数学(文)二轮复习通用讲义：专题七第一讲选修4-4坐标系与参数方程

1、，第一讲选修4-4坐标系马参数方程选考内容第二讲选修4-5不等式选群第一讲选彳4-4坐标系与参数方程考情分析1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用.2全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.考点一极坐标方程及其应用典例感悟典例(2018全国卷I)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P2+2pcos。一3=0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若Ci与C2有且仅

2、有三个公共点，求Ci的方程.解(1)由x=pcos0,y=psin。得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为11,y轴左边的射线为12.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于11与C2只有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点.当11与C2只有一个公共点时，点A到11所在直线的距离为2,|-k+2|所以厂-=2,k+14故k=一2或k=0.3经检验，当k=0时，11与C2没有公共点；4当

3、k=4时，11与C2只有一个公共点，12与C2有两个公共点.当12与C2只有一个公共点时，点A到12所在直线的距离为2,|k+2|4所以t一=2,故卜=0或卜=W.k2+13经检验，当k=0时，11与C2没有公共点；当k=4时，I2与C2没有公共点.3八，一、一一,4综上，所求G的方程为y=-4|x|+2.3方法技巧1 .求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程.熟练掌握互换公式是解决问题的关键.2 .解决极坐标交点问题的一般思路(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极

4、坐标;(2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标.演练冲关曲线C的极坐标方程为(2018太原模拟)在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,0-3i;=1,M,N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标;(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解：(1)，pcos93'广1,pcos0cos3+psin。sin3=1.x=pcos9,1电又j2x+,=1，ly=psin0,即曲线C的直角坐标方程为x+gy2=0,令y=0,贝Ux=2;令x=0,贝Uy=2P.32.3.M(2,0),N3，233iM

5、的极坐标为(2,0), N的极坐标为2.3 2)M,N连线的中点P的直角坐标为Q 兀.P的极角为0=-,6直线OP的极坐标方程为兀0=6( pC R)考点二参数方程及其应用典例感悟x=2cos0,典例（2018全国卷n）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为34sine（eX=1+tcosa,为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.y=2+tsin（1）求C和l的直角坐标方程;（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2）,求l的斜率.22解曲线c的直角坐标方程为5y6=1.当cos/0时，l的直角坐标方程为y=tanax+2tan%当cosa=0时，l的直角坐标方程为X=1.（2）

6、将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1+3cos2力t2+4（2cosa+sin力t8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内,所以有两个解,设为tl,七，则tl+t2=0.42cosa+sina又由得t1+t2=-2，1+3cosa故2cosa+sina=0,于是直线l的斜率k=tan“=2.方法技巧参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解

7、决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.演练冲关(2018广东广州花都区二模)已知直线x= 1+；t,(t为参数)，曲线Ci ：x= cos 0,(。为参数).y= sin(1)设l与Ci相交于A, B两点，求|AB|；(2)若把曲线Ci上各点的横坐标缩短到原来的线C2,设P是曲线C2上的一个动点，求它到直线2倍，纵坐标缩短到原来的 日倍,得到曲l距离的最小值.解：(1)直线l的普通方程为y=43(x1),曲线 Ci的普通方程为x2+y2=1,由y=a(x-1 ) x2+y2=1,解得l与C1的交点坐标分别为(1,0),2,一堂),

8、故 |AB| =x= 1cos 0,(2)由题意得，曲线 C2的参数方程为 厂3y= 2 sin 9(0为参数),则点P的坐标是gcos e,兴in e)所以点P到直线l的距离d=332 cos 0 2 sin故当sin104；= 1时，d取得最小值，最小值为考点三极坐标方程与参数方程的综合应用典例感悟典例(2017全国卷出)在直角坐标系xOy中，直线11的参数方程为lx2+、(t为y=ktx=2+m,参数)，直线12的参数方程为mm(m为参数).设11与12的交点为P,当k变化片了时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设13：4c

9、os0+sin9J2=0,M为13与C的交点，求M的极径.解(1)消去参数t得11的普通方程11：y=k(x2)；消去参数m得12的普通方程12：y1 片kb2)22=k(x+2).设P(x,y),由题设得11消去k得x2y2=4(yw0).所以C的普通方程为x2y2=4(yw0).(2)C的极坐标方程为(co$20-sin20)=4(0<。v2兀，0*nt).联立2 2-2一一P(cos。一sin。尸4,11得cos0sin0=2(cos0+sin0).故tan0=3,从而cos0=Icos0+sin0J-也=0,今，sin20=110.代入p2(cos2。sin2。)=4得P2=5,

10、所以交点M的极径为迎方法技巧极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标系方程，然后求解.(2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.演练冲关x=cost.(2018沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线Ci的参数方程为(t|y=1+sint为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2+(y2)2=4.以平面直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线1的极坐标方程为0=a,0<“<兀.求曲线Ci,C2的极

11、坐标方程;(2)设A,B分别为射线l与曲线Ci,C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值.x=cost,解：(1)由曲线Ci的参数方程(t为参数)，消去参数t得x2+(y1)2=1,y=1+sint即x2+y22y=0,曲线C1的极坐标方程为p=2sin&由曲线C2的直角坐标方程x2+(y2)2=4,彳导x2+y24y=0,.曲线C2的极坐标方程为尸4sin0.0=a,(2)联立得A(2sina,a),|OA|=2sina,p=2sin0,0=a,联立£得B(4sina,a),.|OB|=4sina,p=4sin0,|AB|=|OB|-|OA|=2sina,.0<“&l

