冲刺讲义2021最终小元老师心一学长

1、讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义前言有些方法你已经学会了，但是做题后犯错了，还很长时间检查不出来问题点，这就是【易错题】秒杀是一种简化做题的技巧，是学霸必备，每个题算，硬碰硬是不持久的.、北的学生，会秒杀的比例非常高.时间不够，完成好过完美.还有些题是比较综合的，有难度，或者是必考，我们也有所总结.以上，就是冲刺课的内容.目录一、易错题2二、秒杀题17三、重点难点题24第一章函数、极限、连续24一元函数微分25一元函数26微分方程27多元函数微分28第二章第三章第四章第五章多元函数28无穷级数29第六章第七章第八章线性代数29第九章概率论与数理统计331讲解请关

2、注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义一、易错题【易错题 0】下面都是常见的计算错误，同学们要知其然，也要知其所以然： 1.不定最后没加C ；2.不定换元最后没换回 x ；3. a (b - c) = b (b - c) Þ a = b ；3()4.x= x3 ；225. xy Þ x2y2 ；6. x1 Þ 1 1 ；x7. 2x2 + ax + b = 0 有两个不相等的实根 x 和 x ，则 2x2 + ax + b = () .- x122f ( x)f (0) = f ¢(0) = 0 , f ¢(0) ¹

3、 0 ,求【易错题 1】【秒杀题】求极限：已知函数连续, xf ( x)lim.xf (u ) du + xf ( x)x®0 ò0五种常见错误做法错误做法一：洛必达同¸ xf (x) + xf ¢(x)f (x) / x + f ¢(x)limlim原式f (x) + f (x) + xf ¢(x)x®0 2 f (x) / x + f ¢(x)x®0局部洛limf ¢(x) + f ¢(x) = 2x®0 2 f ¢(x) + f ¢(x)3f (x)

4、同¸ x2局部洛f ¢(x)xlimlim错误做法二：原式xx®0 f (x) +òx®0f (u)duf ¢(x) f (x)x+02xx2局部洛limf ¢(x)= 2312x®0f ¢(x) + f ¢(x)同¸ x局部洛f (x)1f (x)=limlim错误做法三：原式xf (x) + f (x)2òx®0x®0f (u)du+ f (x)0x中值定理limxf (x)f (x )(x - 0) + xf (x)x 介于0 和 x 之间.错误做法

5、四：原式x®02讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义xf (x)= 1= limf (x )x + xf (x)2x®0洛必达f (x) + xf ¢(x)f (x) + f (x) + xf ¢(x)lim错误做法五：原式x®0洛必达limf ¢(x) + f ¢(x) + xf ¢(x) 洛必达lim 2 f ¢(x) + f ¢(x) + xf¢(x)= 3 .x®0 2 f ¢(x) + f ¢(x) + xf 

6、2;(x)x®0 3 f ¢(x) + f ¢(x) + xf¢(x)4xf ( x) dxò f ( x)xf ( x) 连续， lim= A ，求lim=.0【易错题 2】2xx®0x®0xf ( x) dxò f (x ) × x f (x )= A .错误做法： lim0【易错题 3】lim F ¢(x) = A ，求lim F (t) =.t2x®0t®0F (t) - F (0)F (t)= lim F ¢(t) = lim F ¢(t) -

7、F ¢(0) = F ¢(t) = A .错误做法：lim F (t) = limt - 0t= limt - 0t2tttt®0t ®0t ®0t ®0t®011- (cos nx)n=.【易错题 4】求limx2x®01cos nx-1cos nx-111- (cos nx)n1- (1+ cos nx -1)cos nx-11- enn=错误做法： lim2- cos nx -11 (nx)2= limn= lim 2= n .x2nx22x®0x®0ln (1+ 2x) + xf ( x

8、)sin x22 + f ( x)x= 2 ，则lim=.【易错题 5】limx®0x®0)= lim 2 +错误做法： lim ln(1+ 2f (x) = 2d( )()é f x -f xùf "( x ) =.¢= 10【易错题 6】 f (x) 连续，且 limú,则0x®x0 d0û3讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义d é f ( x) - f ( x0 )ùf "( x0 ) = 1.ú =错误做法： limx®

