数与式方程与不等式知识点

1、欢迎共阅【第一单元数与式】第1课时实数1 .数轴规定了、的直线，叫做数轴.和数轴上的点是对应的.2 .相反数(1)实数a的相反数为;(2)a与b互为相反数？;(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离.4.绝对值在数轴上表示一个数的点离开, 0的绝对值是,负数的绝对值是它的3 .倒数(1)实数a的倒数是,其中a0;(2)a和b互为倒数？的距离叫做这个数的绝对值.即一人正数的绝对值等于它即|a|=.错误！1.按实数的定义分类2.按正负分类实数实数1 .若x3.在实数范围内运算顺序是：先算,再算_，最后算,有括号的先算 同一级运算，从到依次进行计算.考点六零

2、指数、负整数指数嘉若aw0,则a°=_;若aw0, n为正整数，则a n=.考点七实数大小比较1.在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数:两个负数比较，绝对值大的反而 .设a、b是任意两个数，若 a b>0,则a b:若ab=0,则a b:若a b<0,则a b.3.实数大小比较的特殊方法开方法：如3>2,则;商比较法：已知 a>0、b>0,若>1,则a b;若=1,则ab;若v 1,则ab.近似估算法；中间值法.4. n个非负数的和为 0,则这n个非负数同时为 0.如:若 |a|+ b2+ = 0,则 a= b= c= 0.

3、第2课时整式及因式分解1.单项式和多项式统称整式 .单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的=a(a>0),则x叫做a的,记作士正数a的叫做算术平方根，记作.2 .平方根有以下性质(1)正数有两个平方根，它们;(2)0的平方根是0;负数没有平方根.3 .如果x2.单项式中的数字因数叫做单项式的:单项式中所有字母的叫做单项式的次数.3.多项式中，每一个单项式叫做多项式的 项，其中不含字母的项叫做 常数项；多项式中次数的次多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m + n)(a +b)= ma+ mb+ na+ nb.4

4、.整式的除法 一一一j单项式除以单项式，把 相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加.5.乘法公式(1)平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=(2)完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去沱们的积的2倍，即(a切2=考点三因式分解1.因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)把工个多项式化为几个整式的积的形式,.这种运算就是因式分解.(2)因式分解与整式乘法是互逆运算2.因式分解的常用方法(1)提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同

5、的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式.提公因式法用公式可表示为ma+mb+mc=，其分解步骤为：确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次哥的乘积.将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式.(2)运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即a2- b2 =, a2±2ab+b2 =a,那么x叫做a的立方根，记作.考点四科学记数法、近似数、有效数字1 .科学记数法把一个数N表示成aX10n(1w|a|v10,n是整数)的形式叫科学记数法.当|N|>1时，n等于原数N的整数位数减1;当|N|<1且NW0时，n是

6、一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零).2 .近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第个不为0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.考点五实数的运算1 .实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、六种，其中减法转化为运算，除法、乘方都转化为运算.|,''''2 .有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算律有：、数就是这个多项式的次数.1 .整式的加减(1)同类项与合并同类项所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项.把多项式中

7、的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.(2)去括号与添括号括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“十”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”号，去掉括号和它前面的“一”号，括号里的各项括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是”号，括到括号里的各项都改变符号.(3)整式加减的实质是合并同类项.2 .哥的运算同底数哥相乘，底数不变，指数相加，即aman=(m、n都是整数).哥的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n=(m、n都是整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的哥相乘，即(ab)n=(n为

8、整数).同底数塞相除，底数不变，指数相减，即am9n=(aw。，m、n都为整数).3 .整式的乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数哥分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a+b+c)3.因式分解的一般步骤(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)二套：如果各项没有公因式，那么可以尝试套用公式法来分解；(3)三彻底：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.第珊时分式形如(A、B是整式，且B中含有字母，B)的式子叫做分式.(1)分式有无意

9、义：B=0时，分式无意义；Bw0时，分式有意义.(2)分式值为0:A=0且BW0时，分式的值为0.分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个的整式，分式的值不变.二，=(mw0);一.通分的关键是确定n个分式的确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先再取系数的,所有不同字母(因式)的的积为最简公分母.约分的关曜是确定分式的分子与分母中的确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先,取系数的,相同字母(因式)的的积为最大公因式.1 .分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即±=.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即±=.

