数值分析试题及答案

1、数值分析试题填空题(20X2')欢迎共阅1.,X-2设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字”3.2.若f(x)=x7x3+1,则f20,21,22,23,24,25,26,27=l,f20,21,22,23,24,25,26,27,28=03 .设，IIAII5,口X|-3,IIAX|qp<1504 .非线性方程f(x)=0的迭代函数x=?(x)在有解区间满足|?«x)|<1,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5 .区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到2阶的连续导数。6 .当插值节点为等距分布时，若所求节

2、点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。n7 .拉格朗日插值公式中f(xi)的系数a(x)的特点是：工ai(x)=1;所以当系数ai(x)满足a,(x)>1、计iH算时不会放大f(xi)的误差。；.一；II8 .要使J20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取4位有效数字。9 .对任意初始向量X(0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1，)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是烟<1。、Ij10.由

3、下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5.ii-：11x00.511.522.5y=f(x)-I-2-1.75-10.2524.2511 .牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。12 .线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1，,n)来实现的，其中的残差ri=(bi-ai1x1-aj2x2-包乂。回,(i=0,1，,n)。13 .在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点xo的选取依据为f(x0)f”(x0)>0。14 .使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初俏、迭代计算、判断

4、题(10X1')(X)1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b一定可以使用高斯消元法求解2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。(?)3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX=b高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。(X)4、样条插值一种分段插值。(?)5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。(?)6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差,(：)7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。(X)8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始

5、估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。(X)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍.XLIIII|入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(X).三、计算题(5X10，)1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答:(1,5,2)最大元5在第二行，交换第一与第二行:L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为:(-0.2,2.6)最大元在第三行，交换第二与第三行:回代得:L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化为:X1=3.00005x2=5.99999、x.=1.00010332、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下

6、列表中插值条件的四次插值多项式P4(x),并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f'(xi)15解答:做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2111tli-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)(：)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)/IIjB*jI3-对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比

7、迭代法和高斯一一赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答:交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:施1匕迭代公式：=1长潸血3容衰x3(2)»寸直分析试题x24x3-x4=8!x一二单项选择外窜5x3告共15分)'11.已知准确值x*与其有41位有效数字的近似值x=0.0aia2anX10s(ai初的绝对误差犷一x?().(A)0.5X10s1t(B)0.5X10st(C)0.5XIO-1t(D)0.5X10s+t(C)一21._101015-12-101,(B)0-12-11-00-121i

8、i02.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为().21041014101240(D)211410-1413153.过(0,1),(2,4),(3,1)点的分段线性插值函数P(x)=()3x10HxM23x10_x_2(A)2(B)22._一-3x102二x<3-3x102：x<333x-10MxM2x10MxM2(C)12(D)23x+102<x<3-x+42cxM34.等距二点的求导公式是()(A)一，、1，,、f(xk)=(-yk+yk+)h11.、f(xk1)(yk-yk1)h、1,、f(xk)=(yk-yk+)h1.、f(xk1)(yk-yk1)h(C)一，、1,、f

9、(xk)=丁(-yk+yk+)1f(xk1)(yk1-yk)h(D)5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么yp,yc分另)为().，p=Vk+hf(xk,yjjc=yk+hf(x1,yk)"p=yk+hf(xkmYk)yc=yhf国，Yp)Yp=yk+f(xk,yk)Yp=yk+hf(xk,yk)(C)(D)*=yk+f(xk,yp)jc=yk+hf(xk+,yp)二、填空题(每小题3分，共15分)6.设近似值x1,x2满足融)=0.05,1x2)=0.005,那么作忆尸.7.三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk尸yk(已知)，k=

10、0,1,2,n,且满足S(x)在每个子区同xk,xk+1上是.bnn8 .牛顿科茨求积公式f(x)dx电£Akf(xk),则工Ak=.ak=0k20II9 .解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数？x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是预报值：ykHt=yk+hf(xk,yk),校正值：yk+1=.三、计算题(每小题15分，共60分)11 .用简单迭代法求线性方程组的X(3).取初始值(0,0,0)T,计算过程保留4位小数.12 .已知函数值f(0)=6,f(1)=10,f=46,f=82,f

11、(6)=212,求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4,1,3).13 .将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分f1+x2dx,计算过程保留4位小数.114 .用牛顿法求J而的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数.四、证明题(本题10分)15 .证明求常微分方程初值问题在等距节点a=xo<xi<<xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y(xk+i)yk+i=yk+f(xk,yk)+f(xk+i,yk+i)2其中h=xk+ixk(k=o,i,2,n1)计算机数学基础(2)»数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.

