16嫣基于层次分析法的选拔与组队模型

1、（改动此页内容和格式。此承诺书打印签名后作为纸质的封面，注意论文中不得出现此页。以请仔细核对，如填写错误，可能被取消评奖资格。）- 2 -赛区评阅编号（由赛区填写）：2018 年高教社杯大学生数学建模竞赛编 号页赛区评阅（可供赛区评阅时使用）：送评阅统一编号（赛区填写）：评阅随机编号（填写）：（改动此页内容和格式。此编号页赛区和评阅使用，参赛队打印后装订到纸质的第二页上。注意中不得出现此页。）- 3 -评阅人备注基于层次分析法的选拔与组队模型摘要以选择队员参加大学生数学建模竞赛的组队问题为背景。现有 20 名队员准备参加竞赛根据队员的能力和水平要选出 18 名优秀队员分别组成 6 个队每个队

2、3 名队员去参加比赛选拔队员主要考虑 7 个依次递减的基本条件x1,.,x7 通过给出的每个队员基本条件量化后的数据，建立模型，分析、解决问题。问题一，需要从 20 名队员中选拔出综合实力最强的 18 名队员。基于 AHP 法构建层次分析模型，总共分为三层，即目标层 A、准则层 C、方案层 P。目标层 A 的目的是挑选队员，准则层 C 为 7 项基本条件，P 层为 20 名队员。首先，用标度法对 C 层、P 层中的元素进行两两比较后，在软件中转化为矩阵，这样就可以分别得出中同一层次元素对上一层次同一目标的影响，从而确定他们在目标中所占的比重。经验算，矩阵通过一致性检验，最终计算出每名队员每个条

3、件对目标选择的总权重，对基本条件求和可得每名队员的综合水准。经排序，去除综合实力最弱的 H、I 同学。问题二，要在参赛的 18 名队员中选拔 3 名队员组成一支最强的队伍。考虑 3 名队员之间取长补短，某一具体条件达到的最大效应取决于这一能力最强的队员，队伍的综合水平为组内各项条件最大值的和。利用 spss 对前项基本条件和与七项总和建立直线回归方程，结果显示回归方程有统计学意义，个人综合实力和前 3 项实力和有直线回归关系，作曲线关系，可查两者较强拟合。这一直线回归方程表示，定性分析排序队员的强弱时，剩下 4个条件可忽略不计。建立简化模型，对准则层只分析前 3 个基本条件 x1、x2、x3。

4、最后， 选择队员时选择前 3 项每项条件最强的队员，得出为队员 L、M、S。问题三，分别找到基本条件 x1,x2,x3 中元素按大小降序秩次为 1-5 的队员。由于x1 的权重最大，得到的 5 名队员全部保留，将 x1 中最强的 5 名成员分配到 5 个队伍group1.group5 中。逐次分析优化，使这三个指标中最大的前 5 个元素都能被保留。刚好，分配完以上这部分的队员，5 个队伍x1,x2,x3 三个基本条件的最大水平都已确定。剩下的队员随机分配填补空白赛水平，再求和。造成太大的失衡。计算整体竞赛水，先计算每个队伍的竞：层次分析法 直线回归 逐次分析优化 最优化 选拔4一、问题重述1.

5、1 背景资料与条件每年举办一次的大学生数学建模竞赛是一项以 3 人为一组的团体竞赛，所以每个学校都将一个分配问题，这包括如何选拔出最优秀的队员，再从学的组队，使全校参赛的所有队伍的整体水平达到最高。目前有 20 名队员准备参加竞赛, 需要根据队员的能力和水平选出 18 名优秀队员分别组成 6 个队。20 个队员有 7 项量化指标可考量，7 个指标间有重要程度的差别。1.2 需要解决的问题(1) 试建立合理的指标，量化分析各个队员的整体水平，选拔出综合实力最强的 18 名队员。(2) 分析影响一支队伍的整体水平的因素，并选出使队伍的综合实力最强的 3 名队员。(3) 分析影响使剩下的五支队伍整体

6、水平最强的因素，量化并每只队伍的综合实力。二、问题分析2.1 问题一的分析问题一要求从 20 名队员中综合实力最强的 18 名队员。我们可以利用 AHP 法构建层次分析模型，总共分为三层，即目标层 A、准则层 C、方案层 P。首先比较准则层 C 对目标层 A 的影响，得到两两矩阵。其次，在这一单一准则下计算元素相对权重，矩阵一致性检验。同理，计算方案层 P 对准则层 C 的元素相对权重。最后，结合以上两个队员，确定首选方案。权重，计算方案层各队员对目标层的组合权重，排序选拔优秀2.2 问题二的分析本题需要从剩下的 18 个人中挑选 3 名队员，组成一支最强的队伍，这个队伍的综合实力达到最大。剖

