第7章电路的拉普拉斯变换分析

1、主编斯变换的基本性质 7.3 拉斯反变换 7.4 复频域电路 7.5 电路的拉斯变换分析法 东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询7.2拉7.1 拉斯变换的定义第7章 电路的拉斯变换分析法拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性微分方程的工具。拉氏正变换设一个变量t的函数f(t)，在任意区间能够满足条件（一般电子技术中处理的函数都满足这一条件）f (t ) = 0¥t <0t ³ 0òf (t)e -st dt为有限值0S =s + jws > 0下线 0- 后面讨论中写成0数。f(t)：原函数；F(S)：f(t)的7.1 拉&

2、#165;-stF (s) = ò0f (t)edt-拉氏正变换斯变换的定义用定义求f(t)数。其中a为实数，且a>0。例f (t) = eate (t)根据拉氏变换的定义解¥=òf (t)e-st dtF (s)0-( s-a )t e- (s - a)¥¥=e edt =dt =òòat-st-( s-a )t¥0-e0-0-1因为s = s + jw=1- lime-( s-a )t -( s-a)t= 0lim es - at®¥t ®¥= lim e-(s -

3、a ) t e- jwtt®¥(s > a)1=s - a=0(s > a)s > a称为收敛域东南大学电气学院详见：网学天地（拉氏反变换由F(s)到f(t)的变换称为拉，由网学天地独家制作！）；咨询斯反变换，简称拉氏反变换ds拉氏变换对F(f ()t拉氏正变换s) 拉氏反变换工程中常见的函数(除少数例外)有下列两类:(1) t的指数函数；(2) t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正弦函数、衰减正弦函数等，这两类函数导出。下面来讨论一些常见函数的拉斯变换)s= L( ft )=L -1F(f ( t )= 1 òs+j ¥ s(

4、)estF2pj s-j ¥ea te (t )由定义可得的拉斯变换为由此可导出一些常用函数的变换 ：t >t <)= 1ì00阶跃函数e ( t )1、e( tí0îa=0F (s) = 1s - a东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询Le (t ) = 1sF (s) =1s - a7.1.1 指数函数ea te (t ) (a为常数)2、正弦函数 sin w t e ( t )1 ( t j w t-ej w t )sin we=-2j 故有ìü()e ( )1sitnw( ) =ewet-

5、 wj-jtLtLetíýî2jþ1 æöw1-wj1=ç-÷ =2çjs÷w s+ j+ ws22èøL东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询sinw et ( )t=ws2+ w 23、余弦函数 cos w t e ( t )coswe = 1 ( tjw t+ e- j w t )2故有et ( ) = L ì1 (j)e ( )ücotswwetwj+-tLetí2ýîþ1 æ

6、;ö1-wj1sç÷ =+2 çs÷w s+ j+ ws22èøL东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询cowset ( )t=ss2+ w 2(t)e -a t sin we4、衰减正弦函数sinwt = 1éëe-(a - j w )t- e-(a + j w )t ùûe-a t2j 1 11(s + a) + jw故有Le-at sin wt =-2 j (s + a) - jww(s + a)2 + w 2=(t)e -a t coswe5、衰减余弦函

7、数与衰减正弦函数相类似可得Le-a t coswte (t ) =s + a(s + a )2 + w 2Le- at sin wt =w(s + a)2 + w 26、双曲线正弦函数 sh bt e ( t )sh b t = 1 (eb t- e- b t )2故有7、双曲线余弦函数 ch bt e ( t )与双曲线正弦函数相类似可得Lch b te (t ) =ss2 - b 2Lshb te (t ) =bs2 - b 2由定义可得 tne (t )的拉斯变换为¥( )òu = tn ,dv = e-st dtL t e t=n- stntedt设0则¥

8、¥òòt edt =n- studv00亦即¥0¥ò= uv-udv0¥ + nn= - te¥ò- stn-1- sttedt0ss0ns¥òn-1- st=tedt0Ltne (t ) = n Ltn-1e (t )s7.1.2 t的正幂函数 tne (t ) (n为正整数依次类推，则得Ltne (t ) = n Ltn-1e (t ) = n n - 1 Ltn-2e (t )sss= n n - 1 n - 2 L2 1 1 =n!sn+1ssss s s当n=1时，有L东南大

