大雾第4章刚体力学

1、4.1 4.1 刚体运动学刚体运动学4.1.1 4.1.1 刚体刚体 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。变化的物体。 与质点相比，刚体模型突出物体的大小和形与质点相比，刚体模型突出物体的大小和形状，忽略形状和大小的变化，忽略物体内部各部状，忽略形状和大小的变化，忽略物体内部各部分之间的相对振动和形变。分之间的相对振动和形变。 换而言之，只讨论刚体的整体运动，不追究换而言之，只讨论刚体的整体运动，不追究它内部各部分之间的相互作用和运动。它内部各部分之间的相互作用和运动。4.1.2 刚体的平动和转动刚体的平动和转动 平动平动转动转动滚动滚动进动

2、进动)(t)()(tttt ddt dd刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动平面转动平面汽车直线运动汽车直线运动刚体定轴转动刚体定轴转动物理量物理量x(x, v, a )(, w, a )坐标系坐标系一维坐标一维坐标一维坐标一维坐标刚体定轴转动特点刚体定轴转动特点1)1)运动描述仅需一个坐标；运动描述仅需一个坐标；2)2)每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 3)3)任一质点运动的角量均相同，但线量不同。任一质点运动的角量均相同，但线量不同。刚体匀变速定轴转动刚体匀变速定轴转动质点匀变速直线运动质点匀变速直线运动at0vvt02021tt22022021at

3、txvxa2202vv2rararvnt)(t)(t求导求导求导求导积分积分积分积分)(tPz*OFdFrMsinMFrd4.2 4.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律4.2.1 4.2.1 力矩力矩rF)sin(dFtFrMtLMddtLMdd合外力对于转轴的合外力矩：合外力对于转轴的合外力矩：iMMiiiFrsin4.2.2 4.2.2 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 转动定律转动定律iOiiivrmLiOiiivrmL)(2iiirmLL质元的角动量：质元的角动量：刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量)(2iirmJLJJLJtJtLMdddd刚体定轴转动的转动定律刚

4、体定轴转动的转动定律4.2.3 4.2.3 转动惯量转动惯量)(2iirmJ1m2moo1r2rimir22222211NNiirmrmrmrmmRJdd22mRJ mRd2mrJd2ddRl ddRmdd3RJ d3RJ203dR32 R2mR圆环的转动惯量圆环的转动惯量OROR4032d2RrrJRr dr2/ Rmrrmd2drrmrJd2dd32圆盘的转动惯量圆盘的转动惯量221mRJ lO O20231dmlrrJlrd232/02121121d2mllrrJlrrrmrJddd22rd2l2lO Orlmrm/dd，细棒的转动惯量细棒的转动惯量mMla 思考：如图，子弹思考：如图，

5、子弹打入并停留在杆中后，打入并停留在杆中后，整体对于转轴的转动惯整体对于转轴的转动惯量为多少？量为多少？2231maMlJ22 2cos2iiiidrdrr22 22iiidxdrrCmx22 22iiiiiiidxmdmrmrm2mdJJC4.2.4 4.2.4 平行轴定理平行轴定理)(2)()()(22 2iiiiiiixmddmrmrm4.2.4 4.2.4 转动定律的应用转动定律的应用 例：细棒质量为例：细棒质量为 m m 长为长为 L L，在摩擦系，在摩擦系数为数为 的水平桌面上旋转，求它受到的摩的水平桌面上旋转，求它受到的摩擦力矩；假定初始角速度为擦力矩；假定初始角速度为 w0 w

6、0，问它转多，问它转多少周后停止转动。少周后停止转动。Oldlgmf)d(dlfMr dd dfrrMM d2LmglLmgdlglLmld02lmgMr为什么有这样好的一个结果？为什么有这样好的一个结果？lfMr dd 根据转动定律：根据转动定律：JM JMLg23可见转动为匀变速转动，有：可见转动为匀变速转动，有：t0gLt32002021tt转过的角度：转过的角度：gL320转过的周数：转过的周数：gLgLn6232020ABCAmBmCm 例：水平面光滑，绳索质量不计，圆例：水平面光滑，绳索质量不计，圆柱形滑轮半径为柱形滑轮半径为 R R，滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动，不计滑

7、轮与轴承间的摩擦力。求两物体的不计滑轮与轴承间的摩擦力。求两物体的线加速度，两段绳索的张力。线加速度，两段绳索的张力。ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解: :T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF 例：如图，水平轴光滑，最初棒在水例：如图，水平轴光滑，最初棒在水平位置，求棒在任意位置时的角加速度和平位置，求棒在任意位置时的角加速度和角速度、棒受轴的力的大小和方向。角速度、棒受轴的力的大小和方向。解：作用在棒上解：作用在棒上力有二