7、析队伍的综合实力，队伍的综合实力由 7 个量化指标相加而来;次之，考虑 3名队员之间取长补短，某一具体能力达到的最大效应取决于这一能力最强的队员。简化 7 个量化指标，取队员前 3 个最重要的能力之和 sum3 和 7 项能力总和 sum7，利用 spss 建立直线回归方程，探索 sum3、sum7 是否直线回归关系，结果为回归方程有统计学意义，个人综合实力和前 3 项实力和有直线回归关系，并由较强拟合。前三项综合实力越强，总体综合实力越强。剩下 4 项的指标的权重足够低到忽略不计。可依靠前 3 个指标对所有队员的综合实力进行排序。要使队伍综合实力最强即等价于分别挑选前 3 个单项指标最强的队

8、员。52.3 问题三的分析去除最强的队伍后，还剩下 15 名队员。去除最强队伍后，剩下 5 支队伍的整体竞赛水平等于每支队伍综合实力的相加。由问题二可知，对某一队员来说，一个队的整体水平等于所有元素的权重之和剔除同一指标不如队友的权重。要使 5 支队伍的总体竞赛水平最大化，要尽可能多的保留前三种指标较大的元素。换言之，一个队伍中特定能力，要避免撞型，队员之间互补。首先分别找到 x1,x2,x3 中元素按大小降序秩次为 1-5 的队员。由于 x1 的权重最大，得到的 5 名队员全部保留，将 x1 中最强的 5 名成员分配到 5 个队伍中。逐次分析优化，使这三个指标中最大的前5 个元素都能被保留。

9、刚好，分配完这部分的队员，5 个队伍x1,x2,x3三个指标的最大水平都已确定。剩下的队员随机分配填补空白造成太大的失衡。计算整体竞赛水，先计算每个队伍的竞赛水平，再求和。三、模型假设（1） 假设所有队员接受了同样的培训, 外部环境相同。（2） 假设所有队员的水平取决于有关学科成绩（平均成绩）、智力水映思维能力、分析问题和解决问题的能力等）、动手能力（计算机的使用和其它方面实际操行能力）、写作能力、外语能力、协作能力（团结协作能力）和其它特长，且这 7 项能力重要度依次递减。（3）假设竞赛中不考虑其它的随机因素,竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件。四、符号说明12Almaxk准则层相对于

10、目标层的比较矩阵矩阵 A 的最大特征值3lmax 所对应的最大特征向量方案层对准则层的比较矩阵Z 的特征矩阵队员的序列号456Z Ci(i = 1,2,.,20)6序号符号符号说明7指标的序列号j( j = 1,2,.,7)8第i 人的第j 项实力对目标层总权重的集合第 i 人综合实力对比赛方案选择的权重Eij9fi10队员 o 的第j 项实力mj (o)11队员 o、p、q 组队的第j 项水平指标Mi (o, p, q)M T1213表示一个队伍的竞赛水平j = 1,2,3 时的水平简化的 M，只考量五、模型的建立和求解5.1问题一5.1.1 模型的建立（1）模型背景将问题所包含的因素按属性

11、不同而分层,可以划分为最、中间层和最低层。同一层次元素作为准则,对下一层次的某些元素起支配作用,同时它又受上一层次元素的支配 ,这种从上至下的支配关系形成一个递阶层次最示解决问题的目的 ,因此也称目标层。通常只有一个元素 ,它是问题的预定目标 ,表中间层为实现总目标而采取的措施、方案和政策 ,它可以由若干个层次组成 ,包括所需考虑的准则、子准则 ,因此也称为准则层。最低层为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等 ,用于解决问题的各种途径和也称为方案层。本题中采用进行计算本题层次关系见图-1：7图 1-递接层次示意图（2）构建 A-C 层两两矩阵1)设立矩阵要比较n 个因素 X=x1,x2,xn

12、对目标 A 的影响 ,确定它们在A 中所占的比重.每次取两个因素 xi 和 x,以 aij 表示 xi 和 xj 对A 的影响之比,得到两两比较A = (aij )nn矩阵:1a 0, a =(i j)i jjiai j = 1(i, j = 1, 2,., n)aij得到一个正负反矩阵由题干所知,x1 到x7 的重要程度依次递减，标度等级依次为 1、3、5、7、9、11、13,其中n=7,得到矩阵 A:8图 2-矩阵 A2)层次单排序利用软件求出矩阵 A 的最大特征值：lmax = 7.6084再根据下列公式：Ak =lmaxk求得所对应的最大特征向量为:k = 0.8203 0.4733