9、学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询te(t)=1s 2Ltne (t ) = n Ltn-1e (t )s 7.1.3 冲激函数 A d（t） 冲激函数的定义¥-¥d t ft d t = f (0)( )( )ò¥( )( )ò可得d td t e- st=d t =Ae= A0L AA0冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：对于书中表7 -1给出了一些常见函数的拉斯变换东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询L d ( t ) = 1东南大学电气学院详见：网学天地（）；咨询拉氏变换法的实质就是将微

10、分方程经数学变换转变成代数方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。拉氏变换法的优点：（1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对 于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；（2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。，由网学天地独家制作！斯变换的基本性质拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便地求出一些较为复杂函数的数，同时通过这些基本性质可以将电路在时域内的线性常微分

11、方程变换为复频域内的线性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。LL若 f1(t)F1(s)f2(t)F2(s)La f (t) + aa F (s) + a F (s)f (t)则11221122a1，a2为任意常数7.2拉7.2.1 线性特性东南大学电气学院详见：网学天地（）；咨询证明t¥¥¥t e1t2 ( f)òed = òaò1(d ) ± t- st- std± t- st1t 1 ( f)et2f( ) faaa220-0-0-=F 1± 2aa(1s)2 (F)s例=) ea+1tba2et

12、求函数的数ft (解Lbt e = 1b(t=)+saeta fL12s-a1a2L若 f (t)则 f1(at)F (s)1 F(asaLa为大于零的实数)7.2.2 尺度变换，由网学天地独家制作！东南大学电气学院详见：网学天地（）；咨询证明fsdat- at a¥¥) =fòòe-st)=Lat(at(dt() fat ae00令x=ats1d=x1 F( s¥- xe) aòat)=Lf (f ax()aa0L若 f (t)F (s)Ls ) - set0f ( t -F (t )- t0) e( -tf ( tt )00f (

13、 t -0t )f(t-t0)f(t)t00tt07.2.3 时间变换，由网学天地独家制作！¥¥-stf (t - t )e-st dt =f (t - t )edtò0òtL f (t - t) =证明0000x = t - t0t = x + t0dt = dx令则t0 为常数¥L f (t - t0 ) = ò f (x)ee0 dx = F (s)e0-sx-st-st0例求图中所示的锯齿波的拉斯变换fa (t)f ( t)E=解t0tT0tfc (t)(t )fT+bT+t00-Ef (t ) = fa (t ) + fb

14、(t ) + fc(t )Ef (t ) = E te (t )L f(t ) =aTs2aTL f (t ) = - E e-sTf (t ) = -Ee (t - T )bbsEL f(t ) = -f (t ) = - E (t - T )e (t - T )e- sTcTs2cT由线性性质L f (t ) = L fa(t )+ L fb (t )+ L fc(t )E- E e- sTsEe- sT=-Ts2ETs2()éù=1- Ts +1 e- stëûTs2时间平移特性还可以用来求取有始周期函数(t0时呈现周期性的函数 ,在t0范围函数值

15、为零)的拉斯变换f (t)为有始周期函数，其周期为T， f 1(t)、 f 2(t) 分别表示函数的第一周期，第二周期，的函数f (t ) = f1 (t ) + f2 (t ) + f3 (t ) +L由于是周期函数，因此 f，2(t)可看成是 f 1(t)延时一个周期的， f 3(t)可看成是 f类推则有1(t)延时二个周期的，依此(f ) =t 1( ) +f1 (tT) +1 ( f- 2 t ) +L T-ft东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询L f(t ) = F (s)根据平移特性，若11( )()()()则- sT- 2 sTLft=Fs + Fs

