信号课程讲义

1、第四章第四章 拉氏变换与拉氏变换与s域分析域分析n拉氏变换定义；拉氏变换性质（上）拉氏变换定义；拉氏变换性质（上）n拉氏变换性质（下）；拉氏逆变换拉氏变换性质（下）；拉氏逆变换n拉氏变换法分析电路；系统函数拉氏变换法分析电路；系统函数n系统函数零极点系统函数零极点时域特性和稳定性时域特性和稳定性n系统函数零极点系统函数零极点频响特性频响特性n双边拉氏变换；拉氏变换双边拉氏变换；拉氏变换傅里叶变换傅里叶变换4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )一、拉氏变换一、拉氏变换1引言引言赫维赛德赫维赛德 19世纪末算子法，世纪末算子法，依据拉普拉斯著作，重新定义依据拉

2、普拉斯著作，重新定义适用：连续线性时不变系统适用：连续线性时不变系统作用：简便变换线性时不变系统时域模型作用：简便变换线性时不变系统时域模型iv)卷积卷积 相乘，相乘，建立系统函数的概念建立系统函数的概念ii)微积分微积分 乘除法，微分方程乘除法，微分方程 代数方程代数方程iii)指数、超越指数、超越 初等函数初等函数i)同时给出特解和齐次解，同时给出特解和齐次解，初始条件自动包含在变换式中初始条件自动包含在变换式中v)零极点零极点 时域、频响、稳定性，时域、频响、稳定性，零、极点分析的概念零、极点分析的概念分析步骤：时域分析步骤：时域-复频域复频域-时域时域4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质

3、拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )deFtfdtetfFtjtj)(21)()()()(dttf2傅里叶变换傅里叶变换 拉氏变换拉氏变换i) 通常为因果信号通常为因果信号 )(tf( )0 (0)f tt)()()(tutftfdeFtfdtetfFtjtj)(21)()()(0若若 , 则则4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )(tf( )tf t eii) 不绝对可积，但不绝对可积，但 容易满足绝对可积条件容易满足绝对可积条件111( )( )( )22sjjtj tstjdsjdf te FedF s e dsj 11( )( )2tj tf

4、 t eFed0)()(dtetfsFst定义定义100( ) ( )( )( ) ()ttj tstFf t ef t eedtf t edtsjF4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )傅立叶变换与拉氏变换基本区别傅立叶变换与拉氏变换基本区别iii) 0( )( )1 ( )( )2stjstjF sf t edtf tF s e dsj 为为单边单边拉氏变换对拉氏变换对象函数象函数原函数原函数只能描述振荡重复频率只能描述振荡重复频率为实数为实数不仅能描述振荡频率，也能反不仅能描述振荡频率，也能反映振荡幅度的衰减或增长速率映振荡幅度的衰减或增长速率为复频

5、率为复频率为实数，为实数， 为复数为复数)(tfF)()(tfsF, tts复频域复频域 时域时域频域频域 时域时域为频率为频率ss4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )双边拉氏变换：双边拉氏变换：( )( )1( )( )2stBjstBjF sf t edtf tF s e dsj 4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )3算子符号算子符号p概念概念 拉氏变换定义拉氏变换定义)()()()(ssFdttdfsFtfi)根据这个思想，设想根据这个思想，设想0),()()(dtsthtfsF),( sth且且 ，试确定试

6、确定0),()()(dtsthtfssF00),()(| ),()(dtsthtfsthtf(0)0, lim( ) ( , )0tff t h t s0),()()(dtsthtfssF令令 ，则则pdtd)()(tpftfdtd，算子算子4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )0)0(f000( )|( )(0)( )( )sttstsft edtfsFf t esf t esdt ii) 若若 ，则则)(sFp与与s区别区别i) p不计入初始条件作用不计入初始条件作用ii) 计入初始条件作用计入初始条件作用( , )ln ( , )( , )( , )

7、stdh t ssdth t ssth t seh t s 00( ) ( , )( )( , )( , )( , )sf t h t s dtf t h t s dtsh t sh t s 即即0)()(dtetfsFst故：故：4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )4收敛问题收敛问题定义定义tetf)(0)(limttetf为何值，为何值， 收敛：收敛：00)(limttetfi) 的取值范围对应的平面区域称为的取值范围对应的平面区域称为收敛域收敛域通常当通常当 时，时，0s0ii)称称 为为收敛坐标收敛坐标， 平面中平面中 部分为收敛域部分为收敛域)

8、()(2tuetft2te)2(例如例如 ，只有取，只有取 ，才使，才使 变为衰减变为衰减0j0含义：含义： 满足绝对可积的条件，即：满足绝对可积的条件，即：tetf)(单边拉氏变换，右边单边拉氏变换，右边收敛坐标，收敛轴，收敛域收敛坐标，收敛轴，收敛域4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )1t2tt)(tf0时间有限的有界信号，时间有限的有界信号，收敛坐标位于收敛坐标位于，收敛域整个，收敛域整个s 平面平面21( )( ), lim( )0tsttttF sf t edtf t e0)(limtft( ，与与 无关无关)4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质

9、拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )lim( )0 (0)ttf t e有界非周期信号：有界非周期信号： 收敛域至少为收敛域至少为 s 右半平面右半平面t)(tf04.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )有界周期函数：有界周期函数：lim( )0 (0)ttf t e，收敛域为收敛域为 s 右半平面右半平面)(tft04.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )0综上：单边拉氏变换收敛域形式为综上：单边拉氏变换收敛域形式为2)(tetf比指数函数增长还快的信号，比指数函数增长还快的信号，无拉氏变换：如无拉氏变换：如2,.

