北京市海淀区2018--2019年高三4月一模数学文

1、-1海淀区高三年级第二学期期中练习数 学(理科)2019.4本试卷共 4 4 页，150150 分。考试时长 120120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1.1.集合A二x N|x _6, B =x R|x2_3x 0，则API B =A.A.3,4,5B.B.4,5,6C.C.x|3：x6D.D.x |3 E x：6-22.2.在极坐标系中，曲线n=4cosr围成的图形面积为B.B.4D . .163.3.某程序的框图如

2、图所示，执行该程序,若输入的x值为 5 5，则输出的y值为A. . -2-2 B.B.-1C.C.1D.D.24.4.不等式组x -1,x y -4乞0,表示面积为kx -y _ 0的直角三角形区域，贝U k的值为A. .-2B.B.-1C.C.0D.D.5.5.若向量a, b满足| abab=1，则a b的值为A.A. - -1 12B.B.C.C.D.D.6.6. 一个盒子里有 3 3 个分别标有号码为 1 1,2 2, 3 3 的小球, 每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3 3次，3 3 的取法有A.12A.12 种B.B. 1515种 C.C. 1717种 D.19D.19

3、7.7.抛物线=4x的焦点为IPF |F,点P(x, y)为该抛物线上的动点，又点A(-1,0)，则十工；的最丨PA|小值是B.B.D.D.8.8.设h,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4 4, 5 5, 6 6 的直线. .给出下列三个结论:-31A h (i =1,2,3)，使得AA2A3是直角三角形;2A Ti (i =1,2,3)，使得A1A2A3是等边三角形;三条直线上存在四点A(i =1,2,3,4)，使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体其中，所有正确结论的序号是A.A.B.B.C.C.二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分

4、,共 30 分.9.9.在复平面上，若复数a+b i(a,b R)对应的点恰好在实轴上，则b=_10.10.等差数列 厲中，a3+a4=9,a2a5=18, ,则a =_ 11.11.如图，AP与L O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C. .若.ACB =90，BC =3,CP =4，则弦DB的长为_ . .1 1 , ,12.12.在LABC中，右a = 4,b = 2, cos A，贝 V V c c = =_,sinC=_42* _ax兰013.13.已知函数f (x) = 0_n14.14.已知函数f (x)二sin x，任取L R，定义集合：2A二y |

5、 y rf(X)，点P(t, f(t),Q(x, f (x)满足| PQ , 2. .设Mt,mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h(t)=Mt-mt. .则(1)_函数h(t)的最大值是 ;(2)_函数h(t)的单调递增区间为. .三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.15.(本小题满分 1313 分)已知函数f (x) = 2(. 3sin x -cosx)2. .(I)求f (n)的值和f (x)的最小正周期；4 D.D. O-4、,-JT IT(n)求函数f(x)在区间,上的最大值和最小值6 316.16.(本小题满分 13

6、13 分)在某大学自主招生考试中，所有选报IIII 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,EA,B,C,D,E 五个等级. .某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B B 的考生有 1010 人. .(I I )求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A A 的人数；(IIII )若等级 A,A, B,B, C,C, D D E E 分别对应 5 5 分，4 4 分，3 3 分，2 2 分，1 1 分. .(i i )求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)(ii)若该考场共有 1010 人得分

7、大于 7 7 分，其中有 2 2 人 1010 分，2 2 人 9 9 分，6 6 人 8 8 分. .从这 1010人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望17.17.(本小题满分 1414 分)在四棱锥P -ABCD中，PA_平面ABCD，ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点， 又PA = AB =4，- CDA =120：点N在线段PB上，且PN二2.(I)求证：BD _PC;D5(H)求证：MN /平面PDC; ;(川)求二面角A PC -B的余弦值.18.18.(本小题满分 1313 分)已知函数f(x) =1 n x ax2 bx( (其中a,b为常数且a厂

8、0) )在x=1处取得极值. .(I)(I)当a =1时，求f(x)的单调区间；(II)(II) 若f (x)在0,e 1上的最大值为1，求a的值. .19.19.(本小题满分 1414 分)2 2已知圆M:(x-、.2)2 y2=r2(r 0).若椭圆C:笃爲=1(a b 0)的右顶点为圆Ma b的圆心，离心率为 . .2(I I)求椭圆C的方程；(IIII )若存在直线I:y =kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且AG = BH，求圆M半径r的取值范围. .20.20.(本小题满分 1313 分)设为平面直角坐标系上的两点，其中XA,y