16、e+LF1 (s)Fs e111()é- sT + e- 2 sT+L ù = Fs1 + eëû11 - e- sTf (t)为有始周期函数，其周期为T，拉斯变换等于第一周期单个函数的拉斯变换乘以周期因子11- e- sT斯变换求图中半波正弦函数的拉例f (t)ET25 T2tT2 T302 T先求第一个半波f1(t)的拉斯变换解f 1(t)f1 (t ) = f1 a (t ) + f1 b (t )t0= E sinwte (t ) + E sinw æ t - T öe æ t - T ö|ç2

17、÷ç2 ÷èøèøf 1a(t)有始正弦函数的拉斯变换为wLsinw te (t ) =T2Tt0+ w 2s2+故根据时间平移特性可得f 1b(t)ET2T T 23T2t0东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询ET3T22EL f1 (t ) = L f1a (t )+ L f1b(t )EwEwEwéù- sT- sT=+=ê1+ ee22ús + ws + ws + w222222ëû半波正弦周期函数的拉斯变换为- sTL f (t

18、) = Ew1 + e= Ew 12+ w 2 1 - e-sT+ w 2- sT2s2s21 - e东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询L若 f (t)F (s)则L f (t)e -s0t = F (s - s )0证明¥¥òòf (t)e-(s-s0 )t dt = F (s - s )0L f (t)e =f (t)eedt =-sts ts t0000L若 f (t)f '(t)F (s)sF (s) - f (0- )L则证明df (t)dtdf (t) e-st dt dt¥òL f &

19、#39;(t) = L =0-7.2.5 时域微分特性7.2.4 频率平移特性L由上式应用分部法，有f Ldf ()t¥+fòt (- st¥0-st-¥=dt =+stte()se )(f)te()sFs0dt-0-est)=式中-) sf (t)0®¥t=于是可得L' f(t)sF(- ( f 0应用上式的结果可得L f ¢ ¢f t( =t ) d¢sL = f(t¢)¢ (sf-¢ (- f=0s)2F-() L(s)0)f(-dt依此类推，可得¢

20、s - - (Lf 0 -f(nF )s - n-1 s ()n-2)n-(1)0=s-0f-)t(n )Lf ()'f (t )=df ()tò¥df ()t -stL =edtdt0-dt如果f(t)及其各阶导数的初值为零。则上式变为L f ' (t) = sF (s)L f ¢ (t) = s 2 F (s)¼¼¼¼L f (n) (t) = sn F (s)例若电容元件C的端电压uC(t)的拉氏变换式为UC(s)求电容C中电流的应用微分性质数IC(s)。解duC (t) =CsUC(s)- uC(0-

21、)= CsUC(s)- CuC(0-)IC(s)=LiC(t)=LCdt如果C的端电压初始值uC(0-)=0则有IC(s) = CsUC(s)L f (n) (t) = sn F (s) - sn-1 f (0- ) - sn-2 f ¢(0- ) -L - f (n-1) (0- ) 7.2.6 时域微分特性 f (t )dt = F (s)tòLL若 f (t)F (s)则s0¥ttLf (t )dt = ò0 òòf (t )dt edt-st证明00对上式进行分部，得¥e- st¥ 1¥tttLf

22、 (t )dt = ò0 f (t )dt edt = -òòò+ ò00f (t )dt-st-stf (t)edtss000=0则F (s)tòLf (t )dt =s0区间不由0开始而是由-开始如函数的t0t()()f (t ) dtòòòftdt =ftdt +则因为-¥-¥0故有0f (t )dtò( )F sst-¥()òft dt=-¥ +Ls同前面样，此处的0意味着0-将性质广到多重L( )F s s2tt()ò

23、2;fl d l dt=则有00书中表7 2列出了拉斯变换的基本性质。东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询利用拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必须返回时域，就是说还要进行拉斯反变换。求拉氏反变换最简单的方法是氏变换表因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切函数都包括在内。因此，下面分式法。一种基本的方法，部分东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询7.3拉斯反变换利用拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的数一般都是s的实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比，即b+a式中的诸系数an , bn 都是实数，m、n都是正整数。如m

