数学(理)人教A新设计大一轮讲义+习题：第四章第6节正弦定理和余弦定理

1、第6节正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题叵.顾教材，夯实基础I知识衍化你验知识梳理1 .正、余弦定理则在ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆半径,定理正弦定理余弦定理公式q=3=2RsinAsinBsinCa2=b2+c22bccos_A；b2=c2+a22cacos_B；c2=a2+b22abcos_C常见变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=2r,sinB-2R,sinC-2R;(3)a：b：c=sin_A：sin_B：sin_C；(4)asinB=bsinA,bsinC

2、=csinB,asinC=csinAb2+c2a28sA=2bc；c2+a2b2cosB=o;2aca2+b2c2cosC=o.2ab一一1-11_abc12.SABc=/absinC=2bcsinA=/acsinB=%R=2(a+b+c)r(r是二角形内切圆的半径)，并可由此计算R,r.3.在4ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形cAR*AB；通4f"HAB.关系式a=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b解的个数一解两解一解一解无解微点提醒1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos

3、(A+B)=cosC;A+BCA+BC(3)sin2=cos2；(4)cos-2=sin.2 .三角形中的射影定理在ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.3 .在AABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.基础自测疑误辨析1 .判断下列结论正误(在括号内打或"X”)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sinA>sinB,贝UA>B.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)

4、当b2+c2a2>0时，zABC为锐角三角形；当b2+c2a2=0时，ABC为直角三角形；当b2+c2a2<0时，zABC为钝角三角形.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2+c2a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)X(2)，(3)X(4)X教材衍化2 .(必修5P10A4改编)在ZXABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则/BAC=()A.7B.ZC.22cD.55t6336解析在ABC中，设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos/BACb2+c2-a29+2549=2

5、bc=302，由AC(0,兀)，得A=M即/BAC=§33答案C3 .(必修5P10B2改编)在AABC中，acosA=bcosB,则这个三角形的形状为解析由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=九一2B,一，、冗即A=B或A+B=2,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形考题体验.兀兀一.4 .（2018沈阳质检）已知4ABC中，A=g,B=4,a=1,则b等于（）A.2B.1C. 3D. .2解析由正弦定理sin A- sin B'/口 1 b行一Hsin6sin41.一, 12量b=也.

6、2答案D5.(2018 全国 H 轿AABC 中,C 58s 2=5, BC=1，AC = 5,则 AB=()A.4 2B. .30C. 29D.2 5解析 由题意得cos C = 2coS2C2 1 = 2X35.在4ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC22ACXBCXcosC=52+122X5X1X所以AB:4也.答案A6.（2019荆州一模）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=22,3cosA=4，sinB=2sinC,则ABC的面积是3.,一解析由sinB=2sinC,cosA=4,A为AABC一内角可得b=2c,sinA=/cos2A=乎,由a2=b2+c2

7、2bccosA,可得8=4c2+c23c2,解得c=2（舍负），则b=4.117SABc=/bcsinA=2X2X4X彳=7.答案7I考点聚焦突破Is舞舞跳糠疆战例求法一考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】（1）（2017全国田卷）4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b="/6,c=3,则A=(2019枣庄二模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(cb)sinC,则A=()A.尚B.微C.D.胡6363（2018全国出卷）4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4ABC的用工口加a2+b2c2面

8、积为4，则C;（）A九A.2B.3八九C.4_ jtD.6bsincm*坐也解析（1）由正弦定理，得sinB=bsinC=c32结合b<c得B=45°,则A=180°BC=75°.(2)(a+b)(sinA-sinB)=(cb)sinC,;由正弦定理得(a+b)(ab)=c(cb),即b2+c2a2=bc.b2+c2-a21冗所以cosA=2bc=2，又AC(0,nt)所以A=3.(3)因为a2+b2c2=2abcosCa（2）（2019关B州二模）在 ABC中，A, B, C的对边分别为acos 2C=1, 4sin B = 3sin A, ab=1,则

9、c 的值为()+b2c2且SaABC=4,2abcosC1,所以Sabc=4=2absinC,所以tanC=1.一_、一一九又CC(0,nt)故C=4.答案(1)750(2)B(3)C规律方法1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练11（1）（2017全国I卷）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b

10、,c.已知sinB+sinA(sinCcosC)=0,a=2,c=,贝UC=()冗A.12冗B.6冗C.4冗D.3b,*2co产A. .13B. 7C.37D.6(3)在AABC中，已知a=2,b=<6A=45。，则满足条件的三角形有（A.1个B.2个C.0个D.无法确定解析(1)由题意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,fl 04sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0,因为C(0,则sinC(sinA+cosA)=/sinCsin：A+冗)所以sinCw0,所以sin£+4=0,又因为AC(0,%所以A+广乃所以A=34p

