做单位向量.思考在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹就是.答案单位圆知识点三相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的量叫做相等向量.(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记法晌量a平行于b,记作a/b、规定:零向量与任一向量平行.(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也口U做共线向量.也就就是说，平行向量与共线向量就是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行与共线相混淆.思考向量平行具备传递性不？答案向量的平行不具备传递性，即若a/b,b/c,则未必有a/c,这就是

4、因为，当b=0时,a、c可以就是任意向量，但若bw0,必有allb,b/c?allc因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要瞧清题目中就是“零向量”还就是“非零向量”.-题型探究重点突越题型一向量的基本概念例1判断下列命题就是否正确，并说明理由.若awb,则a一定不与b共线；若AB=DC,则A、B、C、D四点就是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有AB=DC；若向量a与任一向量b平行，则a=0;若a=b,b=c,贝Ua=c;若a/b,b/c,贝Ua/c、解两个向量不相等，可能就是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确.AB=DC,A、

5、B、C、D四点可能在同一条直线上，故不正确.在平行四边形ABCD中,|AB|=|dC|AB与DC平行且方向相同，故AB=DC正确.零向量的方向就是任意的，与任一向量平行，正确.a=b,则|a|=|b|且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a=c,正确.若b=0,由于a的方向与c的方向都就是任意的,a/c可能不成立；bw。时,a/c成立，故不正确.跟踪训练1下列说法正确的有.(1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(2)向量aB与CD就是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；向量aB与BA就是平行向量；(4)任何两个单位向量都就是相

6、等向量.答案解析(1)错误.由|a|=|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上.(3)正确.向量AB与BA就是长度相等，方向相反的两个向量.(4)错误.单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同.题型二向量的表示及应用例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.一f(1)作出向量AB、BC、CD；(

7、2)求|AD|、必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)解（i）向量AB、BC、CD如图所示.（2）由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线,一.又|AB|=|CD|,，在四边形ABCD中,AB触CD、四边形ABCD为平行四边形.三.AD=BC,.-.|AD|=|BC|=200km、跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a,每个小正方形的边长为1、（1）试以B为终点画一个向量b,使b=a;（2）在图中画一个以A为起点的向量c,使冏=立，并说出向量c的终点的轨迹就是什么?解（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等（作图略）.（2）由平面几何知识可知所有这样的向量c的终

8、点的轨迹就是以A为圆心，半径为45的圆（作图略）.题型三平行向量与共线向量例3如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别就是AC、AB、BC的中点.（1）写出与EF共线的向量；（2）写出与EF的模大小相等的向量（3）写出与EF相等的向量.解（1）因为E、F分别就是AC、AB的中点，1所以EF触/BC、又因为D就是BC的中点，所以与EF共线的向量有：FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB、(2)与eF模相等的向量有：FE,BD,DB,DC,CD、(3)与EF相等的向量有：DB与CD、跟踪训练3如图，已知四边形ABCD为?ABCD,则(1)与OA的模相等的向量有多少个?(2)与OA的模相等，

9、方向相反的向量有哪些?(3)写出与AB共线的向量解(1)与OA的模相等的向量有AO,OC,CO三个向量.(2)与OA的模相等且方向相反的向量为oC,aO、(3)与aB共线的向量有DC,CD,bA、易错易混对向量的有关概念理解不清致误例4下列说法正确的个数就是()向量a,b共线，向量b,c共线，则a与c也共线：任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；向量a与b不共线，则a与b都就是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行.A.1B.2C.3D.4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同（包括起点、终点，同起点共线向量不就是平行向量.答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量

10、与任一向量都就是共线向量，共线向量也就是平行向量，它与平面几何中的共线与平行不同.正解事实上,对于，由于零向量与任意向量都共线，因此不正确；对于，由于向量都就是自由向量，则两个相等向量的始点与终点不一定重合，故不正确；对于，向量的平行只与方向有关，而与起点就是否相同无关，故不正确；a与b不共线，则a与b都就是非零向量，否则,不妨设a为零向量则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而正确.1 .下列说法错误的就是（）A.若a=0,则同=0C.零向量与任一向量平行2 .下列说法正确的就是（）A.若同|b|,则 abC.若a=b,则a与b共线B.零向量就是没有方向的D.零向量的方向就是任意的B.若|a|

