构造函数与方程思想解决问题

1、构造函数与方程思想解决问题函数与方程是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直为高考 热点、重点内容，函数思想使常量数学进入变量数学，使得静态问题动态化，高中数学中的 初等函数、数列、不等式、解析几何等问题都可以转化为函数与方程思想解决。一、函数与方程思想剖析1 1、 函数的思想：就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系来建立函 数关系，利用函数的概念、图象、性质对其研究，使问题得以解决，这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、 联系和发展角度拓宽解题思路。函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是

2、：单调性、奇偶性、 周期性、最大值和最小值、图象变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幕函 数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特征。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件， 构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。2 2、 方程思想：由于新课标增加了函数的零点，函数零点就是方程的根，所以与函数有必然联系的是方程， 方程思想是研究问题中的等量关系，动中求静，通过建立等量关系，用方程的观点和方法解决问题。二者是紧密联系、相辅相成的关系，在一定条件下，它们可以互相转化。运用方程解决问题主要有两个方面：一是从分析问题的结构入手，找主要矛盾，抓住某一个关键变量， 将等式看成关于

3、这个主变量的方程，然后具体研究这个方程； 二是将函数、三角、不等式、解析几何等问题转化为方程问题解决，从而达到优化解题过程的目的。3 3、 函数与方程 是两个有着密切联系的概念，它们之间相互渗透，很多方程问题需要用函数的知识和方法来解决， 很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辨证关系，形成了函数方程思想。二、函数方程思想的具体应用1 1、构造函数利用图象求解的有力的工具。在其它方法不奏效的情况下，首先想到利用函数的图象解决。2 2、构造函数利用零点分布例 2 2、关于 x x 的方程9x(4 a)3x4 0有两个实数解，求实数 a a 的取值范围。例 1 1、设 a a、b

4、 b、c c 均为正数，且 2 2alog1a,（-）b21log1b（ - ）clog2c,则（22C.C.c aA.A.a b cB.B.c b a分析：由于所给的式子是非常规等式，以根据函数思想，构造出恰当的函数，禾 U U 用函数的图象求解即可。解析：解决本题可以利用数形结合法求解，bD.D.b如果利用常见的比较大小的方法难以解决,如图分别画出函c但是可1数y （-）x、y 2x、y log2x、y2log!x的图象，图2象之间的交点分别是 a a、b b、c c,由图象易知择 A A。点评：解决本题需要函数的思想，把 a a、b b、c c 对应的值看成相 应函数的交点的值，而函数的

5、图象容易画出，由交点的情况容 易知道 a a、b b、c c 的大小关系。函数的图象确实是解决函数问题a b c，所以选解：令 t t =3x，则问题等价于方程t2(4 a)t 40在(0,)上有两个实根。点所在区间，由于 f f (1 1 )= 1 1 202010 ,所以在(1,2)。点评：由于函数 y y = f f (x x)的零点就是方程 f f (x x)= 0 0 的根，所以在研究方程的有关问 题，如：比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以将方程问题 转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决3 3、构造函数利用性质例 4 4、已知33251点

6、评：曰. W量天系。4 4、构造函数模型解决实际问题(4 a)21624 a令 f f( (t t)=t2(4 a)t 4，则有02f (0)40解得 aa 8.8.点评：解决本题注意问题的等价转化，把方程问题转化为函数的零点分布解决，应该注意转化为在区间(0 0,+)上有两个实数根。本题常常因为转化不等价产生错误。3 3 :设函数2的图象的交点为(沧，y0)，则x0所在的区间是解:(0,1)B B -(11)C C-(2,3)D D -(3,4)根据函数与方程关系，两函数图象交点即转化为求函数f(x) x3(g)x2的零的值。解。分析：两方程常数项不同，因此,不能将看作一个方程的根而直接用韦

7、达定理求解:1)32(1) 2f(x)所以1)3x32(1)2x1)32(1)0变形,得(1)32(1)20，构造函数2，则 f f( (x x)在 R R，所以=2.2.f(1)f(1解决本题通过构造适当的函数，利用单调性找等量关系，有时利用奇偶性找等解：令 t t =3x，则问题等价于方程t2(4 a)t 40在(0,)上有两个实根。例 5 5、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的t a116（a为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题:（IIII）由题意得：当空气中每