9、;x0 d0ûf ¢(2) = 2 ，求lim f (2 + x) - f (2 - x ) =.f ( x ) 可导，且【易错题 7】设xx®0 f (2 + x) - f (2 - x ) L¢(+ x) + f ¢ (2 - x )ù = lim é f ¢(2) + f ¢ (2)ù= lim é错误解法： limf2®0 ëû= 2 f ¢(2) = 4 .éù【易错题 8】计算lim êú .x

10、®¥ ëûé= 2 .错误解法： lim®¥ex=.【易错题 9】计算 lim21 öxx®+¥ æç1+ x ÷èøeex= 1错误解法：ç1+ x ÷eèøx【易错题 10】已知lim æ x - a ö+¥-2 x=4x2edx ，求òa 的值.ç÷x + aèøx®¥axx lnæ x-a

11、öæ x - a öç x+a ÷错误解法：左边= lim ç= lim eèø ，÷+ a øx®¥ è xx®¥æ x - a öæ x - aö= lim x-1 = -lim x ln2a-2a= e指数上ç x + a ÷ç x + a÷，所以左边.èøèøx®¥x®¥-2e=

12、-4a2e-2a ，a = ± 2 .+¥ò从而e-2a=4x edx2 -2 xa-2a，两边关于 求导可得2a却是 a = 0 或 a = -1 ，哪里错误了？而正确arcsin (sin x)x【易错题 11】计算lim.x®¥4讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义错误解法：由于arcsin (sin x) = x ，从而lim arcsin (sin x) = lim x = 1.xx®¥ xx®¥【易错题 12】看如下两个结论lim g(x) = u0 , lim f

13、 (u) = A，则lim f (g(x) = A (´)x®x0u®u0x®x0lim g(x) = ¥, lim f (u) = A，则lim f (g(x) = A ()x®x0u®¥x®x011- ex-11【易错题 13】设 f (x) =arctan，问 x = 1 点的右极限是多少？x 21+ex-11pp41- ex-1错误做法： f (1+ 0) = lim f (x) =lim= - 21+ex-14 x®1+x®1+【易错题 14】设数列xn 满足 x1 =，证明

14、xn 为单调递增数列.2 ，且 xn+1 =2 + xn1f ( x) =f ¢( x) => 0 ，则x 为单调递增数列2 + x ，由于错误解法：设n2 2 + x1【易错题 15】证明：当0x1 时，.f ( x) = xe-x ， x Î(0,1) ，则 f ¢( x) = e-(1- x)0 .错误解法：设f ( x) 单增.又由于 x Î(0,1) ，所以 x 1 ，所以 f ( x)f æ 1 ö ，即1.所以ç x ÷èøx1但正确却是，错在哪里了？ex (1+ bx +

15、cx2 ) -1- ax存在，求a, b, c 的值，并求此极限值.【易错题 16】.设limx4x®0中 ex 前面有(1+ bx + cx2 ) ，所以只需要把 ex 展开到 x2 .错误解法：本题很多同学认为f (f ¢( x) .【易错题 17】设，求5讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义f ¢(2 cos x .错误解法：3 xéæ1 öù【易错题 18】已知函数 ( ) 在f (a )ú 存在，f xx = a邻域内有定义，已知lim n ê f ç a

16、+÷ -èn øn®¥ëû能说明右导数 f+¢ (a ) 存在吗？错误解法：可以.ì¹ 0, x = 0f ( x) = ïf ¢( x) .íx【易错题 19】已知，求îï0错误解法：由于 f (0) = 0 ，则f ¢(0) = éë f (0)ùû¢ = 0¢ = 0 .ì11 +1, x ¹ 0, x = 0所以 f ¢(.ï&#

17、238;0【易错题 20】已知 f ( x) 在 x = 0 某邻域内一阶导连续，且lim f ( x) = 2，则正确的是（）x2x®0 lim f ¢( x) = 4 . f (0) = 0. f ¢(0) = 0 .xx®0xf ( x -u)du3=.òf ¢(0) = 4 .0limx32x®0错误解法：根据洛必达法则得到正确.【易错题 21】设 f ( x) 连续，且 f ¢(0)0 ，则存在d0 ，使得（）A. f ( x) 在(0,d ) 内单调增加.C.对任意的 x Î(-d , 0)