9、A,XB,yB，Z. .令x =冷-XA，y二yB-yA，若x + y=3,且|.汶|勺产0，则称点B为点A的“相关点”，记作:B=(A).已知Po(x, y) (Xo,yEZ)为平面上一个定点，平面上点列R满足：P，且点P的坐标为(X” yj，其中i =1,2,3,n. .-6(I)请问：点Po的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上,写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；(n)求证：若F0与Pn重合，n定为偶数;n(川)若F0(1,0)，且yn=100，记T八x，求T的最大值. .i _0海淀区高三年级第二学期期中练习数 学(理)参考答案及评分标准2019

10、.4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. .、选择题(本大题共 8 8 小题, ,每小题 5 5 分, ,共 4040 分)题号1 12 23 34 45 56 67 78 8答案B BC CC CD DA AD DB BB B二、填空题(本大题共 6 6 小题，每小题 5 5 分，有两空的小题，第一空 3 3 分，第二空 2 2 分,共 3030 分)8080 分) )1515.(本小题满分 1313 分)9 9. 0 01010 . 141411112451212.3,3 15161313 .4： ：a乞11414 .2, (2k -1,2k),k Z三、解答题( (本大题共

11、6 6小题， 共7解：(I I)因为f (x) =2 -(3sinx-cosx)2-8=2 - (3sin2x cos2x - 2.3sin x cosx) =2-(1 2sin2x -一3sin2 x).2 2 分=1 -2sin2x . 3sin2 x= cos2x . 3sin2 x.4分仁严泅24”如牛、3QQ所以f（x）的周期为丁十寸nn2 n n - n5n时，如匕亏，(2x+n)引 wk所以当x-二时，函数取得最小值.1111 分6 6当X二才时，函数取得最大值f （才）=2.1313 分16.16.解：（I）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B B 的考生有 1010 人，所以

12、该考场有10 “0.25 =40人. 1 1 分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A A 的人数为40 （1一0.375-0.375-0.15-0.025） = 40 0.075 = 3.3分（IIII） 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1汇（40乂0.2）+2江 （40乂0.1）+3工（400.375） +4汇 （40乂0.25） + 5乂（400.075）292.9 40.7 7 分（川）设两人成绩之和为，则的值可以为 1616, 1717, 1818, 1919, 2020. 8 8 分n=2sin(2xn)6 6 分所以（iiii）当x -扌,n-9所以的分布列为X

13、1617181920P1512134145454545451111 分17.17.证明：（I I）因为=ABC是正三角形，M是AC中点，所以BM _ AC, ,即BD _ AC.1 1 分又因为PA _平面 ABCD,BD平面ABCD,PA _ BD .2 2 分又PAp|AC二A，所以BD_平面PAC .3 3 分又PC平面PAC，所以BD _ PC .4 4 分（n）在正三角形ABC中,BM =2.3.5分 在ACD中，因为M为AC中点，DM _ AC，所以AD =CDCDA =120；，所以DM= ，所以BM : MD二3:1 .6 6 分3在等腰直角三角形PAB中，PA二AB =4,P

14、B=4-.2,所以BN : NP =3:1,BN : NP =BM : MD，所以MN /PD.8 8 分又MN二平面PDC,PD平面PDC，所以MN /平面PDC .9 9 分P( =16) =6-C101545，P( 7)Cio1245p(=18)= C6C2C2CiTC1o1345，P( 9)誓C1045P( =20)=C22C120丄4515121341所以E 詁 1617181920 -4545454545865所以的数学期望为86.51313 分 10 (川)因为.BAD =/BAC . CAD =90；,所以AB _ AD，分别以AB, AD, AP为x轴,y轴，z轴建立如图的空

15、间直角坐标系, 所以B(4,0,0), C(2,2 J3,0), D(0,4,0),P(0,0,4)3由（n）可知,PC = (2,2 ,3, M)，PB=(4,0, Y)设平面PBC的一个法向量为n =（x,y,z）, ,118.18.解：(I I)因为f (x) = In x ax2bx,所以f (x) 2ax b.2 2 分x因为函数f (x) = In x ax2bx在x =1处取得极值f (1) =1 2a b =0.3 3 分2x2_3x+1当a =1时，b = -3,f (x)二一3J,xf (x), f (x)随x的变化情况如下表：DB =（4-空3 0）为平面PAC的法向量3

