第12讲巧解圆的周长和面积（二）

1、 才子教育 小学奥数系列第12讲 巧解圆的周长和面积（二）（1） 圆上任意一点到圆心的距离相等。（2） 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。（3） 圆周率是一个无限不循环小数，圆周率是圆周长c与直径d的比值=。（4） 圆的面积S=r2，这一公式的得来是用等分圆周逼近法求出来 的。（5） 扇形是圆的一部分，圆心角是n度的扇形面积公式为S扇形=.n先把圆周长2r分成360份，每份长，所以圆心角为n度的扇形的弧长为AB= n = n。例1、两条爬行动物速度相同的小小虫同时从起点出发，分别沿A、B两条拍到爬行（如右图），其起点部分于终点部分都是直道，中间绕过的是半圆形道。如果跑道每道

2、宽122米，要使它们同时到达各自的终点与跑道A的终点相距多少米？解：设跑道A的半径为R米，那么跑道B的半径为（R+122）米，在半圆部分产生了差距。跑道A的半圆周长为R米，跑道不B的半圆周长为（R+122）米两个半圆的长度差为（R+122）-R=×122383（米），这就是跑道A、B相距的距离。答：跑道B的终点应与跑道A的终点相距383米。做一做：赤道是地球的“腰带”，它长约4万千米，如果这条想象的“长带”离开地球表面2米，那么，它会比原来长出多少米？例2、如右下图，如果四个圆的半径为1厘米，求：（1）阴影部分的总面积。（2）四个圆盖住的总面积。分析与解 （1）图中阴影部分是由四个圆

3、的重叠部分形成的，这四个圆的四条直径围成个正方形，四个半圆的面积之和减去正方形的面积，就是阴影部分的面积:2××-22=2-4=228（厘米2）(2)四个圆盖住的总面积=4S圆 S阴=4××12-228=1256-228=1028（厘米2）答：阴影部分的总面积为057（厘米2），四个圆盖住的总面积为1028（厘米2）。做一做：求右下图中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。例3、如右图，其中圆的周长等于正三角形的一条边的边长。该圆沿着三角形外周滚动一周，问：圆自转了多少圈？解：在每条边上各一圈，共3圈；在每个角上各转圈，共转1圈；总共转3+1=4(圈)。做

4、一做：桌上放置着大小一样的两枚硬币，其中一枚硬币固定不动，另外一枚硬币沿着定币的外缘做无滑动的滚动。当动币绕着定币滚动一周之后，动币自动转了几圈？例4、如下图所示，一个圆正在五角星形的外侧，从A处开始做于正五角形的变相切（即紧靠边）的滚动。如果BC长度等于圆周长，问：当此圆滚动回到原出发点时（包括自转）共转了几圈？解：正五角星形每个角都是36°，没转过一个角，圆要转=圈，转5个角，合2圈；同时又要转10条边，总计12圈。另外，当圆处在如果在如图的D、A、B位置时，圆并没有转过线段DA和，所以在凹角处，圆没有转圈。因此，圆总计转（圈）。做一做：如右图，若一个圆的周长等于一个正方形的边长

5、，将此圆绕着正方形外侧滚动一周，则圆转了几圈？例、如下图，在一个大正方形里有一个小正方形里有一个小正方形ABCD，小正方形沿大正方形的变翻转，翻转两次后，求顶点B所划过的曲线的长度，并画出这一曲线（大正方形的边长为2厘米，小正方形的边长为1 厘米）。解：B点轨道是两条弧，弧的半径为1厘米，圆心角为90°，一条弧长为 ×90=所以，两条弧共长×2=3.14（厘米）。答：顶点B所划过的曲线的长度是3.14做一做：有一个边长为1的等边三角形，现将三角形沿水平线翻动，如下图所示，B点从开始的位置到结束的位置，它所经过的路线总长度是多少？例6、如图1，大轮B是个定轮，小轮A

6、沿B轮的外沿滚动。问：（1）图1中，若小轮A公转一周所扫过的面积是301.44厘米2，则小轮A的半径是多少？图（2）中，小轮的圆心A所划出的图形是什么曲线？周长是多少？（你可以用硬币进行试验）解：（1）小轮扫过的面积是一个圆环，其面积为301.44厘米2。根据题意有（R+2r）2-R2=301.443.14×（5+2r）2-3.14×52=301.443.14×（5+2r）2=301.44+3.14×52（5+2r）2=（5+6）2r=3（厘米）(2)圆心A所划出的曲线是一个圆，如图2，其半径为（R+r）圆周长l为：L=2(R+r)=2×（5+