11、由正弦定理尸=.c得=乎小,sinAsinC，sin3jrsinC'则sinC=1,又CC(0,nt)得C=J.262A+B由2cos2cos2C=1,2A+B可得2cos21cos2c=0,2_则有cos2C+cosC=0,即2cosC+cosC1=0,-1,、人解得cosC=2或cosC=1(舍)，由4sinB=3sinA,得4b=3a,又ab=1,联立，得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2abcosC=16+9-12=13,贝Uc=V13.(3)bsinA=优x乎=窗，bsinA<a<b.满足条件的三角形有2个.答案(1)B(2)A(3)B考点二判断三角形的形状

12、c【例2】(1)在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若g<cosA,则AB()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设4ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则AABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定csinC斛析(1)b<cosA,得sn_B<cosA,又BC(0,K)所以sinB>0,所以sinC<sinBcosA,即sin(A+B)<sinBcosA,所以sinAcosB<0,因为在三角形中sinA>0,所以cosB<

13、;0,即B为钝角，所以ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A, .sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A. AC(0,nt)sinA>0,sinA=1,即A=,.ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】若将本例(2)中条件变为“c

14、acosB=(2ab)cosA”，判断ABC的形状.解cacosB=(2ab)cosA,C=n(A+B),由正弦定理得sinCsinAcosB=2sinAcosAsinBcosA,sinAcosB+cosAsinBsinAcosB=2sinAcosAsinBcosA,cosA(sinB-sinA)=0,cosA=0或sinB=sinA,A=1l£B=A或B=九一A（舍去）.ABC为等腰或直角三角形.考点三和三角形面积、周长有关的问题.多维探究角度1与三角形面积有关的问题【例31（2017全国田卷）zABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+V3cosA=0,a=24

15、,b=2.求c；设D为BC边上一点，且ADXAC,求4ABD的面积.解由sinA+，3cosA=0及cosAw0,得tanA=。3,又0<A<砥2兀所以A=2T.3由余弦定理，得28=4+c24ccos3即c2+2c24=0,解得c=6（舍去），c=4.斤一一一.厅由题设可得/CAD=2,所以/BAD=/BAC/CAD=6.故 ABD与4ACD面积的比值为2AB ADsin6 j i乂匕ABC的面积为2X4X2sin/BAC=243,所以4ABD的面积为水.角度2与三角形周长有关的问题【例32（2018大理模拟）在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asinB=

16、，3bcosA.若a=4,则ABC周长的最大值为ab解析由正弦定理丸二期,可将asinB=43bcosA转化为sinAsinB=43sinBcosA.又在ABC中，sinB>0,sinA=gcosA,即tanA=5.冗.0<A<阳.Af3由余弦定理得a2=16=b2+c22bccosA226+c2=(b+c)-3bc>(b+c)-3-,<2J则(b+c)2&64,即b+c08(当且仅当b=c=4时等号成立)，.ABC周长=a+b+c=4+b+c<12,即最大值为12.答案12111.一规律方法1.对于面积公式S=2absinCacsinB=_2bcs

17、inA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【训练3】（2019潍坊一模）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cosB+bcosA=0.求B;（2）若b=3,ABC的周长为3+2q，求ABC的面积.解（1）由已知及正弦定理得(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,sin(A+B)+2sinCcosB=0,)sin Cw0,又sin(A+B)=sinC,且CC(0,n cosB=1,.0<B<兀,B：2九.23

18、由余弦定理，得9=a2+c22accosB. a2+c2+ac=9,JM(a+c)2ac=9.a+b+c=3+2#,b=3,.a+c=2V3,-11八.33,3.ac=3,SaABC=2acsinB=2X3X=4.反思与感悟思维升华1 .正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2 .在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解222a2+b2-c23 .在4ABC中，若a2+b2<c2,由cosC=-高一<0,可知角C为钝角，则4ABC2ab为钝角三角形.易错防范1 .在利用

19、正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.2 .在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.I分层限时训缥I分层训练患翼拓能为-基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.（2016全国I卷）4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=，5,c=2,cosA=（,则b=（）3A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5=b2+222XbX2x2,解得b=31=&