24、n时，可以将假分式可分解为多项式与真分式之和。N(S)=0的根被称为F(S)的零点；D(S)=0的根被称为F(S)的极点。为了分解F(s)为部分分式，只需讨论D(s)=0的根。东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询N (s)bs+ m bsm-1+L+ bs + F (=s)=mm-11 0Ds(s)+ a nsn+-1 asn-2 +L+ asn-1n-210因D(s)是s的n次多项式，故可分解因式如下D(s )ss)由于D(s)无重根，故sn都不相等， F(S)写成部分分式的形式为A1，A2，. Ak. An为待定系数，称为F(s)在各极点处的留数。Ak 如何确定？

25、东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询F (s)=A1+A2+L+ Ak+L+ Ans - 1ss - s2s - sks - sn( s=s- )1(s -2s )L-( skL s) -n(7.3.1D(s)=0均为单根，即无重根的情况（设m<n）将等式的两边乘以(s-sk)A1A2(s - sk )F (s) = (s - sk )+ (s - sk )+Ls - ss - s12AkAn+ (s - sk )+L + (s - sk )s - sA1s - sknA2= (s - sk )+ (s - sk )+Ls - ss - s12An+ Ak +L

26、 + (s - sk )s - ss = sn令kA= é N ( s ) ( s - s) ùkê D ( s )kúëû s = skF (s) =A1+A2+L +Ak+L +Ans - s1s - s2s - sks - sn在求出了部分分式的 Ak各值之后，就可以逐项对部分分式求拉氏反变换，得AkL-1=Asektk-sskF(s)的原函数为f0由此可见，数的拉氏反变换，可表示为若干指数函数项之和东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询( t ) =-L1 N (s) = Lå-1Ak=

27、29;s( -s N ( ) s)e stt³nnks = skD(s)k=1s - sk=1D(s)kk4s 2 + 11s + 10例1F (s) =求的原函数。2s 2 + 5s + 3首先将F(s)化为真分式解éêêùú4s2 + 11s + 10s + 4F (s)úê2 2 úë2 û将分母进行因式分解D s=s + 5 s + 3 ö = (s +1)æ s + 3 öæ()2ç2 ÷ç2 ÷

28、è2øèø将F(s)中的真分式写成部分分式éùú= 1 ês + 4A1A2+2s2 + 5s + 32 ê s +13 úêús +ë2 û求真分式中各部分分式的系数éùéùúú()éN s()A =s - sêD (s )11 ö)ëûs=sús +÷1ûøs=-1s=-1éù 

29、46;s +úú3 öA2 = -52 ÷æèø (s +1)ç s +ê÷ úêë2 ø úûs=- 3è2éùF (s) = 2 + 1 é 6 ù + 1 ê -5 ú于是F(s )可展开为2 ê3 ú2 êë s +1úûê s +úë2 û其原函数为ì

30、;ü- 5ì 4s2 + 11s + 10 üïïì 3üý = L-1 2 + L-1 í 2 L-1 í-+ L1ýí3 ý2s2 + 5s + 3î s + 1þîþï s +ïî2 þæö- 3 t5= 2d (t ) + ç 3e-t÷e (t )- e22èøt ³ 0注意：在对假分式进行反变换时，应首先将

31、假分式变为真分式，然后再进行部分分式分解。东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询s例求F (s)=的原函数。+2s+2s5解方法一先将分母分解因式由D()=s2+s+s 5= 0212得= (s 2-±(- 20) =)j-±4121 ,2是一对共轭复数= éùs1s+ 12- j 2ú=+j 2+jA()-1( 42)+s1ê1- 2js +j()(1)ëû=s= éùs1s+ 12+ j 2ú=-j 2-jA()-1( 24)+s1ê2- 2js

32、+j()(1)ëû=s东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询s*为一对共轭值， A1，A2则也必为共轭值，由于s=12所以A2可由A1直接求得。11+ j 1 () 2- j 1)(24于是+ 4F (s)=s+ 1- j 2 s+ 1+ j 2对上式逐项求反变换，并加以整理得1 (2 + j1)1 (2 - j1)s44L-1 = L-1+ L-1+ 2s + 5s +1- j2s +1+ j2s2= 1 (2 + j1)e+(-1+ j 2)t + (2 - j1)e+(-1- j 2)t 4= 1 e-t (2 cos 2t - sin 2t)