18、，有 f ( x)f (0) .错误解法：认为 A 正确.B. f ( x) 在(-d , 0) 内单调减少.D.对任意的 x Î(0,d ) ，有 f ( x)f (0) .p【易错题 22】 ò0 x sin 2xdx = .6讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义pp2 ò0错误做法： I =sin 2xdx = 0 .ppò5òcos xdx 与 2【易错题 23】2 cos5 xdx 相等吗？00错误做法：认为相等.【易错题 24】 y = 1- x2 与 x = 1 围成的第一象限的平面区域绕着轴旋转一周的

19、旋转体体积.y2= p ò1- x2 -1) dx .(32错误解法： Vy2031ò【易错题 25】计算 1- (1- x ) dx = 22.0p3x=sin t211òò错误做法： 1- (1- x ) dx = 1-cos tdt = 1-=.23223300dx+¥ò-¥I =， n 是正整数，是否收敛？【易错题 26】反常n(1+ x2 )n1dxdxdx2n+¥0+¥= (+¥) +(+¥) =+¥ .® ¥) ，而ò-¥

20、=+错误做法：(1+所以发散.x+¥【易错题 27】 ò-¥ 1+ x2 dx = .+¥ x错误做法：dx = 0 （奇零偶倍）.ò1+ x2-¥dx2ò2【易错题 28】计算.x-1dx1= - 1 -1 = - 3 .2ò2= -|2-1错误解法：由-公式：xx22-111ò【易错题 29】反常的敛散性.0错误做法：111321，而dx 根据口诀“小的不喜欢大的”，发散，所以原反常1ò3发散.0x 27讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义2xy¢ =

21、y 的解.【易错题 30】求微分方程dydydx错误做法： 2x= ydx2=yx2= lnx + ln Cy= Cy= ±C x = Cx22 lnyx111f ( x) 为连续函数， fxf ( x) .( )()ò= e+uf x -u du2xx【易错题 31】设，求0f ( x) = e2tf (t)dt .0换元处理后可得0通过反复求导可得微分方程： f ¢( x) - f ( x) = 4e2x ，( )解出通解后 f x = C e-.123如果到这里就结束了，是要扣分的，同学们知道哪里会扣分吗？f ( x ) 在( x0 , f ( x0 ) 附

22、近为凸f ( x ) 存在f ¢( x0 ) = -1，证明【易错题 32】若连续导数，且函数.f ( x ) 在( x0 , f ( x0 ) 附近为凸函数.f ¢( x0 ) = -1 < 0 ，则错误解法：由(0, 0) 且lim f y (0, y ) = f y (0, 0) ，能否说明 f ( x, y ) 在(0, 0) 处【易错题 33】若ly®0可微.错误解法：由l(0, 0) 且lim f y (0, y ) = f y (0, 0) ，则 fx ( x, y ) 和 f y ( x, y ) 在(0, 0)y®0f ( x,

23、y ) 在(0, 0) 处可微.处连续，则【易错题 34】 x2 + y2 + z2 - 4z = 0 确定了隐函数 z = z ( x, y ) ，且 z ¹ 2 ，求 ¶z 和. ¶z .¶y¶x¶¶zz错误解法：设 ()F x, y, z = x + y + z - 4z222F ¢ = 2x + 2z-4.，则x¶x¶x【易错题 35】 z = z ( x, y ) ， x = x ( y, z ) ， y = y ( x, z ) 均有连续的一阶偏导数，求 ¶z ×

24、 ¶x × ¶y .¶x ¶y ¶z¶z ¶x ¶y错误解法：××=1 .¶x ¶y ¶z8讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义lim f ( x, y) - xy = 1f ( x, y) 在点() 的某个邻域内连续，且 x®00, 0【易错题 36】已知函数，则(x + y)222y®0A. 点(0, 0) 不是 f ( x, y) 的极值点B. 点(0, 0) 是 f ( x, y) 的极大值点C. 点

25、(0, 0) 是 f ( x, y) 的极小值点D. 根据所给条件无法判别点(0, 0) 是否为 f ( x, y) 的极值点òòD【易错题 37】区域 D 为 y = 0 ，y = x2 ，x = -1 ，x = 1 围城的区域，求二重x2 - ydxdy .要求：用两种方法，一种用对称性，一种不用对称性，直接求.下面两种做法哪个是对的？错误的是错在哪里了？用对称性：3321 2x2 11òò0òò0 32I = 2dxx2 - ydy = 2 -(x2 - y)2 |x dx= 2(x2 )2 dx0300ò=x dx