8、立方米的含药量降低到0.25毫克以下时应该满足第二个函数的1解析式，即（丄）七0.10.25，解得t 0.6，所以至少需要经过 0.60.6 小时学生才能够进入教16室。点评：新课标加大了对应用问题的考查，通过近几年考题观察，函数的应用问题也正悄然变化，即情景文字与图形的结合考查，本题涉及一次函数、指数函数等知识，理解题意、看 懂图表、图象是求解本题的关键。图象信息题是由图象给出数据信息，探求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的题型。采用分段函数进行函数建模，解决关键是对自变量 x x 的取值进行合理分段。不同分段上的函数式选择不同的函数模型进行合理表达，渗

9、透了分类讨论数学思想方法。5 5、变函数为方程，求解值域ax b例 6 6、已知函数y2（x R,且 a 0）的值域为1 1, 4 4，求常数 a a, b.b.x 1ax b解：因为函数y2（x R,且 a 0）的值域为1 1, 4 4,所以对于任意x 1ax b2x 1,4必有x R使y2成立，所以关于 x x 的方程y（x 1） ax b有实根,X1b即方程yx2ax(yb)0，若 y y= 0 0,则xR;a若y 0,则2a4(yb)y 0，即4y24by2a0,而1 y 4.所以方程4y24by2a 0的两根为一 1 1, 4 4,由根与系数关系，得 b b= 3 3,a216,故a

10、 4,b3.点 评 ： 本 例 在 于 构 造 出 关 于x x 的 一 元 二 次 方 程 后 ， 借 助 判 别 式 解 决 问 题 ， 它 是 方 程 思（I I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（IIII）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 _小时后，学生才能回到教室.解析：（I I）由图象易知函数应该是分段函数，当0 t 0.1时，设解析式为 y y= kxkx,由于图象经过（0.10.1, 1 1）代入函数的解析式得： y y= 10 x10 x ；当0.1t时

11、，函数为类指数型，且图象也经过（ 0.10.1, 1 1 ）代1t a入y中，得 a a= 0.10.116所以函数的关系式为:10 xy(討10 t 0.1t 0.1函数关系式为y4想的一个体现。用判别式解题，关键在于构造一个适当的一元二次方程，让需要研究的量处于方程系数位置上。4例 7 7、对于函数 y y= f f (x x) (xD)，若同时满足下列条件：f f (x x)在 D D 内为单调函数；存在区间a,b D,使 f f( (x x)在a,b上的值域为a,b，那么 y y= f f( (x x)叫闭函数,若 y y= k k +.x 2是闭函数，求实数 k k 的取值范围。解：

12、由题意知存在a,b)，使的 y y = k k +x 2在a, b上的值域为a,b,因为 y y= k k+x2在2,)上是增函数，所以abk. ak. b2,所以 a a、b b 是方程 y y = k k2+一x 2的两个相异的实根 ，由x x=k k +x 2x 2x kx 2x k(xk)2x2(2kx k1)x k220，即方程2x (2k1)xk22 0在k,)上有两 个 相异的实根。设g g ( x x )=(2k 1)24(k22)0222k 19x2(2k1)x k220，则有k，解得-k 2o24g(k) k2(2k 1)k k22 0点评：上面的例题用方程的观点把函数与方

13、程紧密联系起来，应用方程的知识使得问题得以解决。本例题意新颖解决这类问题的关键是：一是熟读题目，搞清告诉的新概念、新运算、新函数；二是把掩盖在新概念下的知识挖掘出来，转化为已有的知识来解决。6 6、变直线与曲线的相交为方程直线与圆锥曲线位置关系是高考中反复考查的热点内容，主要考查直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时的弦长问题、弦中点或相关点轨迹问题，直线的倾角斜率问题，三角形面积问题，对称问题，存在性问题。在这类题目中常常涉及到方程的思想。X2例 8 8如图，直线y kxb与椭圆一4面积为S.(I I)求在k 0,0b 1的条件下，y21交于A,S的最大值;(II(II )当AB2,S1时，求

14、直线AB的方程.解(I):设点A的坐标为(x1,b)，点B的坐标为(x2,b),2由b21，解得x1;22 1 b2，所以1 ._S b|x!X2| 2b, 1 b2b21 b21 2当且仅当b2 2时，S取到最大值1.2故直线AB的方程是点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.由于直线与曲线的交点问题是由它们组成的方程组的解的问题，从而使几何问题代数化， 再从方程组的解分析中去认识交点问题，进而解决诸如交点坐标、弦长、中点等有关问题。三、两种思想的总结构造函数或方程并不是一眼就能看出来的，需要敏锐的洞察力，深层挖掘其内在联系， 构造函数与方程可以归纳为：（1 1）观察题目类型和结构，构造出所求问题的函数或方程模型；（2 2 ）利用有关函数或方程的定理、性质等，得出相应的结论；（3 3 ）将函数或