33、 2t ³ 0东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询方法二当D(s)为二次三项式，且D(s)=0的根为一对共轭复数时，还可以使用更简便的方法求原函数。即将分母配成 二项式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来考虑。sssF (s) =F(s)可配方为+ 2s + 5s + 1(s 2 + 2s + 1) + 4(s + 1)2+ 4s 2-1=-(s + 1)2 + 22(s + 1)2 + 22直接查阅拉斯变换表可得s + 11L-1F (s) = L-1-(s + 1)2 + 22(s + 1)2+ 22cos 2t - 1 e-t sin 2t= e-t2

34、= 1 e-t (2 cos 2t - sin 2t) 2t ³ 0计算步骤大为简化s + 3e-2sF (s) =s 2例求的原函数。+ 5s + 6解数F(s)不是有理函数，部分分式分解的方法无法直接应用，这时可先将F(s)改写成3e-2 ss-2sF (s) =s 2+ 5s + 6 + s 2+ 5s + 6 = F1 (s) + F2 (s)esF (s) =其中1s 2+ 5s + 6 3F (s) =2+ 5s + 6s 2分别都是有理函数，可用部分分式法分解(s)e-2 s 的原函数，就等于F2(s)的的结果。F根据时间平移性质可知原函数再平移2个时间2分别求F1(s

35、)，F2(s)的原函数- 2L +3 =(e )-1F(-13+e-3ts)=2-eLt ()1s + 2s+ 3- 33e )-1F (s)=-1L +(= 3e-2t-3e-3tLt ()2s + 2s+ 3于是可得东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询f (t)+ L-1s F( )= L-1F (s) =e (F ) s-2s 12= (-2e2t + 3t -3t )e (e)-+ 3( e2(t-2) - 3e-(3t 2) )e (t -)2t ³ 0设D(s)=0在s=s1处有p阶重根，这时可将F(s)写成下面的形式)s把F(s)展开成部分分式

36、A2，A3，. An-p 各留数仍可照无重根的情况求取东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询F (s)=A11+A12+A13+L(s -) s p(s - s )p-1s -(s p-2 )111+A1 p+A2+A3 +L+ An - p(s - 1s ) s - s2s - s3s - ns- pF (s)=N (s)s(-s) p Q(17.3.2D(s)=0的根有重根的情况（设m<n）(s - s )p令s=s1A11的求取，可将等式的两边乘以留数1A12、A13、. A1p各留数，不能再采用这种方法。因为这样将使导数分母中出现“0”值，而得不出结果。F

37、 (s) = (s - s ) p F (s)为此，引入辅助函数11于是F (s) = A+ A(s - s ) + A(s - s )2 +L + A(s - s ) p-1 +L1111211311 p1A= (s - s ) N (s)111D(s)s=s1F (s) =A11+A12+A13+L(s - s ) p(s - s ) p-1(s - s ) p-2 111+A1 p+A2+A3+L +An- p(s - s1 )s - s2s - s3s - sn- p¶F (s)对s微分得(s - s ) + . + A( p - 1)(s - s ) p-2= A+ 2 A

38、+ .1¶s121311 p1= ¶F1 (s)A显然12¶ss=s1d 21=2! ds 2同理A13F1 (s)s=s1依此类推，得一般形式为1d k -1A1k = (k -1)! dsk-1 F1 (s)s=s1F (s) = A+ A(s - s ) + A (s - s )2 +L + A(s - s ) p-1 +L1111211311 p1确定了系数，就可根据拉斯变换直接，求取原函数。-1 ìüA1kA1kk -1 stee(ý =Lt)tí因为1-k -1s )k()!(sîþ1所以F(

39、s)对应的原函数Let东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询-1 F()s=A11 tp-1es 1 te()t+A12 tp-2es 1 te()t+ L (p -1)!(p -2)!n - pA+ tes t(1 te ) +Ase1 te ( +t)ås i te(A)1( p- 1)1 pii=2s + 2F (s) =的原函数。例求s(s + 3)(s + 1)2D(s)=0有四个根，一个二重根s1= -1和s2=0，s3= -3 两个单根解s + 2A11A12+ A2A3故部分分式可表示为F (s) =+s(s + 2)(s + 1)2(s +

