人与人传染的有媒体影响因子的禽流感模型.docx

1、Vol.30,No.lMar.,2017第30卷第1期纺织高校基础科学学报2017年3月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIES文章编号：1006-8341(2017)01-0023-06DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2017.01.005人与人传染的有媒体影响因子的禽流感模型刘艳，胡新利(西安工程大学理学院，陕西西安710048)摘要：建立人与人之间相互传染的有媒体影响因子的SPSIR禽流感模型，并研究其动力学性态，得到判断疾病传播与否的闽值Ra和Ro.利用Lyapunov函数、Dulac函数以及LaSalle不变原理等

2、证明了当R。V1且RoV1时，无病平衡点E；是全局渐近稳定的；当R,V1且Ro>1时，边界平衡点E是全局渐近稳定的；当Ra>1时，系统的正平衡点E；是全局渐近稳定的.关键词：禽流感;SbSIR模型；基本再生数；全局渐近稳定中图分类号：。175.1文献标识码：AMediaimpactontheavianinfluenzamodelwithperson-to-persontransmissionLIUYan,HUXinli(SchoolofScience»Xi'anPolytechnicUniversity,Xi'an710048,China)Abstract

3、:ThemodelofSI-SIRavianinfluenzawithperson-to-persontransmissionisestablishedthedynamicbehaviorofthemodelisstudied,andtwothresholdsofdeterminingthetransmissionareobtained.ByusingtheLyapunovfunction,DulacfunctionandLaSalleinvarianceprinciple,itshowsthatwhenRa<ZlandRo<l，thediseasefreeequilibriumi

4、sgloballyasymptoticallystable；WhenRa<ZlandRo>l,theboundaryequilibriumpointE：isgloballyasymptoticallystable；WhenRa>l9thepositiveequilibriumpointE；ofthesystemisasymptoticallystable.Keywords:avianinfluenza；SI-SIRmodel；reproductivenumber；globalstability。引言1878年.Perroncito首次报道了在意大利鸡群中发生的家禽疫(fowl

5、plague,禽瘟)，直到1902年其病收稿日期：2016-03-23基金项目：陕西省教育厅自然科学专项基金资助项目(15JK1295)通讯作者：胡新利(1975-),女，陕西省渭南市人,西安工程大学副教授，博士，研究方向为传染病动力学.E-mail：huxinli引文格式：刘艳，胡新利.人与人传染的有媒体影响因子的禽流感模型J.纺织高校基础科学学报,2017,30(1):23-28.LIUYan,HUXinli.Mediaimpactontheavianinfluenzamodelwithperson-to-persontransmissionQJ.BasicSciencesJournalo

6、fTextileUniversities,2017,30(1)：23-28.原才被分离出，这也是第一株被证实的流感病毒.禽流感病毒在人与人之间的传播极为少见-2003年荷兰H7N7禽流感暴发期间，3例未接触过病禽的家庭成员的发病提示存在人与人之间的传播.由于禽流感不仅对禽类群体产生严重的影响，在人类群体中更可能造成大规模流行，严重威胁人类的生命安全.如果可以通过媒体让人们认识到感染疾病的症状，以及对个人及家庭带来的影响，让人们从心理上重视，了解一些预防措施，从而减少患病人数，所以研究有媒体影响的禽流感是很有必要的.已有大量文献运用数学模型来研究传染病传播规律与控制途径.文献引入函数厂诚来研究媒

7、体影响因子,建立了SEI模型，并讨论了模型的动力学性态，得出模型有多个正平衡点存在和Hopf分支出现的充分条件.文献2结合禽类传播模型和人类疾病传播模型，提出了一种禽类-人类的流感传染模型.文献3讨论了两类禽流感模型，一类是被带有禽流感病毒的禽感染的模型，另一类是被感染禽流感病毒的人群感染的数学模型.文献4讨论了媒体报道对禽流感传播的影响.文献9考虑了非光滑媒体因子函数，得到了模型的全局性态.文献10-13考虑媒体报道对一般疾病传播的影响.文献14-17考虑了饱和治疗率和非线性发生率对疾病传播的影响.本文在此基础上，结合禽流感传播的特性，假设人类易感者能被禽流感感染者感染，考虑带有媒体影响因子