10、,.nt tt，收敛域为，收敛域为 s 右半平面右半平面 lim0 (0)nttt eatetf)(，指数信号：指数信号：()lim( )lim0 ()tatttf t eea4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )5积分限问题积分限问题 例：例：)(1tft021 0( )1 0tetf ttt)(2tf00 0 )(222tttetft)(3tft023 0( )0 0tetf tt)(1tf)(2tf)(3tf)(tf0t与与 的的 部分函数值无关部分函数值无关4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )00 与与 问题

11、问题：0( )( )stF sf t edt0( 定义方式定义方式)0( )( )stF sf t edt0( 定义方式定义方式)本书用本书用0，优点是不必考虑跳变过程，优点是不必考虑跳变过程利用拉氏变换解微分方程时，可以直接利用已利用拉氏变换解微分方程时，可以直接利用已知的起始状态知的起始状态(0 )f4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )(t例例1：求：求 的单边拉氏变换：的单边拉氏变换：解：解：000 : ( )( )1stt edtt dt00 : ( )0stt edtt0( ) t(1)4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性

12、质( (上上) )0()()(fssFtf1)(cos2ssttu11)(sin2sttu) )(costtu例例2：已知：已知 ，求，求解：解：2022(cos( ) (0 )11sstu tsfss 0：0202221(cos( ) (0 )1111sstu tsfsss ：)(0 11011)0( 111122222sssss) )(costtu)(sinttu)(t其实：其实：4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )二、拉氏变换性质（上）二、拉氏变换性质（上） 1线性线性)()()()(22112211sFksFktfktfk11( )( )f tF

13、 s)()(22sFtf，4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )( )ate u t例例3：求：求 的拉氏变换（分的拉氏变换（分 a 为实数和虚数两种情况）为实数和虚数两种情况）1 ( ) (0)u ts (0)EEs令令a = 0，则则 ，解：解： i)当当 a 为实数为实数()0011( ) ()atatsta s te u teedteaassa0ja ii)设设 a 为虚数，即为虚数，即0000()0( )11 (0)jtjtstjs teu teedtejssj则则4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )(si

14、nttu)(costtu，的拉氏变换的拉氏变换例例3：求：求220111cos( )()2stu tsjsjs)0(220111sin( )()2tu tj sjsjs)0(解：解：001( )jteu tsj)0(0t01( )jeu tsj(0)4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )例例3：求：求 的拉氏变换的拉氏变换sinh() ( ), cosh() ( )at u tat u t解：解： 221sinh() ()2111() (|)2atatateeaasasasa221cosh() ()2111() (|)2atatateesasasasa4.

15、1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )2时域微分时域微分)()(Ftf( )(f tj Fi) 对比对比)0(fii) 注意：本书采用注意：本书采用 )()(sFtf)0()()(fssFdttdf11( )0( )( )(0)nnnn rrnrd f ts F ssfdt 2( )( )(0)(0)( )(0)(0)fts sF sffs F ssff4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )例例4：电感的：电感的 s 域模型：域模型：( )( )( )(0 )LLLLLdiv tLVsLsIsLidt(0 )0( )( )

16、LLLLLiV ssLIsVj LI 若若)(sVL)0(LLisL+-( )LIs4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )( 1)00(0)(tstffdedts 证明：证明：( 1)0= (0) (tffd3时域积分时域积分()(FtftFjFdf)0(比较比较 (tdf)(0df(0tdf)()(sFtfsfssFdft)0()()1(000001( )( )stttststeF sfdedtfdf t edtsss ( 1)( )(0)( )(0)( )F sgF sfG ssssssfssFdft)0()()1(故：故：tdftg()(或令：或令：

17、 则：则：)()(tgtf)(sF)0()()(gsGstf4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )例例5：电容的：电容的s域模型域模型)(sVcsvc)0(+-( )CIs1sC( 1)( )(0)( )(0)1( )( )tCCCCCCCIsiIsvvtidVsCsCCssCs( )(0)0( )CCCCCIsIvV sVsCj C 若若4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )00( )( )( )( )ststF sf t edtF stf

18、t edt4s 域微分域微分证明：证明：( )( )tf tF s故：故：)()(sFtf( )( )dtf tF sds()(Ftf)()(Ftjtf对比：对比：4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )nt例例6：求：求 的拉氏变换的拉氏变换(n为正整数为正整数)21st 3221sdssdtt232 tssin, costt tt求求 的拉氏变换的拉氏变换解：解：211 1sdssdts1 1 1! nnnts.2222 cos()sdssttdss 2cossts2222 sin()dssttdss 2sinst4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )4.1 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质( (上上) )5s 域积分域积分00000( )( )( )( ) ()|( ) (0)( )utssututssststF u duf t edt duef tedu dtf tdtteef tdtf t dttt证明：证明：)(