40、1)2s + 1s + 3s其中各待定系数分别确定如下s + 2s(s + 3) | s = -1= - 1A= F (s)(s +1)2 =112s=-1d s + 2A= d F (s)(s +1)2 =ds s(s + 3)12dss=-1s=-1= s(s + 3) - (s + 2)(2s + 3) = - 3s2 (s + 3)2 | s = -14s + 2)( s += 2=s =AF()ss+32(s=02 1) 3s=0=s + 21=)( s + s3=A( F)s+13=s3-(s2)12=s3- 1- 32 3s1故得s)=2+4+ 12F (s + 1 2 )s+

41、1+s 3L ( F) =取反变换得tsetet以上了用部分分式法求拉氏反变换的基本方法。在分析具体问题时，可根据F(s)的分母有无重根分别用前述两种方法求各极点的留数，只要这些留数一经求得，就能得出反变换。用拉氏变换分析电路暂态时可不必写出微分方程再进行变换，可先将时域电路变成复频域电路模型，再根据复频域电 路直接写出运算形式的电路方程，使计算过程更为简化。根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。在时域中，有u(t) = Ri(t)Ri(t)u (t)7.4.1 电阻元件7.4 复频域电路Lu(t) = U (s)Li(t) = I (s)设等式两边取拉氏变换，

42、得，RI(s)Ri(t)U(s)u (t)时域形式复频域形式U (s) = RI (s)u(t) = Ri(t) 7.4.2 电容元件 Ci(t)在时域中，有u(t)11t11Ctidt0- tid+ttòòòid òt(=t)= =(+u 0uid)C-CCCC-¥-¥00-u ( C t ) =令L CU(s)(it) =LI (s )对等式取拉氏变换并应用性质得)东南大学电气学院详见：网学天地（，由网学天地独家制作！）；咨询U(=s)1 I (s) +u(C0-CsCs容端电压的是电流的数（称象电压）由两部分组成：第一部分数（称

43、象电流）与运算形式的容抗（简言容抗）的积；第二部分相当于某阶跃电压的运算电压源。数，称为内电容C在复频域中串联形式的电路模型 1 sCuC(0-)sI(s)U(s)U(s) =1 I (s) + uC (0- )CsCs象电流也由两部分组成：第一部分是sC（称容纳）和象电压UC(s)的乘积；第二部分相当于某电流源的 数，称内运算电流源 。电容C在复频域中并联形式的电路模型sCI(s)CuC(0-)U(s)I (s) = sCUC (s) - CUC (0- )U(s) =1 I (s) + uC (0- )CsCsLi(t)di在时域中，有u(t) = Lu(t)dt令Lu (t)=U (s)

44、,Li(t)=I(s)，对上式取拉氏变换Li(0-)I(s)sLU(s)串联形式的电路模型1或sLI(s)Li(0- )sL内运算电压源感抗U(s)并联形式的电路模型iL (0- )内运算电流源s i(0-)sI (s) = 1 U (s) + i(0- )sLsU (s) = sLI (s) - Li(0- )7.4.3 电感元件在时域中，有i (t)i1(t)2di1 + M di2u= LM11dtdtu (t)u1(t)L1L22di2 + M di1u= L22dtdt耦合电感元件对等式两边取拉氏变换有U1 (s) = sL1 I1 (s) - L1i1 (0- ) + sMI 2 (s) - Mi2 (0- )U 2 (s) = sL2 I 2 (s) - L2 i2 (0- ) + sMI1 (s) - Mi1 (0- )复频域形式sMMi1 (0- )Mi2 (0- )I2(s)I1(s)互感运算阻抗sM附加的电压源sL1sL2U2(s)U (s)L i (0 )L i (0 )11 1-2 2-附加电压源的方向与电流i1、i2的参考方向有关。Mi1(0-)Mi (0 )2-7.4.4 互感元件线性受控源电路，在时域电路中满足u1=i1R