8、的人与人之间相互传染的SI-SIR型禽流感模型.1模型的建立本文将禽类种群分成禽类易感者和禽类感染者,分别用Sfl（O，L（O表示其数量,Na（t）表示禽类总数，则有NQ）=Sd*）.再将人类分成易感者，感染者和恢复者,分别用Sz），L（z）,Rg）表示其数量,NZ）表示人类总数，则有N，z）=Sa（Q+LO）+RJQ.假设禽类与人类新出生和新迁入的种群均为易感者，分别设为Ha,Uh.建立媒体报道对人与人之间相互传染的SI-SIR禽流感的影响模型，即s：(t)=naBLS/asa,RDE+&a)L,sh(z)=nhsh(z)=nhBLS-1+。人fS(1)i+时方其中仇表示禽类易感者与

9、禽类感染者之间的传染率出a表示禽类的自然死亡率表示禽类的因病死亡率，凡表示人类易感者与禽类感染者之间的传染率，心表示人类易感者与人类感染者之间的传染率，内表示人类的自然死亡率，舞表示人类的因病死亡率，儿表示人类的恢复率9表示媒体影响因子.假定所有参数都是正常数.容易得出系统（1）有一个正向不变集O=,53阳NY-NY令，并且D对系统（1）的所有R*内的解都是吸引的.下面将在正向不变集中研究模型的动力学性态.2平衡点的存在性与稳定性先考虑如下的子系统(2)(2)JSa(?).UaB5“S“aSa,该系统有不变集Da=（Sq,Io）6Ri：Sa+Zfl,且对系统的所有解都是吸引的.令Ra=&quo

10、t;“（"a+力），则有如下结果.引理当<1,系统（2）仅存在无病平衡点号偿,0）；当Ra>l时，系统（2）存在无病平衡点e。和一个正平衡点*=（S；,I；）.其中S；=弓冬，1；=曳若戋.PaPaSa引理2成当R>1时，系统（2）的正平衡点广=（S；,1；）是全局渐近稳定的.由于系统（1）的前4个方程不含变量,因此可以先研究如下系统sa（）=napaiasapasa9LQ）=BaSa一（.Q+邕）L，(3)UhSh,<q'/八rrBA】aSh。h】hShSM=nh-TT+-ha3-Sb1+1+"h而Ra的性态可以由R'h（t）=7h

11、lh一gRh得到.系统（3）有正向不变集D】.故可以在区域。】内考虑系统（3）的动力学性质.nhahMafhI令系统（3）方程的右端为零，可以求得系统的平衡点.令R。入+会*7hy定理1系统（3）总有无病平衡点E；=定理1系统（3）总有无病平衡点E；=压,0,虫,0）,当火。>1时,系统还存在一个边界平衡点E】*Ma4/Yl（1+）（四+为+>；,）UhhS；=（S；"0,S；,1后），其中S*=二,S3=!,1*=，这个平衡点表明1111Pa1ah1GhSh在禽类种群中不再有感染者，但人类种群中还存在感染者.而当Ra>1时，易知系统（3）存在唯一的正平衡点玲=（S

12、：2，I：2，SL，I】2），其中乎+力广兀一Oh%K9一.S"，&_l+«+l+虫E证明系统（3）的平衡点E*=（S；J：,S；J；）满足方程0=丑，b：s：-as：,o=pj;s：一3+处）1；,Eh(4)m口队I：s;a；s；°=瓦-旅7?-击7?nPhiaShaj；Sh（ak7#由式（4）计算可知系统（3）总有无病平衡点=由式（4）计算可知系统（3）总有无病平衡点=久,0,也,0）.而当Ra>1时，由式（4）的前两式知禽类系统有正平衡点"T,_瓦一“特电L,电=一您faPhfPa代入式（4）后两式得到S；,K满足方程组队ahI：S；

13、(5)TTk_击订=。，Bhl：2Sia，S；、IUf+ef一以方+邕+>Q"=o由方程（5）第1式得nhSh=队1：2队关1耳无iM/F伊将其带入第2式整理得。1（1；）2+已21；+。3=。其中Q=（。内+叩人）（人+$A+>）g2=队1：2（h+'h+儿）+#AahUh9a3=队】：2BUz=队1云（lnA）.由于们0,知V0,则方程（5）有且仅有一个整根，故此时系统（3）存在唯一的正平衡点E；=（S：29I；2，S；2，1；2），得证.定理2当Ra<1且Ro<1时，系统（3）的无病平衡点E；在区域玖内是全局渐近稳定的；当乩>1或R。>

14、;1时，是不稳定的.证明先证E；的局部稳定性系统（3）在无病平衡点E；处的Jacobi矩阵为J(Ej)=y«L。遥.aMa000（二。+鱼）000一,ham00亚一E+富AhAhA+)1=a，义21=a，义2PattaPa8"义3=fh9ahH-h._.4=（久人+8人+>/.）P"aP"h当RaVI且R。V1时,特征根均为负，所以EJ是局部渐近稳定的；当Rq>1或R。>1时，如>o或A4<0至少有一个特征根为正，故是不稳定的.其特征根为再证明无病平衡点E。的全局稳定性.当RV时，即有S.=°'系统的极限系