11、= |b|,则 a= bD.若a wb,则a一定不与b共线3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形则两腰上的向量AB与DC的关系就是（）A、aB=DCB.|AB|= |DC|C、 ABDCD、 AB|b|;a/b;间0;|b|=4其中正确的就是（A.B.C.D.6 .判断下列命题中不正确的就是命题个数为（）若向量a与b同向，且|a|b|,则ab;若向量|a|=|b|则a与b的长度相等且方向相同或相反；对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同，则a=b;向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.A.1B.2C.3D.4二、填空题7 .若对任意向量b,均有a/b,则a为.8 .给出以下5个条件

12、：a=b;|a|=|b|;a与b的方向相反：|a|=0或|b|=0;a与b都就是单位向量.其中能使a/b成立的就是.（填序号）“79 .在四边形ABCD中,AB=DC且|AB|=|AD|,则四边形的形状为.，一，10 .已知在边长为2的菱形ABCD中,/ABC=60，则|BD|=、三、解答题11 .一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向彳T驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东600方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西300方向行驶2千米才到达B地.北一.（1）回出AD,DC,CB,AB;（2）求B地相对于A地的位置向量.12.如图，已知叱=葩f=CC-、求证：（1）AABC

13、AA?BC;必修四平面向量的实际背景及基本概念（附答案）(2)AB=不留,AC=厂0#、13.O就是正方形ABCD对角线白交点，四边形OAEDQCFB都就是正方形，在如图所示的向量中:(1)分别找出与AO,BO相等的向量(2)找出与aO共线的向量；找出与aO模相等白向量；(4)向量aO与CO就是否相等？当堂检测答案1答案B解析零向量的长度为0,方向就是任意的，它与任何向量都平行，所以B就是错误的.2答案C解析A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模就是非负实数，虽然冏|b|,但a与b的方向不确定，不能说ab,A不正确；同理B错误;D中,awb,a可与b共线.故选C、3答案B解析|AB|与|DC

14、|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.,zrt.-L7一4、解(1)AF=BE=CD,AE=BD、(2)DA,CF,FC、5.证明.AB=DC,四边形ABCD为平行四边形，AD,BC平行且相等又CN=MlA,.四边形CNAM为平行四边形，.AN,MC平行且相等，DN,MB平行且相等，四边形DNBM就是平行四边形当堂检测答案一、选择题1答案D2答案D3答案C解析当b=0时,不一定成立，因为零向量与任何向量都平行.4答案D解析AB=dC,.四边形ABCD就是平行四边形，AC、BD互相平分，aO=OC、5答案B解析a为任一非零向量，故|a|0、6答案C解析不正确.因为向量就是不同于数量的一种量.它由两个

15、因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确.不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.正确.|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b、不正确.因为向量a与向量b若有一个就是零向量，则其方向不确定.二、填空题7 .答案零向量8 .答案解析相等向量一定就是共线向量，能使a/b;方向相同或相反的向量一定就是共线向量,能使a/b;零向量与任一向量平行，成立.9 .答案菱形解析.AB=dC,，ab触DC四边形ABCD就是平行四边形,|苑|=|,，四边形ABCD就是菱形.10 .答案231解析易知AC，BD值/ABD=30MAC与BD交于点O,则AO=aAB=1、在RtAABO中,易得|BO|=73,.,.|BD|=2|BO|=2三、解答题11 .解（i）向量aD,dC,CB,aB如图所示（2）由题意知AD=Bc,.AD触BC,则四边形ABCD为平行四边形，AB=dC,则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60,6千米12 .证明(1)k=BB,，|aA1=|加