26、=´=.3不用对称性：321x1òòòI =dx- ydy22=-(x2 - y)2 |x dxx03-1-10é 23 ùx42321= ò 0 - ê-(x2 )2 ú dx =1òx3dx =×|1= 0 .-13-134ëû-13psin x次序：dxòf ( x, y ) dy =.ò【易错题 38】交换2p03p3psin xf ( x, y ) dy = ò0f ( x, y ) dx .òdxò

27、42;dy错误解法：由22p-1p +arcsin y0【易错题 39】计算òò x2 dxdy ，其中 D = ( x, y ) | x2 + y21.D9讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义错误解法：根据轮换对称性可得òò x2 dxdy = òò y2 dxdy ，DD所以òò x2dxdy = 1 òò(x2 + y2 )dxdy = 1 òòdxdy = p.222DDD【易错题 40】【2017，3，19 题一小部分】【数一、数三】(-

28、1)k¥ anan =åk=0，求lim nk !n®¥¥¥11 11n< å= eålim< lim= 1 ，因此待求结果属于（0,1）错误做法：Q ank=0 k !k=0 k !n®¥n®¥(-1)n¥级数å an 的敛散性.n=1【易错题 41·数一数三】设 an = ln1+ ，n(-1)n(-1)n(-1)n¥(n ® ¥) ，而ån=1错误做法：Qln1+ 收敛，所以原级数收敛.n

29、nn¥【易错题 42·数一数三】计算å nxn-1 .n=2¥¢ö¢¥1错误解法： å nn=2=.÷(1- x)2ø( x - 1)n¥【易错题 43·数一数三】计算ån =1的和函数.n( x - 1)nö¥，从而 S ( x ) = ò0错误解法：设 S ( x ) = ån =1ç2 ÷ .2 -0èøn【易错题 44·数一数三】将 ( x ) = arcta

30、n 1 - 2 x 展开成 x 的幂级数.f1 + 2 x¥错误解法： f ¢(便可得到 f ( x) ：2n ，(-1)n 4n x2n+1¥¥xxååf ( x) = ò( )()òn¢fx dx = -14 x dx = -n 2n22.2n +100 n=0n=0错在哪里了？10nan讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义【易错题 45·数一】计算 Òòò xdydz + ydzdx + zdxdy ，其中S 为半径为1的球面的内侧

31、.S错误解法： Òòò xdydz + ydzdx + zdxdy = òòò(1+1+1) dxdydz = 4p .SW【易错题 46·数一】计算òò zdxdy ， S 为 z =1 - x2 - y2的下侧.S错误解法： òò zdxdyz = òò1- x2 - y2 dxdy .SDxyxdydz + ydzdx + zdxdy ， S : z =R2 - 2x2 - 2 y2【易错题 47·数一】计算òò32的上侧.()+

32、 y + zSx222ì z = 0xdydz + ydzdx + zdxdy公式可得 Òòò: ï= 0 .错误解法：补面Sí x2 + y 212，则根据32()1R 2+ y + zS+Sx222ïî1= 0 .【易错题 48】已知 n 阶矩阵 A 满足等式 A2 = A ，证明：要么 A = E 或者A错误解法： A2 = A Þ ( A - E ) A = 0 ，则 ( A - E ) A = 0 ÞA - EA = 0 .= 0 或者 A = E .A所以【易错题 49】已知 A2=

33、 A ，证明： A 的特征值只能是0 或者1.= A 可得 A ( A - E ) = O ，从而 A = O 或者 A = E ，错误解法：根据 A2从而特征值只能是0 或者1.【易错题 50】很多同学会认为( A + B)-1 = A-1 + B-1，这是错误的，错在哪里了？【易错题 51】如果 P = æ AB ö，且 A, B, C, D, P 均为方阵，如果 B ¹ O 且C ¹ O ，很多同学会ç CD ÷èø=AD - BC=-PPADBC错误地认为：，.【易错题 52】设 A, B 为 n 阶矩阵，

34、记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X,Y ) 表示分块矩阵，则（）A. r ( A, AB) = r ( A) .B. r ( A, BA) = r ( A) .11讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义D. r ( A, B ) = r ( AT , BT ) .C. r ( A, B) = maxr ( A), r (B).错误解法：一方面， A 是( A, AB) 的子矩阵，所以 r ( A, AB)r ( A) ； 另一方面( A, AB) =A( E, B) ，所以 r ( A, AB)r ( A) .所以 r ( A, AB) = r ( A)