15、统为(6)(6)a人1hSh+*+>a)Ia.1十方显然，（*2）为该系统的无病平衡点，又D2=（SL）为其正向不变集.令L=琮，则当R。VI时,ahihUhahihUhL，=凸岭_（办+邕*儿云一（协十外*儿）七=R。S+&+Ei+儿当且仅当Ih=0时等号成立.又D3=（SIJ6D2Ih=0）是系统（6）的最大正不变子集，则由LaSalle不变原理知，当Ro<l,Ej是全局渐近稳定的.定理3当Ra<l且Ro>1时，系统（3）的平衡点E；=（S,0,S；】）在区域D】内是全局渐近稳定的；当乩>1且火。>1时,玲=（S；1,0,S；1,/；1）是不稳定

16、的.证明先证E：的局部稳定性.系统（3）在平衡点E；处的的Jacobi矩阵为其特征根房=其特征根房=Q2Pa000匹一（化+邕）00Pa心ag1+心亍+心E1+。1寿0心-1AT#si;】T1.T»次;1(A»+M+7人)，T»J(E：)=满足方程V+q=O.其中hlhlhlP-a一8。，义34Ma。（必力+）力+7力）+。为1嘉P=1+©ah（产h+笊+人）（1；】）2+（Q为）叮看S：1叩hl，3h+h+7a）Aq=（I+y+rTTr?；°则人3,义4的实部必为负，而当乩VI且R。1时Mi0,A20,所以Ej是局部渐近稳定的；当七1,R&#

17、176;1时，有义2。，故Ej是不稳定的.下证当乩1且R。1时，平衡点E：是全局渐近稳定的.选取Lyapunov函数V=Ia，则Vf=PaIaSa一E+"）L（乩一1）吗V0,由LaSalle不变原理网可知，当RV1且R。1时,E：是全局渐近稳定的.定理4当Ra1时，系统（3）的平衡点E；全局渐近稳定的.证明系统（1）的子系统js：（?）naBLS。一/qS。,一（#“+邕）吗，由引理1知1时，该子系统的正平衡点=（S；,1；）是全局渐近稳定的，即limSfl（«）=S：JimZa（）=8P一8故可得系统（1）的极限子系统BaaSa=%(R_)=,队1，ShI；（Q一（久+

18、为+儿）九4G（S.，L）.aJhShgShAH(Sa,1h)(7)1+笊入1+人选取Dulac函数为B='兰冬则有3(BH)|3(BG)BhEH二=7S.h心vo.1+olhdSh'3IhIh"nrnlh（I】故系统（5）在其最大不变集上无环，系统（5）的平衡点只要存在就全局渐近稳定.再由极限系统理论可知，系统（3）的平衡点E须全局渐近稳定.3结束语讨论了有媒体影响因子的人与人之间相互传染的SI-SIR型禽流感模型.分析得到两个阈值，禽类阈值Ra和人类阈值.当1且火。1,无病平衡点是全局渐近稳定的，表示禽流感在人群与禽类种群中都不会流行而且最终将消失；当RaVI且R

19、ol时，系统还存在平衡点，且该平衡点是全局渐近稳定的，而无病平衡点是不稳定的，即表示无论是禽类患者还是人类患者，如果患者在其患病周期内传染的人数大于1,则虽然禽流感最终将在禽类种群中消失，但却会在人类种群中流行；当R。1时，平衡点是全局渐近稳定的，说明疾病将会在人类种群与禽类种群中流行且最终稳定在平衡点所以，要避免疾病在人类种群中流行，除了降低夕卜，还必须降低R。，即要降低禽类易感者与禽类感染者之间的接触率，以及人类易感者与人类感染者之间的接触率，即降低的值，也可通过宰杀禽类感染者.此外，还可以通过提高医疗水平，从而提高治愈率，另外健康的生活方式，良好的生活习惯，及时的信息获取，必要的预防接种

20、均可有效降低感染率.参考文献(References):1 CUIJA,SUNYH,ZHUHP.TheimpactofmediaonthecontrolofinfectiousdiseasesJ.JournalofDynamicsandDifferentialEquations2008,20(1)：31-53.2 IWAMIS,TAKEUCHIY,LIUXN.Avian-humaninfluenzaepidemicmodelEJU.MathematicalBiosciences,2007,207殷其琴，冯光庭，张兴安.两类禽流感模型的动力学分析J.应用数学,2015,28(3):481-489.

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