12、t;兀，.当”=乔,|AB|有最大值，最大值为2.课时跟检测x=t,1. （2018石家庄模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），y=2t以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P2+2psin。一3=0.（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A,B两点，求|AB|.x=t,解：（1）由S消去t得，y=2x,y=2tx=pcos0,把f代入y=2x,得psin0=2pcos0,y=psin0所以直线l的极坐标方程为sin0=2cos0.(2)因为p2=x2+y2,y=psin也所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2y3=0,

13、即x2+(y+1)2=4.圆C的圆心C(0,1)到直线l的距离d=涯,5所以|AB|=2y4d2=为譬.rX=2cosa,2. (2018益阳、湘潭模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为“(ay=sina为参数).以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为pcosU+3;=2.直线l与曲线C交于A,B两点.(1)求直线l的直角坐标方程；(2)设点P(1,0),求|PA|PB|的值.解：(1)由 pcos。+； /= 2得 pcos 0cos3：伊而兀1目口1八迅.八10sin3=3，即apcos9-2pBin9=",又pcos0=x,psi

14、n0=y,，直线l的直角坐标方程为x-3y-1=0.X=2cosa,(2)由5(a为参数)得曲线C的普通方程为x2+4y2=4,y=sinax=-23t+1,(t为参数),.P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为v=2t将其代入x2+4y2=4得7t2+443t12=0,- t1 t2 =127，12故|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=了.3.(2018南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为x=V3+2cosa,、y=2+2sina3(a为参数)，直线C2的万程为y=-x,以。为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标3系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐

15、标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于P,Q两点，求|OP|OQ|的值.p2 2V3 pcos 0 4 psin 0+ 3 =解：(1)曲线Ci的普通方程为(x，3)2+(y2)2=4,即x2+y22j3x4y+3=0,则曲线Ci的极坐标方程为0.;直线C2的方程为y=-3x,，直线C2的极坐标方程为e=3(pCR).36(2)设P(p1,吐Q(p2,02),将°=6(pCR)代入P22V3pcos94psin升3=0得，-5p+3=0,仍因=3，：|OP|OQ|=piP2=3.rX=tcosa,4. (2018福州*II拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C:S(a为参数，t>

16、0).在y=sina以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l:pcos94尸V2.(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；6(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为+"+42,求t的值.解：(1)因为直线l的极坐标方程为pcos94/=V2,即pcos0+psin0=2,所以直线l的直角坐标方程为x+y2=0.X=tcosa,因为(a为参数，t>0),y=sina所以曲线C的普通方程为xr+y2=1(t>0),x+y=2,由卜22消去x得，(1+t2)y24y+4-t2=0,所以A=16-4(1+t2)(4-t2)<0,又t>0,解得0<

17、;t<m,故t的取值范围为(0,V3).(2)由(1)知直线l的方程为x+y2=0,故曲线 C上的点(tcos a, sin力到l的距离d=|tcosa+sina2|x/t?+1+26故dmax=一J2=226+V2,解得t=02.又t>0,t=J2.X=3cosa,5. （2018重庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为"（a为参y=v3sina数），以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为pcos。+4i=3卷（1）求曲线Ci的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点M在曲线Ci上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值

18、及此时点M的直角坐标.解：（1）由曲线Ci的参数方程可得曲线Ci的普通方程为t+yl,由PCos；=3/2,得pcos0psin0=6,1-曲线C2的直角坐标方程为xy6=0.（2）设点M的坐标为（3cos3,V3sin队点M到直线x-y-6=0的距离d=13cos3-正而3-6|卜V3sin133/+6|6+2V3sin。3）/V2V2，当sin133广-i时，|MN|有最小值，最小值为342寸6,此时点M的直角坐标为（3由_亚）6. （20i8昆明模拟）在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为a的直线l过点A（2,i）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为p=2

19、sin。，直线l与曲线C分别交于P,Q两点.（i）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若|PQ|2=|AP|AQ|,求直线l的斜率k.x=2+tcosa,解：（i）由题意知直线l的参数方程为f（t为参数），y=i+tsina因为p=2sin0,所以f2=2psin0,把y=psin0,x2+y2=，代入得x2+y2=2y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（4cos力t+3=0,由A=(4cos42-4X3>0,得coso>4,由根与系数的关系，得ti+t2=4cosa,tit2=3.不妨令|AP|=|t|,

20、|AQ|=|t2|,所以|PQ|=|ti12,因为|PQ|2=|AP|AQ|,所以(tit2)2=«i|同,则(ti+12)2=5tit2,得(-4cosa)2=5X3,解得所以COSa=襄，满足COSo>3,164212J_sina=16tana=否所以,15k= tan a= ±15 .7. （2019届高三湘东五校联考）平面直角坐标系xOy中，倾斜角为“的直线l过点M（2, 4）,以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.2八-八psin0=2cosa（1）写出直线l的参数方程（“为常数）和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与C交于A,B两点，且|MA|MB|=40,求倾斜角a的值.X=2+tcosa,解：（1）直线l的参数方程为5（t为参数），y=4+tsina222psin0=2cos0,即psin0=2pcos0,将x=pcos0,y=ps