20082009秋季学工科数学分析试卷班卷答案VIP

1、哈尔滨工业大学 2008/2009 学年 秋季学期 工科数学分析 （A 班） 试题卷（A）（）形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 70 %一、填空题（每题 2 分，共 20 分）（不填题首按处理）13e12-11,：123et (t - 1)33x + 2 y - 3z = 64562t 27 - 1 tan-33f ¢ + 3 f ¢ + 2 f ¢+ C81112221169 -110en + n3 + ln(1 + n)= 1 limn®¥ 3en+1 + n 32 + 2n3x-12 y = 5 x+1

2、的间断点是 x =，且是类间断点。- b = 0 ，则a =， b = 3已知 lim x®+¥ìx = t 2 + 1d 2 y，则= dx 24已知： íy = etî5 曲 面 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 6 在点 M (1,1,-1) 处 的 切 平 面 方 程 为教研室签字：第 1 页（共 12 页）班级：学号：:题号一二三四五六七八卷 面总 分成 绩课 程总 成 绩分数v¶u6函数 u = z (z > 0) 沿 l = P1 P2 的方向导数xy=，其中v¶lP1P1 , P2 分别为(1,

3、1,1) 与(2,2,2) 。7 ò sin 4 x cos2 x = dx¶ 2 z8设 z = f (x + y, x + 2 y), f (u, v) 有连续偏导数，则= ¶x¶y1ò=x ln xdx = 39 I010设 y = xe1-x , x Î R ，则max y =xÎR 二、选择题：（每题 2 分，共 20 分）（不填题首：按处理）1 + x1设 f (x) = lim，则（）成立。遵守考试纪律n®¥ 1 + x2n（A）有间断点 x = 1；（C）有间断点 x = 0 ；（B）有间

4、断点 x = -1；（D）无间断点ìx 2e-x2 , x³ 1< 12关于函数 f (x) = ï在 x = ±1两点处的连续性与可导性为（í1 ,）xïî e注意行为规范（A） 在 x = ±1处连续但不可导；（B） 在 x = ±1处可导 ；（C） 在 x = 1可导，在 x = -1处不可导 ；（D） 在 x = 1不可导，在 x = -1处可导。3设 f () ，则（）（A） x = 0 是 f (x) 的极值点，但(0,0) 不是曲线 y = f (x) 的拐点；第 3 页（共 12 页

5、）（1）（A）（2）（B）（3）（A）（4）（C）（5）（D）（6）（D）（7）（C）（8）（B）（9）（C）（10）（A）（B） x = 0 不是 f (x) 的极值点，但(0,0) 是曲线 y = f (x) 的拐点；（C） x = 0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 也是曲线 y = f (x) 的拐点；（D） x = 0 不是 f (x) 的极值点， (0,0) 也不是曲线 y = f (x) 的拐点。4设 f (x) 连续，且 f ¢(0) > 0 ，则存在d > 0, 使得（）（A） f (x) 在(0,d ) 内； （B） f (x) 在(-d ,0

6、) 内单减；（C） 对"x Î (0,d ) 有f (x) > f (0)； （D） 对"x Î (-d ,0) 有f (x) > f (0)5设 z = f (x, y) 在(x0 , y0 ) 处的全增量为Dz ，若 z = f (x, y) 在(x0 , y0 ) 处可微，则在(x0 , y0 ) 处（）（A） Dz = dz ； （B） Dz = f x Dx + f y Dy ；（C） Dz = f x dx + f y dy ； （D） Dz = dz + o(r), r =Dx + Dy226曲面 z = f (x, y) 对应

7、于(x0 , y0 , z0 ) 处与 z 轴正向成锐角的法向量为（A） 1, f (x , y ), f (x , y )；（B） f (x , y ), f (x , y ),1x00y00x00y00（C） f (x , y ),- f (x , y ),-1（D） - f (x , y ),- f (x , y ),1x00y00x00y00）ìx 2 + y 2 + z 2 = 6在点(1,-2,1) 处的切线必平行于（7曲线í）î x + y + z = 0（A） xoy 平面；（B） yoz 平面；（C） zox 平面；（D）平面 x + y + z

8、 = 02 28 lim(x2 + y 2 ) x y = （）x®0 y®0（C） ¥（D） 0（A）不存在（B）1第 5页（共12 页）sin xò9当 x ® 0 时，sin(t )dt 是 x + x 的（223）0（A）同阶无穷小；（B）等价无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小10由 f ( y , z ) = 0 确定了可微函数 z = z(x, y) ，则 x ¶z + y ¶z = （）¶x¶yx x（A） z ； （B） - z； （C） y ；（D） - y三、试解答下列各题：（

9、每小题 4 分，共 20 分）1求极限：2ln(1 +limarctan x3x®03 ) + 23 )解：原式= lim3!x3 + o(x3 )x®03= lim3x3x®0= 3 132求不定： ò earcsin x dxx=sin t解： òearcsin x dx= òet cos tdt= et cos t - ò et d cos t= et cos t + et sin t - ò et cos tdt由此得etò edx =(cos t + sin t) + C2arcsin xarc

10、sin x= e(cos(arcsin x) + sin(arcsin x)+ C2第7 页（共12 页）得分3 设 f (x) 在 0,+¥) 上可导， 且 f (0) = 0, 存在 f -1 (x) = g(x) ， 已知：f ( x)òg(t)dt = x e ，求 f (x)2 x0解： g f (x)× f ¢(x) = ex (x2 + 2x)xf ¢(x) = xe x (x + 2)f ¢(x) = ex (x + 2)f (x) = ò (xe x + 2ex )dx= xe+ C = xe(x + 1)

11、 + C由 f (0) = 0 得C = 1 ， f (x) = ex (x -1) + 2x + 1aò4计算定： I =xa 2 - x 2 dx20p2x=a sin t a 4ò解： I=2sin 2tdt40p20a 48ò=(sin 2t + cos 2t)dt22= pa 4165设 f Î C，且f (x)dx = 0, 试证：$x Î (a, b) ： f (t)dt + f (x ) = 0xbòòa,baaxò证：设j (x) = e ×f (t)dtxa显然 j(a) = j(b)

12、 = 0 ，且 j (x) 在 a,b 内 可 导 ， 故 由 罗 尔 定 理 知æxf (x )ö÷ = 0 ，因exxò$x Î (a, b) : j ¢(x ) = 0 即ef (t)dt +¹ 0 ，故有çèøaxòaf (t)dt + f (x ) = 0第 9 页（共 12 页）四、设 z = f (x, y) ，其中 y = y(x) 由 x y = y x 确定，其中 f 存在一阶连续偏导dz数，求。（5 分）dxdz¶f¶fdy解：=+×

13、LLLLL(1)dx¶x¶y dxyy + x × y¢ y又 由 y ln x = x ln y 两边对 x 求导得 y¢ ln x += lnxyln y -xy ln y - y 2 xln x - xy¢解得y =LLLLLLL(2)2把（2）代入（1）得dz = ¶f + ¶f × xy ln y + y 2dx¶x¶y2五、设 f (x) 在a,b上连续单调递增，证明：a + bbbòò（5 分）³f (x)dx2aaa + x2xxòò证：设 F (x) =tf (t)dt -f (t)dt ，则