12、A2.B3.A4.B5.D二、填空题(每小题3分，共15分)16 0.05次2,+0.005*xi*7.3次多项式h17 b-a9.阳x)港<ii0.yk+2f函,yj+f乂%y1)hf(xk+1,y.).三、计算题(每小题15分，共60分)18 .写出迭代格式X(0)=(0,0,0)T.得到得到得到X(1)=(2.5,3,3)TX(2)=(2.875,2.3637,1.0000)TX(3)=(3.1364,2.0456,0.9716)T.19 .计算均差列给出.f(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差06,11104,yI,3461814/34823661/362126529/311

13、/151/15“、1f(0,1,3,4,6)=15f(4,1,3)=62.213 .f(x)=V1+x,h=-=0.25.分点Xo=1.0,xi=1.25,x2=1.5,x3=1.75,x4=2.0,x5=2.25,xe=2.50,x7=2.75,x8=3.0.8函数值：f(1.0)=1.4142,f(1.25)=1.6008,f(1.5)=1.8028,f(1.75)=2.0156,f(2.0)=2.2361,f(2.25)=2.4622,f(2.50)=2.6926,f(2.75)=2.9262,f(3.0)=3.1623.+2(f(xi)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5)+

14、f(x6)+f(x7)(9分)025X1.4142+3.1623+2X(1.6008+1.8028+2.01562+2.2361+2.4622+2.6926+2.9262)=0.125X(4.5765+2X15.7363)=4.506114 .设x为所求，即求x2115=0的正根.f(x)=x2115.因为f1x)=2x,f7x)=2,f(10)f/10)=(100115)X2<0,f(11)f211)=(121115)X2>0取xo=11.有迭代公式xk+i=xkf=XkJ2-115=吐+些出=0,1,2,)f(Xk)2Xk22Xk11115xi=一十=10.7273221110

15、.7273115X2=+=10.72382210.727310.7238115X3=+=10.72382210.7238x*10.7238四、证明题(本题10分)15 .在子区间Xk+1,Xk上，对微分方程两边关于X积分，得xk1y(xk+。-y(Xk尸f(x,y(x)dx用求积梯形公式，有hy(xk+1)-y(xk)=2f(xk,y(x。)+f(xk书，y(xk+)将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到，、一.h一y(xk+1)%k+kyk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2,，n1)2数值分析期末试题一、填空题(2M10=20分)1 5-21(1)设

16、A=-210，则ML=13。3 -822x15x2=102.51(2)对于方程组J,Jacobi迭代法的迭代矩阵是BJ=I10x1-4x2=312.503*(3) Vx的相对误差约是x的相对误差的xn 1 - xnxn - f(xn)1 f'(xn)WJ.I(4)求方程x=f(x)根的牛顿迭代公式是'I(5)设f(x)=x3+x1,则差商f0,1,2,3=1(6)设nMn矩BG的特征值是看,%,，*un，则矩阵G的谱半径G)=max-已知A J|1一021，则条件数 Condoc(A) =9(8)为了提高数值计算精度，当正数x充分大时，应将ln(x4x2-1)改写为ln(x +

17、 Jx2+1)(9)n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n -1次13、(1。)拟合二点(x1,f(xj),(x2,f(x2),(x3,f(x3)的水平直线是y=-Xf(xj。3ij2x1一x2x3=1(10分)证明：方程组(x1十x2+x3=1使用Jacobi迭代法求解不收敛性。x1x2-2x3=1证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为Bj的特征多项式为Bj的特征值为Zi=0,九2=J125i,九3="125i，故P(Bj)=J125>1,因而迭代法不收敛性。三、(10分)定义内积试在H1=Span%,x中寻求对于f(x)=xx的最佳平方逼近元素p(x)。解:1(0,

18、 0)= 0 dx111=1 ,(Q3o) = ( xdx =2 ,(Q,9 1)=12x dxf)= I Xdx=：(1,f)xvxdx =。 05法方程解得c015C112_ 口山、一十,O所求的最佳平方逼近元素为 154 p(x)=1512-+ x , 0 < x < 1 15四、(10分)给定数据表试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据一11-2-11110 ,0010010034034034013050x-2-1012y-0.10.10.40.91.6O解：y(x);c0c1xc2x2c3x3法方程的解为 Co =0.4086 , ci =0.39167,C2=0.0857 , C30.00833得到三次多项式误差平方和为；:3=0.0001943五.(10分)依据如下函数值表012419233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f(2.2),并在假设f(4)(x)M1下，估计计算误差。解:先计算插值基函数所求Lagrange插值多项式为1134521口田L3(x)=Xf(xi)li(x)=l°(x)十9lx)+2312(x)十313(x)=x+xx+1从而y442f(2.2)-L3(2.2)=25.0683。(4) .据误差公式R3(x)=(