13、0.2669 0.1485 0.0824 0.0467 0.0286以上权向量为：k0 = 0.4394,0.2535 ,0.1430 ,0.0796 ,0.0441,0.0250 ,0.0153其值即为 C 层中 7 个能力水平对于目标层A 中相对重要性的排序。3)一致性检验计算 A 的一致性指标 CI：CI = lmax - nn -1式中,n 为 A 的阶数，当 CI=0 时， lmax = n 时,A 具有完全一致性，CI 越大,I 的一致性越差。将 CI 与平均随机数一致性指标 RI 进行比较，令 CR=CI/RI，称 CR 为随机性一致比率。CR0.10 时,A 具有满意的一致性，

14、否则要对 A 重新调整，直到具有满意的一致性。计算中的特征向量k 经过标准化后，才可以作为层次单排序的。查表得 n=7 时,RI=1.32。最终求得 CI（A）=0.1014,CR（A）=0.0746。通过一致性检验。(3) 构建 C-P 两两1) 设立矩阵 Z矩阵 C设方案层对准则层的比较矩阵 Z 为:9Z = (aij ) i = 1,2,K,20; j = 1,2,K7对矩阵 Z 进行归一化处理，使 Z 中各列和为 1，表示每位学生某种能力在所有学生中所占的比重，得到的矩阵 C:aijC =, i = 1,2,K20; j = 1,2,K720 aiji=12)一致性检验得到 CI(C)

15、=0，CR（C）=0(4)构建 A-P 矩阵 E1检验总一致性，CR（总）=CR（A）+ CR （C）=0.0746 0.1一致性通过。2) 计算总权重要确定 P 层各元素对 A 层所有相关因素的权重，即每个人的每种元素在比赛方案选择中所占的权重，要通过计算特征向量 E:E = k (C max(i)并计算每个人综合实力对比赛方案选择的权重:7= Eijj =1fi各元素的比重见表-1：表 1 各元素的总权重表A0.02190.01320.00680.00400.00200.00130.00070.0499B0.02090.01290.00670.00320.00190.00120.00020

16、.0472C0.02040.01270.00700.00420.00230.00130.00100.0488D0.02190.01310.00680.00480.00240.00130.00100.0513E0.02240.01240.00700.00380.00220.00120.00110.0501F0.02340.01350.00680.00390.00230.00120.00070.0519G0.02340.01410.00740.00360.00230.00120.00110.0532H0.01780.01180.00810.00310.00220.00130.00070.0450I

17、0.01960.01210.00690.00320.00240.00120.00060.0461J0.02110.01190.00710.00340.00210.00130.00050.0475K0.02290.01210.00660.00390.00230.00130.00060.0496L0.02450.01340.00670.00490.00220.00130.00070.053710X1X2X3X4X5X6X7学生综合水平k 0=k 0=0.k 0=0.k 0=0.k 0=0.0k 0=0.025k 0=0.0权重 f0.43942535143007964410153M0.02420.

18、01410.00680.00400.00230.00120.00080.0536N0.02190.01220.00680.00400.00230.00120.00060.0490O0.02320.01280.00730.00420.00220.00130.00060.0515P0.02370.01240.00710.00440.00220.00130.00070.0517Q0.02140.01180.00780.00460.00210.00120.00080.0497R0.02220.01220.00760.00450.00220.00120.00100.0509S0.01960.01190.

19、00790.00380.00230.00130.00110.0479T0.02290.01290.00780.00390.00190.00120.00070.0515(5)筛选最优的 18 人fmin 的两项，利用 Excel 排序，选出为 H、I 同学，将他们移出队伍，剩下的队员则为比赛成员。5.1.2 问题二（1）建立队伍竞赛水平的模型从剩下的 18 个人中挑选 3 名队员，组成一支最强的队伍，这个队伍的综合实力达到最大。剖析队伍的综合实力，队伍的综合实力由 7 个量化指标相加而来;次之，考虑 3 名队员之间取长补短，某一具体能力达到的最大效应取决于这一能力最强的队员。设三个队员分别为 o

20、,p,q, mj (o) 表示队员 o 的第 j 项实力， Mi (o, p, q) 表示队员 o、p、q 组队的第j 项水平指标：M j (o, p, q) = maxmj (o), mj ( p), mj (q)一个队的综合实力为：7M = M j (o, p, q)j =1（2）简化模型-直线回归分析取队员前 3 个最重要的能力之和sum3 和 7 项能力总和sum7，利用 spss 探索 sum3、sum7是否直线回归关系：3sum3(i) = mijj =1sum7(i) = fi由Spss 得,sum3 和sum7 均符合正态分布，可以选择方差分析对两者得样本作假设检验。1）建立假