8、，只有重力有二，只有重力对转轴有力矩力对转轴有力矩gmxM)d(mxgdCmgxcos21mglM JMlg2cos3t ddt ddddddlg2cos3ddlg2cos300d2cos3dlglgsin3质心的加速度：质心的加速度：lglaglant2sin324cos322质心运动定理：质心运动定理：cos43cossin23sin21mgmaFmgmgmamgFtnsin251mgF cos412mgF 2221FFF1sin99412mg12arctanFFsin10cosarctan4.3 4.3 刚体定轴转动中的功和能刚体定轴转动中的功和能4.3.1 4.3.1 力矩的功力矩的功

9、rFAddrFdcosd)cos(rFddMA21dMA2)(21iiirm221JEk刚体的动能刚体的动能4.3.2 4.3.2 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能22)(21iikikrmEEJ221iikivmE2221iiirm21dMA21222121JJ12kkEEA4.3.3 4.3.3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 ddd21tJd21J4.3.4 4.3.4 刚体的重力势能刚体的重力势能iipghmEiihmgmhmhiicCpmghE 例：如图，水平轴光滑，最初棒在水例：如图，水平轴光滑，最初棒在水平位置，求棒在任意位置时的角加速度和平位置，求棒在任意位置

10、时的角加速度和角速度、棒受轴的力的大小和方向。角速度、棒受轴的力的大小和方向。解：重力矩解：重力矩cos21mglM sin3lg0dcos2glm0dMAsin2glm021sin22Jlmg刚体定轴转刚体定轴转动动能定理动动能定理sin3lgsin32lgtlgtddcos3dd2lgt2cos3dd再用机械能守恒定律求解：再用机械能守恒定律求解： 研究对象：杆与地球组成的系统，外力研究对象：杆与地球组成的系统，外力(轴对杆的作用力轴对杆的作用力)作功为零，只有保守内力作功为零，只有保守内力(重力重力)作功，机械能守恒。以杆在水平位置作功，机械能守恒。以杆在水平位置为重力势能的零点，有：为

11、重力势能的零点，有：sin22102lmgJsin3lg4.4 4.4 刚体定轴转动的角动量守恒刚体定轴转动的角动量守恒4.4.1 4.4.1 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理tJtLMdddddddJLtM122121ddJJJtMtt4.4.1 4.4.1 刚体刚体( (质点系质点系) )定轴转动的角动量守恒定定轴转动的角动量守恒定律律 刚体刚体( (质点系质点系) )对某一定轴所受的合外力矩为对某一定轴所受的合外力矩为零，则它对这一固定轴零，则它对这一固定轴的角动量保持不变。的角动量保持不变。1.1.地球自转地球自转2.2.茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳1221dJJtMtt

12、例：长例：长 l 质量质量 m 的匀质细杆的匀质细杆，可绕光滑轴，可绕光滑轴 O在铅直面内摆动。在铅直面内摆动。杆静止时，一质量为杆静止时，一质量为 m0 的子弹的子弹水平射入与轴相距为水平射入与轴相距为 a处的杆内并处的杆内并留在杆中，使杆能偏转到留在杆中，使杆能偏转到 q =300，求子弹的初速，求子弹的初速v0。avmL000JL 22031mlamJa0m解：解：avmJ00)2(2120lamgJE势能零点势能零点)cos2()cos1 (0lamggamEa0m由机械能守恒，由机械能守恒，E = E0 ，代入，代入 q =300，得：，得：)212()211 ()2(2102lam

13、ggamlamgJgammlammlamv)3)(2(6321202000将上式与将上式与 联立，代入联立，代入 J J 值，得：值，得：avmJ00例：一质量为例：一质量为M 半径为半径为R的的水平匀质圆盘，可绕通过中水平匀质圆盘，可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。心的光滑竖直轴自由转动。盘缘上站一质量为盘缘上站一质量为 m 的人的人，两者相对地面静止。当人，两者相对地面静止。当人在盘上绕边缘走一周时，盘在盘上绕边缘走一周时，盘对地面转多大的角度？对地面转多大的角度？ 解：盘和人组成系统。人走动解：盘和人组成系统。人走动时，系统所受竖直力矩为零，时，系统所受竖直力矩为零，系统对此轴的角动量守恒。系统对此轴的角动量守恒。 j j和和J J分别表示人和盘对轴的转分别表示人和盘对轴的转动惯量，动惯量，w w 和和 表示两者的表示两者的角速度，角速度， 和和 表示两者对表示两者对地的角位移，由角动量守恒有地的角位移，由角动量守恒有：0 Jj2221,mRJmRjttdd,ddtMRtmR