7、3）=50.24（厘米）答：小轮A的半径是3厘米，圆心A划出的图形是一个圆，周长是50.24厘米。做一做：有一个边长为1厘米的等边三角形，现将三角形沿水平线翻动，如果这个三角形的面积近似为0.87平方厘米，求三角形运动时所扫过的面积。例7、取八枚大小相同的硬币，摆成图（一）形状。最上端那个硬币（圆A）顺着排成圈6个硬币滚动着旋转一周。问：硬币A自己一共旋转了几圈？分析与解：如图（二），首先我们把硬币A、硬币B和硬币C上的圆周都平均分成6份，得到等分点、A 2、A 3.B1、B2、B3C1、C2、C3·····相邻两点的弧长都是整圆周长的。开始时

8、硬币A上的点和硬币B上的B1 的接触，硬币A从B1 点出发，沿圆弧到B2点（和A2重合，圆A滚过了60°），同时使硬币A上的另一点A3和硬币C上的C1点重点，硬币A再演圆弧到达C2点（此时和A4重合，圆A又滚动了60°），所以这时圆A一共滚过了120°，这也就相当于硬币A绕硬币B滚过了圈。由于这些圆的半径都相等，硬币A在B、C、D、 E、F、G这六个圆上所滚过的弧长都相等，都等于其中一个圆周长的 ，即在每个圆上都滚过了圈。所以硬币A顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一周，一共滚动过了（×6）圈。考虑硬币A的自转，它一共旋转的圈数为；解(1+1)×&

9、#215;6=4（圈）小结：可以得出硬币A旋转的图数是×6的2倍，即硬币A绕自己的中心一共旋转了×6×2=4图。做一做：如图，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长时大正六边形边长的一半。如果小正六边形沿大正六边形的边滚动一周后回到出发时的位置，那么在这个过程中，线段绕点旋转了几圈？巧练习温故知新1、如下图，所有圆弧都是半圆，最大半圆AB长为36厘米，求阴影部分部分图形的周长（A、B、C、在一条直线上）。2、钟楼上的一只大钟的秒针长1米，这根秒针的尖端一天要走多少米？3、如右图所示，桌面上放真一块木板，板上有一个圆孔，孔内有一个小圆板，小圆

10、的直径刚好等于大圆的半径。将小圆板滚动，问：（1）小圆的圆心在滚动时画出的是什么样的曲线？如果大圆的周长是10厘米，那么小圆的圆心Q2在运动时画出的曲线有多长？（2）小圆的圆周上 有一点B，如图所示,它正好与大圆的A重合，将小圆紧贴着大圆滚动下去，请你把所有这样的与B点重合的大圆上的点标出来。（3）圆中小圆上有一个箭头，正处于水平位置，指向左方，那么在小圆滚动的过程中，这个箭头向时小圆在什么位置？把所有这样的位置都画出来。4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同测一圆形花圃的直径。他们沿着花圃圆周行走，他俩的起点和走向的方向完全相同，小亮每步54厘米，爸爸每步长72厘米，由于俩人的脚印有重合，所以雪地

11、上只留下60个脚印。求这个花圃直径。5、两个五分的硬币放在桌面上，一个硬币固定不动，另一个硬币紧贴着这个硬币的边缘，并绕着它转动一周，当这个硬币在回到原来的位置时，它自身转了几周？（你可以试一下）6、青湖一条直线，将下图中的五个圆分成面积相等的两部分 。7、如下图，在正方形内有一个圆（内切圆），圆内又有一个内接正方形，顶点在圆周上，如此继续作图。设大正方形面1 ，求从外到内数第二个正方形的面积，第四个正方形的面积及第n个正方形的面积。8、如下图，有一只被栓在一个建筑物墙角上，这个建筑物是边长都等于6米的等边三角形，绳子是8米。求绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的区域或面积。9、如下图，两个用纸片剪成的正方形放在桌面上，小正方形的面积为米，大正方形的面积为米。如果大正方形顶点落在小正方形中心上并以为圆中心不停的旋转。（）求大正方形旋转所扫过的面积：（）大正方形于小正方形重叠部分（如图中阴影部分所示）的位置于形状在不断变化，那么大正方形转到什么位置时，重叠部分的面积最大？为什么？、如下图所示，一个正方形边长为厘米，内有一个半径为厘米的圆片贴紧着正方形的内壁运动，求他扫过的面积。11、有一机械装置如下图所示，杆长厘米，干端上链接一个小圆片，半径为厘米。干如图那样运动，其运动的最大角度是°，求小圆片所所扫过的面积。12、当一个圆盘沿着一个直径是它的两倍的圆盘内壁