21、设检验，确定检验水准H0 = 0, b = 0，即sum7与sum3之间无直线回归关系H1 = 0, b 0,即sum7与sum3之间有直线回归关系11=0.052)计算统计量2_SS总 = （y - y）SS= b2l回xxSS残 = SS总 - SS回MS回SS回 / v回F = 253.308MS残SS残 / v残v回 = 1，v残 = n - 2 = 183)确定 P 值，作出统计推断， 查 F 表，得 P CI=0.1014(查表)CR=0.0746 一致性通过特征向量(0.8203, 0.4733,0.2669,0.1485,0.0824,0.0467 ,0.0286)权向量 w

22、=(0.4394,0.2535 ,0.1430 ,0.0796 ,0.0441 ,0.0250 ,0.0153)Z=8.6 98.2 87.9 9.5 68.2 8.8 8.1 6.5 7.7 9.1 288.6 8.5 8.5 9.2 9.6 88.68.89.28.98.49.28.38.58.29.67.77.99.7 9.7 88.6 9.2 9996189.279.6 9 7.2 9.1 9.2 989.8 6.2 8.7 9.7 67.78.399.69.58.2 8.4 6.5 9.6 9.3 58.1 8.6 6.9 8.5 9.4 48.2 87.8 99.99.5 59.1

23、9.68.18.38.7 9.7 68.199.3 78.69.19.38.48.78.38.78.488.28.88.69.48.18.48.89958.8 9.4 58.6 9.5 69.2 8.4 9.1 78.3 9.2 9.1 8.7 9.2 87.798.1 9.6 7.6 99.6 98.8 9.5 7.97.796m,n=size(Z) b=sum(Z)b1=ones(m,1)b2=b1*bC=Z./b2学生数据归一化：C =0.04990.04750.05220.05110.04730.04670.05000.04070.04520.04400.05080.04870.047

24、20.0157190.04640.04990.05100.05330.05330.04060.04460.04810.05220.05570.05510.04990.05280.05390.04870.05040.04460.05220.04990.05170.04880.05340.05570.04640.04760.04700.04760.05280.05570.04820.05050.04880.04640.04820.04700.05110.04900.04790.04900.04730.05190.05650.04850.04960.04620.04670.04790.04730.0

25、5080.04960.05420.05310.05540.05480.05320.06000.04820.04940.04500.03880.04070.04320.04880.06190.05070.05070.05250.05500.05750.05690.04750.04940.05260.05550.04920.05150.05200.04970.05490.04860.05150.04970.05150.05150.05030.04920.04800.04970.05150.04400.05130.05190.04920.04810.04920.05190.04970.05030.0

26、5080.05190.04970.04810.05030.05080.04870.04920.05130.04810.06300.06300.07090.04720.07090.04720.03940.03150.03940.04720.05510.03940.03940.04720.05510.06300.07090.0472求权向量：Q=0.8203 0.47330.02860.2669 0.1485 0.0824 0.0467w=Q/sum(Q)w=0.4394 0.2535 0.14300.07960.04410.02500.0153d=repmat(w,20,1);E=d.*C f=

27、sum(E,2)各学生的权重E =200.02190.02090.02040.02190.02240.02340.02340.01780.01960.02110.02290.02450.02420.02190.02320.02370.02140.02220.01960.02290.01320.01290.01270.01310.01240.01350.01410.01180.01210.01190.01210.01340.01410.01220.01280.01240.01180.01220.01190.01290.00680.00670.00700.00680.00700.00680.007

28、40.00810.00690.00710.00660.00670.00680.00680.00730.00710.00780.00760.00790.00780.00400.00320.00420.00480.00380.00390.00360.00310.00320.00340.00390.00490.00400.00400.00420.00440.00460.00450.00380.00390.00200.00190.00230.00240.00220.00230.00230.00220.00240.00210.00230.00220.00230.00230.00220.00220.002

29、10.00220.00230.00190.00130.00120.00130.00130.00120.00120.00120.00130.00120.00130.00130.00130.00120.00120.00130.00130.00120.00120.00130.00120.00070.00020.00100.00100.00110.00070.00110.00070.00060.00050.00060.00070.00080.00060.00060.00070.00080.00100.00110.0007整理得：A0.02190.01320.00680.00400.00200.00130.00070.0499B0.02090.01290.00670.00320.00190.00120.00020.0472C0.02040.01270.00700.00420.00230.00130.00100.0488D0.02190.01310.00680.00480.00240.00130.00100.0513E0.02240.01240.00700.00380.00220.00120.00110.0501F0.02340.01350.00680