解析几何存在性问题(含答案)

1、.解析几何存在性问题1、已知椭圆 C : x2y21(ab 0)的离心率为6，过 C的左焦点 F 的直线 l : xy 2 0 被圆1b2e11a23C2 : ( x 3)2( y3)2r 2 (r0) 截得的弦长为 22 .（ ）求椭圆 C1 的方程；（ ）设 C1 的右焦点为 F2 ，在圆 C2 上是否存在点P ，满足 PF1a 2b2 PF2 ,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由 .解 ：（ 1）因为直线l的方程为 l : xy20 ，令 y0，得x2，即F1 (分2,0) 1 c2，又 ec6 ，a26， b2 a2c22a3 椭圆 C1 的方程为 C1

2、 : x2y21 . 分622（ 2）存在点 P，满足 PF1a2PF2b 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x y20 的距离为 d3322 ，2又直线 l : xy20被圆 C2 : x2y26x 6 y3m10截得的弦长为 22 ，由垂径定理得 rd 2( l )2222 ，2故圆C2的方程为C: (x3)2( y3)24 分2.2设圆 C2 上存在点 P(x, y) ，满足 PF1a2 PF2 即 PF13 PF2，且 F1, F2 的坐标为 F1(2,0), F2 (2,0) ，b则 ( x 2)2y23 ( x 2)2y2 ，整理得 (x5)2y29，它表示圆心在C ( 5

3、,0) ，半径是3 的圆。2422 CC2(35)2(30)237 分22故有23CC223 ，即圆 C 与圆 C2 相交，有两个公共点。22P ，满足 PF1a2圆 C2 上存在两个不同点b2 PF2. 分Word 资料 .2、平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2y 21（ ab06，焦点为 F1 、 F2 ，直线 l ：b 2）的离心率为a 23x y2 0 经过焦点 F2 ，并与相交于 A、 B两点 求的方程； 在上是否存在 C 、 D 两点，满足 CD / AB ， F1CF1 D ？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由解 ：依题意 F2 (2 ,0) ， c 22 分，由

4、ec663 分a得 a3ba 2c 22 ，椭圆的方程为 x 2y 214 分62 （方法一） 若存在满足条件的直线CD， CD / AB ， kCD k AB1 ，设直线 CD 的方程为y x m5 分由x 2y 216分，得x23(x) 2607分62myxm4x 26mx(3m 26)0，(6m)244(3m 26)9612m20 （*）设 C (x1 , y1 ) ， D (x2 , y2 ) ，则 x1x23m3m262， x1x249 分1由已知 F1CF1 D ，若线段 CD 的中点为 E ，则 F1ECD ， kF1E110分kCDy2 ) 即 E(3m ,m ) ，由 kF1

5、 EmF1 (2 , 0) ， E ( x1 x2,y141 ，解得 m413分22443m2m4时， 9612m24CD14960 ，与（ *）矛盾， 不存在满足条件的直线分（方法二） 假设存在 C ( x1 ,y1 ) ，D (x2 ,y2 ) ，线段 CD 的中点为 E(x0 ,y0 ) ，则 x0x1x2, y0y 1y2，y1y215 分22x1x2x12y1216211由x2 )( x1x2 )y2 )07分，22两式相减得：(x1( y1 y2 )( y1x2y216262代入、化简得：1 x0y00由已知 F1CF1D ，则 F1ECD ， kF1E119 分3kCD由 kF1

6、Ey01得， y0x02 ， 由 解得 x03,y01，即 E( 3, 1)11 分x02x 2y 21得 4x2直线 CD 的方程为： y( x4) ，联立6224 x42013分y x 4 24 2 4 4 4296 0 ，方程（组）无解， 不存在满足条件的直线 CD14 分Word 资料 .3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 M(1, 3)、N(5,1),若点C满足OC tOM(1t )ON (tR), 点 C 的轨迹与抛物线： y 24x 交于 A、 B 两点(1)求证： OAOB ；(2)在 x 轴上是否存在一点P( m,0), 使得过点 P 直线交抛物线于D、 E 两点