16、1010 分n PC则n PB =0=0，即2x 2、3y -4x -4z = 0令z =3,则平面PBC的一个法向量为设二面角A - PC - B的大小为二，n =(3,J3,3).-I Tntn DB则cos日=4 |l =1212 分所以二面角A -PC -B余弦值为 丄771414 分zy-11x1(0吵121(1 七)f (x)+0 00 0+f(x)极大值极小值5 5 分1所以f(x)的单调递增区间为(0,丄)，(1,+：)单调递减区间为(丄,1).6 6 分2(II)(II)因为f (x)/ax2一2(a 1)x 1=(2ax-1)(x-1)xx1令Jx2=2a.7分1因为f(x

17、)在x =1处取得极值，所以x2x1=12a1当0时，f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,e上单调递减2a所以f(x)在区间0,e上的最大值为f(1)，令f(1)=1，解得a = -2. 9分当a 0,x2=丄022a1 1 1当1时，f (x)在(0,)上单调递增，(一,1)上单调递减，(1,e)上单调递增2a2a2a所以最大值 1 1 可能在x二丄或x二e处取得2ad d111111111而忑円临)2(2a吃小肓篇亠0-1221所以f (e)二lne+ ae2- (2a 1)e = 1，解得a.1111 分e-2111当1e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减，

18、(,e)上单调递增2a2a2a所以最大值 1 1 可能在x = 1或x二e处取得而f(1) = ln1 a -(2a 1)：0所以f (e)二Ine+ae2_(2a 1)e = 1，11解得a，与1：x2e矛盾.1212 分e-22a1当X2e时，f (x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，2a所以最大值 1 1 可能在x=1处取得，而f=In1 - a- (2a 1)：0,矛盾综上所述，a或a =2. . 1313 分e21 1 9 . .(本小题满分 1414 分)解：(I I)设椭圆的焦距为2c,因为a=爲2,-2，所以c = 1，所以b =1. .a 22所以椭圆C:7

19、 y2=1.4分(II(II )设A(% ,y1),B( (X2,y2) )y = kx由直线l与椭圆C交于两点A，B，则2角2-2丸 所以(12k2)x2-2 =0，则X2=0,X1X22 .1 2k2.-13所以|AB J(1+k2)亠迂豆. 7 7 分1+2k2Y 1 +2k2LV2k点M(J2,0)到直线I的距离d L2k22(1 k2) 2(3k43k21)k4、.1 k21 2k2一 2k43k21 一(2k43k21)当k =0时,综上, 20.20.解：（I）因为LX+ =y=3（=x, = y为非零整数）故x =1,卜 y=2或x =2, .x =1，所以点P0的相关点有 8

20、 8 个. 2 2 分又因为（：x）2（ ：y）2=5，即（为一冷）2（屮-y）2 =5所以这些可能值对应的点在以F0为圆心，5为半径的圆上. 4 4 分(n)依题意Fn(xn,yn)与P(x0,y0)重合则Xn=(Xn-XnJ(X.-1-人)(X?- Xj(人-x0)X。= X。,显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y = kx就是y轴，矛盾,所以要使AG = BH，只要AB = GH8(1 k2)22k2、所以/ =4(r2)1 2k1 k1212 分当k = 0时,又显然1dc )c2(1 + _)=31324222k4k212(1)2所以2：T 3r2=2(111414 分

21、则2k1 k2HGA1111 分-i14yn=仏 -丄）（-i-yn.-yi）（% - y。）y。二y。即（Xn-人丄）+区-1-Xn/） + . + （X2-花）+ （为-X）=0,（yn-yn）+（yn-i-yn+（y2-yj+（yi-y）=o两式相加得（人-yn）+（ Xn-XnJ +M-i-ynJ+.+（Xi-Xo）+（% -） =0（ * *）因为Xi, yZ,|XX+|yi y=3（i =i,2,3,n）故Xx+（yiyiJ（i=i,2,3,.n）为奇数，于是（* *）的左边就是n个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n定为偶数. 8 8 分（出）令X=Xi-为，y- y（i =i,2,3,n）,依题意（yn-yn）（yn-yn （%*0）=i。,n因为T八Xj =X。 x2V人i =i （i =X）（i二X2）