20、#39;舍去j答案D2.在4ABC中，cos22|=奈（a,b,c分别为角A,B,C的对边），则4ABC的形22C状为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2Ba+c解析因为coS5=7二,22C2Ba+ca所以2cos稔1=-1,所以8sB=C，a2c2-b2a222所以一豆一所以c2=a2+b2.2acc所以ABC为直角三角形.答案B3.（2019石家庄一模）在ABC中，AB=2,C=W，则AC+，3BC的最大值为（）A.7B.2.7C.37D.4.7一，一，.,冗解析在4ABC中，AB=2,C=6,nt,ABBCAC，入sinCsinA-sinB-&

21、#39;WJAC+V3BC=4sinB+4>/3sinA=4sin阻A!；+4*V3sinA=2cosA+6V3sinA=4gsin（A+九（其中tan4）.所以AC+gBC的最大值为4s.答案D“3sin2C4.（2019开封,g拟）在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=%3773COsC=2sinAsinB,且b=6,贝Uc=（）A.2B.3C.4D.6解析在4ABC中，A=a，b=6,3a2=b2+c22bccosA,即a2=36+c26c,p3sin2C3c2又sC=2sinAsinB，.旗=2犯3c2a2+b2-c222即cosC=2ab=2ab，a+36=4

22、c,（2由解得c=4或c=6（不合题意，舍去）.因止匕c=4.答案C5.（2018全国I卷改编）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2a2=8,则AABC的面积为（）C. 64,3D*2；3B.甘解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,口小八1易知sinBsinCw0,sinA=2.又b2+c2a2=8,b2+c2a24cosA=2bc=i'贝UcosA>0.cosA=-23,即bc=-23,贝1bc=833.1ABC的面积S=2bcsin

23、A=2x833x1=23.答案B二、填空题6.（2018浙江卷）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=J7,b=2,A=60,则sinB=,c=.解析由SaA=SbB，得sinB=bsina=军,又a2=b2+c22bccosA,c2-2c-3=0,解得c=3（c=1舍去）.答案号37.（2019合肥卞g拟）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设八ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=">41202_a+2b）1若a2sinC=4sinA,（a+c）2=12+b2,则用“三斜求积”

24、公式求得ABC的面积为.解析根据正弦定理及a2sinC=4sinA,可得ac=4,由(a+c)2=12+b2,可得a2+c2b2=4,所以SaABc=d，a2c2a+(2b、=勺4乂(164)=V3.答案,38.在AABC中,a, b, c分别是内角A, B, sin B=*，Saabc = ¥,则 b 的值为C的对边，且B为锐角，若鬻=sin B 2b解析由 SaABC =157d二/曰 12acsin B= 4 且 sin B= 4 得2ac=5,sinA5ca5c5一由各前2b?b=2b?a=2c，联立，得a=5,且c=2.73由sinB=/且B为锐角知cosB=4，由余弦定理

25、知b2=25+42X5X2x4=14,b=W4.答案.14三、解答题19.(2018北乐卷)在4ABC中，a=7,b=8,cosB=7.求/A；(2)求AC边上的高.1解(1)在4ABC中，因为cosB=7,所以sinB=4-cos2B=473.由正弦定理得sinA=asnB=*.b2.一一、一.兀,兀由题设知2</B<Tt,所以0</A<2.一兀所以/a=3.3(2)在ABC中,3、:3因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=4,所以AC边上的高为asinC=7X3143=323.10 .已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a

26、2ab2b2=0.一冗，、一若B=6,求A,C;,2兀，、一(2)若C=W，c=14,求S"bc.3解(1)由已知B=6,a2-ab-2b2=0结合正弦定理化简整理得2sin2AsinA-1=0,1.于是sinA=1或sinA=(舍).一-，一-开因为0<a<tt,所以A="2,又A+B+C=兀,所以c=九一26=3.(2)由题意及余弦定理可知a2+b2+ab=196,由a2ab2b2=0得(a+b)(a2b)=0,因为a+b>0,所以a2b=0,即a=2b,联立解得b=2币,a=4巾.所以SaABc=/absinC=145.能力提升题组（建议用时：20分钟）11 .ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=22,bcosA+3acosB=2,则ABC的外接圆面积为（）A.4兀B.8兀C.9兀D.36九解析由题意及正弦定理得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2Rsin(A+B)=2(R为ABC的外接圆半径).即2RsinC=2.又cosC=2j§及C(0,nt)知sinC=；332R=snC=6,R=3.2故ABC外接圆面积S=7R=9tt.答案C12 .（2019武汉卞K拟）在ABC中，C=§,AB=3,则AABC的周长为（3A.6sin'A+；f f+ 31 3C.2Z3sin8