35、，从而 A 正确.类似地， r ( A, BA)r ( A) ，且根据( A, BA) = ( E, B) A 可知 r ( A, BA)r ( A) ， 则有 r ( A, BA) = r ( A) ，从而 B 也正确.所以 B 也正确，怎么会有两个选项都是正确的？哪里错了？【易错题 53】若 A2a = la ,a ¹ 0 ,则a 是 A 的特征向量，是否正确？错误做法：因为学过若 Aa = la ，则 A2a = l 2a 成立，所以上述结论也成立.【易错题 54】【秒杀题】设a = (a ,a)()T 线性无关，)T ，,a， b = b , b , bT, x1231232

36、3f (,则不正确的是（）A. r( f ) = 1B. f 规范型： z2 - z2C. f 必不正定 D. abT + baT= 0 .12错误做法：你想选 B，或者 C，那你就错了！【易错题 55】设矩阵二次型 A = (a1,a2 ,a3 ) 与 B = (b1, b2 , b3 ) 等价， 则向量组 a1 ,a2 ,a3 与b1, b2, b3 等价吗？ 错误解法：等价.æ1 öæ 2 ö= ç 0 ÷ ， a = ç 0 ÷ 中每个向量增加一个维度变为向量组【易错题 56】在向量组 A ： aç

37、; ÷ç ÷12ç 0 ÷ç 0 ÷è øè øæ1 öæ 2 öç 0 ÷ç 0 ÷A¢：a1¢ = ç÷ ， a ¢ = ç ÷ ,会发现这两个向量线性无关.2ç 0 ÷ç 0 ÷ç 0 ÷ç1 ÷è øè ø不是说

38、好的“少的相关则多的相关”嘛！怎么现在少的相关，多的无关了？哪里错了？12讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义【易错题 57】设齐次方程组 Am´n X = 0 满足 m < n ，则必有无穷多解；设非齐次方程组 Am´n X = 0满足 m < n ，则必有无穷多解.上述说法是否正确. 错误解法：均正确æ10201 öæ x1 ö)ç -11 ÷ç x÷ .求二次型矩阵.f () = (【易错题 58】设二次型ç÷ç2 &#

39、247;33ç-1÷ç x÷2èøè 3 øæ101 ö错误解法：二次型矩阵为ç -121 ÷ .ç÷ç0-1÷2èø2 ) + (21 ) 的正负惯性指23 +【易错题 59】求四元二次型 xT A数 p 和 q .错误解法：ìx1 + x2 = y1ïx+ x = yï设232 ，从而 xT Ax = y2 + y2 + y2 + y2 ，所以正惯性指数 p = 4 ，负惯性指数 q

40、 = 0 .íx+ x = y1234ï343ïîx4 + x1 = y4r ( A) = m ，证明 AAT 是对称矩阵，并且 AAT 正定矩阵.【易错题 60】已知 A 是 m ´ n 矩阵，错误解法： xT AAT x = ( A xA x)T³ 0 ，若 xT AAT x = 0 ，则 AT x = 0 ，又由于 A 满秩，所以TT=AT¹ 0 ，从而 AT x = 0 只有零解，即 x = 0 .A则"x ¹ 0 Þ xT AAT x > 0 .哪里有错误呢？【易错题 61

41、83;数一数三】很多同学会错误地认为下面两个式子是正确的：1. P ( A | B) + P ( A | B) = 1；P ( AB) P (B)2. P ( A | B ) =.【易错题 62·数一数三】已知一个家庭有的概率.，已经知道一个是，求另一个孩子也是1【错误解法 1】另一个孩子是男是女跟第一个孩子没关系，所以另一个孩子也是的概率是 .213讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义1【错误解法 2】另一个孩子如果也是的概率为 .，那么都是，则这种4ì 1 , x2 + y21【易错题 63·数一数三】已知 f ( x, y) =

42、ïp( x ) .íf，计算边缘概率密度Xïî0 , 其他dy21- x21- x2+¥f X ( x) =f ( x, y ) dy =ò-¥ò-=1- x ， -21- y2 x 1- y2.错误解法：pp【易错题 64·数一数三】设 X 服从参数为 l = 1 的指数分布，记Y = min x ,1 ，求 EY .ì X , 0X1Y =í错误解法：，从而î1 , X1y0 时， FY ( y) = 0 .y1 时， FY ( y) = 1 .0y1时， F ( y )