10、2 .分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即=.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即=.3 .分式的乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即()k=(k是正整数).4 .分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的.运算结果必须是最简.分式或整式.分式的求值方法很多，主要有三种：先化简，后求值；由值的形式直接转化成所求的代数式的值；式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简.只有

11、双管齐下，才能获得简易的解法.第4课时二次根式式子(a昱0)叫做二次根式.最简二次根式必须同时满足条件：1.被开方数的因数是,因式是整式；5 .被开方数不含能开的尽方的因数或因式.几个二次根式化成后，如果相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.1 .(a>0)是_'数；2.()2=(a>0)；3 .=|a|=(a>0)m(av0)；4=(a>0,b>0);5.=(a>0,b).1 .二次根式的加减法先将各根式化为然后合并同类二次根式.2 .二次根式的乘除法二次根式的乘法：=(a>0,b);二次根式的除法：=(a>0,b>0).二次根

12、式的运算结果一定要化成【第二单元方程(组)与不等式(组)】第1课时一次方程(组)3 .等式及其性质用等号来表示相等关系的式子，叫做等式.等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.4 .方程的有关概念（1）含有未知数的,叫做方程.（2）使方程左、右两边的相等的未知数的值，叫做方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）.（3）求方程解的过程，叫做解方程.（4）方程的两边都是关于未知数的,这样的方程叫做整式方程.1 .一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于

13、0的方程，叫做一元一次方程.是一元一次方程的标准形式.2 .解一元一次方程的一般步骤（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.1 .二元一次方程组（1）几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组；（2）二元一次方程的一般形式：ax+by=c.2 .解二元一次方程组的基本思路：消元3 .二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法；（3）图象法.1 .列方程（组）解应用题的一般步骤（1）把握题意，搞清楚什么是条件，求什么；（2）设未知数；（3）找出能够包含未知数的等量关系（一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系）；（4）列出方程（

14、组）；'（5）求出方程（组）的解（注意排除增根）；（6）检验（看是否符合题意）；（7）写出答案（包括单位名称）.2.列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系.第2课时一元二次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的一般形式是1 .2.3.4.公式法：方程ax2+bx+c=。且b24ac>0,则x=.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题步骤一样，即审、找、设、歹h解、答六步.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）的根的判别式为=b24ac.1. b2-4ac>0?一元二次方

15、程ax2+bx+c=0（aw0）有两个不相等的实数根，则x1,2=;2. b2-4ac=0?一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）有两个相等的实数根，即x1=x2=;3. b2-4ac<0?一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）没有实数根；1,若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）有两根分别为x1、x2,则x+x2=,xx2=.2.（简.易形式_）若关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个根分别为xPx2,则x+x2=,xx2=第3课时分式方程1 .分式方程分母里含有=的方程叫做分式方程.2 .解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程，即分式方程整式方程.3

16、 .解分式方程的步骤去分母，转化为整式方程；解整式方程，得根；验根.4 .增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为一的根），因此解分式方程要验根（其方法是代入最简公分母中，使最简公分母为一的是增根,否则不是）.1 .分式方程的增根必须同时满足两个条件（1）是由分式方程化成的整式方程的根;（2）使最简公分母为零.2 .增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值.解答思路为：将原方程化为整式方程；确定增根；将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.1 .列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样.不同之处是列出的方程

17、是分式方程.2.应用问题中常用的数量关系及题型（1）数字问题.（包括日历中白数字规律）设个位数字为c,十位数字为b,百位数字为a,则这个三位数是日历中前后两日差,上下两日差.（2）体积变化问题.（3）打折销售问题.利润=成本；利润率=x100%.（4）行程问题.（5）教育储蓄问题.利息=本息和=本金X（1+利润X期数）；禾U息税=;贷款利息=贷款数额X利率X期数.第4课时一元一次不等式（组）1 .不等式用连接起来的式子，叫做不等式.2 .不等式的解使不等式成立的.的彳1,叫做不等式的解.3 .不等式的解集一个含有未知数的不等式的叫做不等式的解集.4 .一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数

18、的次数是且系数不等于一的不等式，叫一元一次不等式.其一般形式为5 .解不等式求不等式的过程或证明不等式的过程，叫做解不等式.1.不等式两边都加上（或减去）同一个一或同一个，不等号的方向,即若a<b,则a+c<b+c（或acvbc）;2 .不等式两边都乘以（或除以）同一个不等号的方向即若a<b,且c>0,则ac<bc（或v）;3 .不等式两边都乘以（或除以）同一个一不等号的方向,即若a<b,且c<0,则ac>bc（或>）.解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去,合并,系数化为1.列不等式解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）确