7、，并以该弦DE 为直径的圆都过原点 , 若存在，请求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由解： (1)由 OCt OM(1t)ON (tR) 知点 C 的轨迹是 M 、N 两点所在的直线，故点 C 的轨迹方程是y31( 3)(x1) , 即 yx44yx4( x 4)24xx212x160x1 x216 , x1x2 12由4xy2yy( x14)( x24)x1x24( x1x2 )1616x1 x2y1 y20,故OAOB.6 分(2) 法一：存在点 P(4,0), 满足条件。证明如下：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，设弦所在的直线方程为：xky4 代入 y2x 得 y24k

8、y160y1y2 4k ， y1 y216 , kOA kOBy1y2y1y21616x1x222y1 y21y1y21644OA OB,故以 AB 为直径的圆都过原点.10 分法二：若存在这样的点P 满足条件，设 D ( x1 , y1), E( x2 , y2 ) .则有 x1x2 y1 y2 0 得 y1 y216, 又 PD( x1m, y1 ),PE( x2m, y2 ),由 D、P、E三点共线可得 (x1m, y1 ) y2(x2 m, y2) y1(m4)(y1y2 ) 0当 y1y2 时， m 4,此时 P(4,0), 可验证当 P(4,0)且 y1y2 时也符合条件，所以存在

9、点 P(4,0) 满足条件 .设弦 AB 的中点为 M ( x, y)则 x1 ( x1x2 ) ， y1 ( y1y2 )22x1x2 ky14 ky24 k ( y1 y2 ) 8 k (4k ) 8 4k 28 弦x2k24，消去 k 得 y22x8.AB 的中点 M 的轨迹方程为：2kyWord 资料 .4、如图（ 6 ），设点 F1 ( c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆 C : x 2y 21(a 1)uuuruuura 2的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且PF1PF2最小值为 0（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）若动直线 l1, l2 均与椭圆 C 相切，且

10、l1 / l2 ，试探究在 x 轴上是否存在定点B ，点 B 到 l1 ,l 2 的距离之积恒为 1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）设 P( x, y) ，则有 F1 P( xc, y) ， F2 P(xc, y) -1分PF1 PF2x 2y 2c2a 21 x21 c2 , xa, a -2分uuuruuura 2由 PF1PF2最小值为 0得 1c20c 1a 22，-3分椭圆 C 的方程为 x 2y 21 -4分2（ 2）当直线 l1, l 2 斜率存在时，设其方程为ykxm, ykxn -5分把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 2k 2 ) x2 4mk

11、x 2m2 2 0直线 l1 与椭圆 C 相切，16k 2m24(12k 2 )(2 m22)0 ，化简得m212k 2同理， n212k2 -8分 m2n2 ，若 m n ，则 l1 ,l 2 重合，不合题意，mn -9分设在 x 轴上存在点 B(t,0)，点 B 到直线 l1 ,l 2 的距离之积为1 ，则| kt m | | kt m | 1，即 | k 2t 2m2 | k 21， -10分k 21k21把 12k2m2 代入并去绝对值整理，k 2 (t 23) 2 或者 k2 (t 2 1) 0前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R 恒成立则t 21 0，解得t1；-12分当直

12、线 l1, l2 斜率不存在时，其方程为x2 和 x2 ， -13分定点 (1,0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为(21)(2 1)1；定点 (1,0)到直线 l1 ,l2 的距离之积为 (21)( 21)1 ；综上所述，满足题意的定点B 为 (1,0)或 (1,0) -14分Word 资料 .5C: x2y21, 3221 a b0F11,0 F21,0ab2x0 , y0CF21 C2yx031PF1PF22a1323232a21125421 12222a2c1b2a2c23.3x2y214C342M (x0, y0 ) ydx0Mrx02y021M yrdx02y02x01y02

13、2x010.6Q MCy0233 x02443x028x01604x0.8432,4).9Q2x0 22x0M333N : x12y216MNF1C4.12MF1MF22a4MF14 MF2NM.14Word 资料 .6、已知椭圆 C1 的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1 (2,0) ， F22, 0，点 A(2, 3) 在椭圆 C1上，过点 A 的直线 L 与抛物线 C2: x24 y 交于 B, C 两点，抛物线 C2 在点 B, C 处的切线分别为 l1, l2，且 l1 与 l2交于点 P.(1) 求椭圆 C1 的方程；(2) 是否存在满足PF1PF2AF1AF2的点 P?若存在，指