43、 = PYy = PY = X y = F ( y ) = 1- e- y .YXì0ï, y0y , 0y1，从而, y1ìïe- y , 0y1( y ) = í1- e( y ) = í-所以 Ff.YYïî0 , 其他ïî112ye- ydy = 1-.+¥yf( y )dy =òò所以 EY =Ye-¥0而正确却是1- 1 ，错在哪里了？eì2e-(x+2 y) , x > 0, y > 0f (x, y) = í

44、0,【易错题 65·数一数三】设二维随量（ X ,Y ）的概率密度为，其他î求随量 Z = X + 2Y 的概率密度函数.+¥z - xf (x,)dx+¥ò-¥ò-¥f (z) =f (x, y)dx =错误做法：z2z - x > 0 且 x > 0 Þ 0 < x < z ， z > 02z-( x+2 z - x )zòò=2e dx = 2e (z - 0) = 2ze- z- z- z=2edx20014讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲

45、刺课2021数学冲刺讲义ì1 , -1 < x < 2ï量 X 的概率密度为 fX (x) = í3，令Y = X 2 ,求 Cov【易错题 66·数一数三随ïî0，其他（X,Y）错误做法：由于是Y = X 2 ，非线性关系，因此相关系数为 0，协方差也是 0.一般中有类似如下的说法：所以协方差也是 0X 2 N (0,1) ， Y N (0,1) ，则 X F (1,1) 上+ Y c (2) ；Y 2222【易错题 67】设随量 X述说法是否正确.错误解法：均正确.量 X 服从a,b 上的均匀分布，但 a ， b 均未

46、知. X1 ， X 2 ， Xn 为总体【易错题 68】随X 的简单随机样本.求 a 和b 的最大似然估计.ì1, axbf ( x ) = ïb - a量 X 的概率密度为í错误解法：随.ïî0, 其他n1设似然函数为 L (a, b) = Õ f ( Xi ) =i=1= (b - a)- n.(b - a)n其中 anb 恒成立.ì¶L (a, b) = n 0ï¶ab - a()()ln L a,b = -n ln b - a.关于 和 求偏导可得a，驻点不存在.bíï

47、;ïî() ¶L a, b¶bn= -0b - a15讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义那么就要似然函数最原始的目的：让似然函数最大化.¶L (a, b)¶L (a, b)0 说明随着 a 增加， L (a,b) 会增加；0 说明随着b 增加， L (a,b) 会减小.¶a所以，要使得 L (a,b) 最大化，需要使得 a 最¶b最小.所以 a$ = maxn ， b$ = minn ， b$ = maxn .为 a$ = minn .正确前面都正确，最后一步错误，错在哪里了？x2 y

48、极限lim是否存在.【易错题补充】x + y42x®0 y®0错误解法：利用极坐标处理， x = r cosq ， y = r sinq .则当 x ® 0 ， y ® 0 时， r ® 0 ，r 2 cos2 qr sinqr sinq cos2 qx2 y= lim= lim= 0 .则limr ®0 rcos q + r sinqr ®0 rcos q + sin qx + y424422242x®0 y®0x2 y= 0 .从而limx + y42x®0 y®0错在哪里了？16

49、讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义二、秒杀题【秒杀题 1】设 f (x) 连续，且lim f (x) - 2 = 1，问 x = 0 是否是极值点？xx®0f (x)x）为不恒为零的奇函数，且 f ¢(0) 存在，则函数 g(x) =B.有跳跃间断点 x = 0 . D.有可去间断点 x = 0 .【秒杀题 2】【2003】设（f（）xA.在 x = 0 处左极限不存在.C.在 x = 0 处右极限不存在.【秒杀题 3】下面说法正确的是（）A.若 f ¢( x ) 在(0,1) 内连续，则 f ( x) 在(0,1) 内有界；B.若