19、定包含未知数的不等量关系；（4）列出不等式；（5）求出不等式的解集；（6）检验不等式的解是否符合题意；（7）写出答案.考点五一元一次不等式组的有关概念1 .定义：类似于方程组，把几个含有相同未知数的合起来，就组成了一个一元一次不等2 .解集：几个不等式的解集的叫做由它们所组成的不等式组的解集.考点六一元一次不等式组的解法1 .解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的（一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来，由图形得出公共部分），就得到不等式组的2 .两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集一般情况可见下表（其中avb）:考点七一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式

20、组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解等.不等式组的特殊解，包含在它的解集中.因此，解决此类问题的关键是先求出不等式组的解集，然后求其特殊解.考点八一元一次不等式组的应用利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等量关系，列方的是不等式，解不等式组所得的结果通常为解集，根据题意需从解集中找出符合条件的答案.在列不等式时，“不超过”“不多于”等用连接，“至少”“不少于”等用连接.【第三单元函数】第1课时函数及其图象考点一函数及其图象1 .函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值的量为变量，有些数值是

21、的，称它们为常量.(2)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有的值与其对应，那么就说，x是,y是x的函数.(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式.2 .函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：、这三种方法有时可以互相转化.(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合意义或意义.3 .函数的图象：对于一个函数，把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的与在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象.(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线.(2)图象上

22、任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.1 .自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数.2 .自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数.3 .当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数.4 .当自变量出现在零次哥或负整数哥的底数中，它的取值范围是使底数不为零,一一的数二5 .在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分.第2课时一次函数考点一一次函

23、数的概念一般地，如果,那么y叫做x的一次函数.特别地，当b=时，一次函数y=kx+b就成为y=kx(k是常数，kw。)，这时，y叫做x的6 .由定义知：y是x的一次函数？它的解析式是,其中k、b是常数，且kw0.7 .一次函数解析式y=kx+b(kw0)的结构特征：(1)k0;(2)x的次数是(3)常数项b可为任意实数.8 .正比例函数解析式y=kx(kw0)的结构特征：(1)k0;(2)x的次数是;(3)没有常数项或者说常数项为考点二一次函数的图象1 .一次函数y=kx+b(kw0)的图象是经过点(0,b)和(一，0)的一条直线.2 .正比例函数y=kx(kw0)的图象是经过点(0,0)和(

24、1,k)的一条直线.欢迎共阅考点三一次函数的性质一次函数y=kx+b,当k>0时，y随x的增大而,图象一定经过第象限；当k<0时，y随x的而减小，图象一定经过第象限.考点四一次函数的应用1 .求一次函数解析式求一次函数解析式，一般是已知两个条件，设出一次函数解析式，然后列出方程，解方程组便可确定一次函数解析式.2 .利用一次函数性质解决实际问题设定实际问题中的变量； 建立一次函数关系式； 确定自变量用一次函数解决实际问题的一般步骤为：的取值范围；利用函数性质解决问题；答.第3课时反比例函数考点一反比例函数的定义kw0)叫做一般地，函数丫=或y=kxT(k是常数,y轴无交点.x与其对

25、应函数值y之积，总等x轴和y轴，但永不与x轴、y限，如图x的增大而1 .反比例函数y=中的是一个分式，所以自变量x0,函数与x轴、2 .反比例函数解析式可以写成xy=k(kw0),它表明在反比例函数中自变量于已知常数k.1 .反比例函数y=(kwo)的图象是因为xw0,kw0,相应地y值也不能为0,所以反比例函数的图象无限接近轴它的位置和I2 .反比例函数的图象和性质反比例函数y=(kw0)的图象总是关于原点对称的，性质受k的符号的影响.(1)k>0?图象(双曲线)的两个分支分别在一、三象所示.图象自左向右是下降的？当*0或*>0时，y随(或y随x的减小而增大).象限，如图所示.图

26、象自左向右是上升的?当x< 0或x(2) k<0?图象(双曲线)的两个分支分别在>0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小).考点三反比例函数解析式的确定由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以.得到关于待定待定系数法求解析式的步骤：设出含有待定系数的函数解析式；把已知条件代入解析式,系数的方程；解方程求出待定系数.考点四反比例函数图象中比例系数k的几何意义反比例函数y=(kw0)中k的几何意义：双曲线y=(kw0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为再利用图理由：如图和，过双曲线上任意一点P作x轴、PA、PB所得的矩形PAOB的面积S=PAPB=|y|x=|xy|;xy=k,S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的的矩形面积均为|k|,同理可得Saopa=Saaob=|xy|=|k|.考点五反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，象找出解决问题的方案，特别注意自变量的第4课时二次函数考点一二次函数的定义一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常