14、出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标） ; 若不存在，说明理由 .（ 1）椭圆 C1 的方程为x2y21 .3 分1612(2)解法 1 ：设点 B(x1 , 1 x12 ) , C ( x2 ,1 x22 ) ，则 BC ( x2x1 , 1 ( x22x12 ) ，BA(2 x1 ,31 x12 ) ，4uuur444uuur A,B,C 三点共线 ,（ BC /BA .4 分 xx31x21x2x22x,化简得： 2( x1x2 )x1 x212 .5 分21414211由 x24 y即 y1 x2 , 得y1 x .6 分,42抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y

15、1x12x1(xx1 ) ，即 yx1 x1x12.4224同理，抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为yx2x1x22.8 分24设点 P( x, y) ，由得：x1 x1 x12x2x1 x22，而 x1x2 ，则 x1 ( x1x2 ) .9 分24242代入得y1 x1 x2 ，则 2xx1x2 ， 4 yx1 x2 代入 4得 4x4y12 ，即点 P 的轨迹方程为yx3.11 分若 PF1PF2AF1AF2，则点 P 在椭圆 C1 上，而点P 又在直线 yx 3 上，12分直线 yx3经过椭圆 C1 一点(3,0),直线 yx3与椭圆 C1 交于两点 .13 分满足条件P

16、F1PF2AF1AF2的点 P有两个.14 分解法 2：设点B( 1 ,y1 ) ,C ( x2, y2)， P( x0 , y0 ) ，由 x24 y ,即 y1x2 , 得y1 x .4 分x42Word 资料 .抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 yy1x1( xx1 ) ，即 yx1xy11x12.5 分222 y11x12 ， yx1xy1. 点 P(x0 , y0 ) 在切线 l1 上 , y0x1x0y1 . 6 分422同理， y0x2x0y2 .综合、得，点 B(x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程y0xx0y .22经过 B(x1

17、, y1 ), C( x2 , y2 ) 的直线是唯一的，直线L 的方程为 y0x x0y ，9 分2点A(2,3)在直线 L 上， y0x03 .点 P 的轨迹方程为yx3 .11 分若 PF1PF2AF1 AF2，则点 P 在椭圆 C1 上，又在直线yx3上， 12 分直线 yx3经过椭圆 C1 一点(3,0),直线 yx3 与椭圆 C1 交于两点 .13 分满足条件PF1PF2AF1AF2的点 P有两个.14分解法 3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为 ykx23 ，ykx23,4kx8k120 .4分由4y,消去 y ，得 x2x2设B x1则xx24k, x x28k12.

18、5分, y1 , C x2 , y2 ,11由 x24 y ,即 y1 x2 , 得 y1x .6 分42抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 yy1x1( xx1 ) ，即 yx1xy11222x1 . 7分2 y112， yx1x12C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 yx2x12x12x1 . 同理 ,得抛物线24x2 .44x112xx2yxx1 ,x12k,由24解得2 P 2k, 2k3 .10 分x212,yx1 x22k3.y2x4x2422 PF1PF2AF1AF2,点 P在椭圆 C1 :xy1 上 .11 分1612222k2k1231化简得 7k 212

19、k30 .(*)由1224732280 ,16可得方程 (*)有两个不等的实数根 .满足条件的点 P 有两个 .14 分Word 资料 .7、已知双曲线C的焦点分别为F1 (22,0), F2 (22,0) ,C经过点 P(42,2 7).且双曲线（1 ）求双曲线 C 的方程；（2 ）设 O 为坐标原点，若点 A 在双曲线 C 上，点 B 在直线 xuuur uuur0 ，是否存在以点2 上，且 OA OBO 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.解 ：（ 1）解法一：依题意知双曲线C 的焦点在 x 轴，设其方程为x2y 21.( a0,b0)a2b2点

20、 P(42, 27)在双曲线 C 上， 2a|PF1|PF2|(62) 2(27) 2(22) 2(27) 24 a2-3分又 c2 2 ， b2c2a24 ， 所求双曲线 C 的方程为 x2y21. -4分44解法二：依题意知双曲线x2y21.( a0, b0)-1分C 的焦点在 x 轴，设其方程为2b2a点 P(42, 27)在双曲线 C 上，32 281，-又 b28 a2 ， -a2b2 代入 去分母整理得： a468a23280 ，又 a c ，解得 a24, b24-3分 所求双曲线 C 的方程为x2y21.-4分44(2) 设点 A， B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) ， (2, t ) ，其中 x02或 x02.-5分当 y0t 时，直线 AB 的