50、f ( x) 在(0,1) 内连续，则 f ( x) 在(0,1) 内有界；C.若 f ¢( x ) 在(0,1) 内有界，则 f ( x) 在(0,1) 内有界；D.若 f ( x) 在(0,1) 内有界，则 f ¢( x) 在(0,1) 内有界. f ( x) - f (a)= -1，则在 x = a 处，（【秒杀题 4】【1987 数一】.设lim）( x - a)2x®aA. f ( x) 的导数存在，且 f ¢(a ) ¹ 0 ；C. f ( x) 取到极小值；B. f ( x) 取到极大值；D. f ( x) 导数不存在.【秒杀题

51、5】设 F x =2u - x f u du ，其中 f ( x) 可导，且 f ¢( x)0 ，则（( )A. F (0) 是极大值；x()()ò）0B. F (0) 是极小值；C. F (0) 不是极值，但(0, F (0)是曲线 F ( x) 的拐点.D. F (0) 不是极值， (0, F (0)也不是曲线 F ( x) 的拐点.【秒杀题 6】设 f ( x) 为连续函数， a 为，下列为奇函数的是（）( )f (t3 )dt ù du ；éùéxuxuòòòò2tf tdt duA.；

52、B.a êë 0úû0 êë aúû( )éùéf 2 (t ) dt ù du .xuxuòòòò2tf tdt duC.D.；0 êë aúûa êë 0úû2 x2 (1-cos x)f (t ) dtòf ( x) 具有连续导数，且满足 f (0) = 0 ，( )f0 = 4¢lim0【秒杀题 7】设，求ù4x

53、4;0xéf (t ) dt úûòê 0ë【秒杀题 8】设函数 f (x) = (ex -1)(e2x - 2)L(enx - n)，其中 n 为正整数，则 f ¢(0) =（）A. (-1)n-1(n -1)!C. (-1)n-1n!B. (-1)n (n -1)!D. (-1)n n!17讲解请关注：“”或“心一学长”，回复：冲刺课2021数学冲刺讲义【秒杀题 9】【2018】下列函数中，在 x=0 处不可导的是（）f (x) = cosD. f (x) = cosf (B. f (xx .A.；C.；【秒杀题 10】

54、【2011 数二三】x2 f ( x) - 2 f (x3 )f ( x) 在 x = 0 处可导， f (0) = 0 .则lim设函数= （）x3D. 0 .x®0A. -2 f ¢(0) ；B. - f ¢(0) ；f ¢(0) ；C.【秒杀题 11】设 f ( x)在0,1 上连续、非负且不恒等于零，记p2p41f ( x) dx, I2()f (tan x)dx ，则他们的大小关系是（òòòI =f sin x dx, I =）13000A. I1 < I2 < I3B. I3 < I1 <

55、 I2 C. I2 < I1 < I3D. I2 < I1 < I3d【秒杀题 12】设d0 ，在区间(-d ,d ) 内( )， ( )， ( ).记 I =f ( x) dx ，¢¢òf 0 = 0f0 = 0fx 0-d则（）A. I = 0 ；B. I0 ；C. I0 ；D.不确定.【秒杀题 13】【2014 数一二三】设函数 f ( x) 具有2 阶导数， g ( x) =f (0)(1- x) + f (1) x ，则在区间0,1上（）f ¢( x)0 时， f ( x)g ( x) ； B.当 f ¢( x

56、)0 时， f ( x)g ( x) ；A.当C.当 f ¢( x)0 时， f ( x)g ( x) ；【秒杀题 14】【2018 数二三】D.当 f ¢( x)0 时， f ( x)g ( x) .f ( x) 在0,1上1( )òf x dx = 0设函数可导，且，则（）0A.当 f ¢( x )0 时， f æ 1 ö0 ；B.当 f ¢ ( x )0 时， f æ 1 ö0 ；ç 2 ÷ç 2 ÷èøèøC.当 f

57、¢( x )0 时， f æ 1 ö0 ；D.当 ¢ ( x )0 时， f æ 1 ö0 .fç 2 ÷ç 2 ÷èø【秒杀题 15】【2006 数一】设函数 y = f ( x) 具有èø数，且 f ¢( x) > 0, f ¢( x) > 0 ，Dx 为自变量 x 在点 x0 处的增量，Dy与 dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若Dx > 0, 则（）A. 0 < dy < Dy.B. 0 < Dy < dy.C. Dy < dy < 0.D. dy < Dy < 0.【秒杀题 16】【2007 数一二】f (n)(n = 1, 2,L) ，则下列结论f ( x) 在(0，+¥) 内具有）f ¢(