专题冲刺满分模块综合串讲二课后练习

1、专题 冲刺满分-模块综合串讲(二) 课后练习主讲教师：数学高级教师题一：数列a 的前 n 项和为 S ，若 a = 3 ，点(S , S) 在直线 y = n +1 x + n +1(n Î N*) 上nn+1nn1nì S üní n ý(1)求证：数列是等差数列；îþ= a × 2a(2)若数列b 满足bb 的前n 项和T，求数列；nnnnnnTn22n+3> 20 (3)设C =，求证： C + C + Cn12n27 nban1题二：设 b0，数列an满足 a1b，an(n2)an1n1(1) 求数列

2、an的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数 n，2anbn+11.题三：已知数列a 的前 n 项和为 S，且满足4(n +1)(S +1) = (n + 2)2 a (n ÎN*) nnnn(1) 求a1 ， a2 的值；(2) 求an ；n + 1，求证： T < 3 b =(3)设b的前 n 项和为T，数列nnnna4n+ a = 2a+ 4 ， 其中题四：已知各项均为正数的数列a 满足 a2= 2a2 + a a， 且 ann+1nn n+1243n Î N * .(1) 求数列an的通项公式；nan=(2) 设数列b 满足b，是否存在正整数 m, n (1

3、< m < n) ，使得b , b成等, bnn1mn(2n + 1) × 2n比数列？若存在，求出所有的 m, n 的值；若不存在，请说明理由.+1)2 +1，记数列cn 的前n 项和为 Sn ，其中 n Î N * ，(3) 令+1)an+2证明：£ S < 1 .5n1622 - 3题五：已知数列xn 满足 x1 = 4 ，- 4 .n(1)求证： xn > 3 ；(2)求证： xn+1 < xn .第 - 1 - 页ì2an +1 ,= ï2题六：已知数列a 满足： a= 0 ， a， n = 2 , 3

4、, 4 ,í n +1 + 2an1nïn-122ïî(1)求 a5 , a6 , a7 的值；a (2)设b =2 -1n，试求数列 b的通项公式；nn2n(3)对于任意的正整数 n ，试讨论 an 与 an+1 的大小关系第 - 2 - 页专题 冲刺满分-模块综合串讲(二)课后练习参考题一： (1)见详解；(2) T = æ 2 n + 1 ö × 22n+3 - 8 ；(3)见详解.nç 39 ÷èø9) 在直线 y = n +1 x + n +1 (n Î N*) 上

5、，详解：(1)点(S , Snn+1nSn + n +1n +1 Sn+1 =n两边同除以 n +1，得 Sn+1- Sn= 1，n +1nì S üní n ý3为首项，1为公差的等差数列于是是以îþSn2*(2)由可知，= 3 + (n -1) ´1 = n + 2 ，即 S = n + 2n(n Î N ) ，nn当 n = 1 时， a1 = 3 ，当 n 2 时， an = Sn - Sn-1 = 2n +1，经检验，当 n = 1 时也成立， an = 2n +1(n Î N*) 于是b =

6、a × 2an = (2n +1) × 22n+1 nn Tn = b1 + b2 + 4Tn = 3× 25 + bn+ (2n - 3，相减，： T = æ 2 n + 1 ö × 22n+3 - 8 ç 39 ÷nèø9Tn2n111(3) Cn =+-× ( ) 3994n，2n+322 n(n + C1 + C2 + Cn = 3 ×2= 3n2 + 4n - 111+× ( )n9272742417120> -=2792727题二： 见详解.详解：

7、(1)解由 a1b0， nban1 1 n1n1知 a 0，a bb.nan1n1an1n n1令 A ，A .n1abn第 - 3 -页1 11 1 1 A1 1 11 .当 n2 时，An A bn1b bbbn1 bn1bn1bn11b(1bn)bn1当 b1 时，An；1nb(b1)1bìnb(b1)nï，b1.níbn1当 b1 时，A n.所以 anïî1，b1bn -12nbn (b1 )(2)证明当 b1 时，欲证 2anbn+11，只需证 2nbn(bn+11).bn1b -1()()bn1 1 1 1æö

8、nnbn1因为(bn+11)b2nb2n1bn+1bn1bn 21b b bèøbnbn 1bb12nbn (b1)bn(222)2nbn，所以 2an1bn+1.bn1当 b1，2an2bn+11.综上所述，2anbn+11.题三： (1) a =27 ；(2) a =(n +1)3 ；(3)见详解.2n详解：(1)当 n=1时，有 4´(1+1)(a +1）=（1+2）2a ，a =8 111当 n=2 时，有 4´(2 +1)(a + a +1) = (2 + 2)2 a ，a=27 2122(n + 2)2 a(2)当 n ³ 2 时，

9、有 4(S +1) =n ，nn +1(n +1)2 a4(S+1) =n-1 n-1n(n + 2)2 a(n +1)2 a(n +1)3a=n -n-1 ，即： n =得： 4ann +1n3nan-1an= an-1 = an-2= = a2 =1(n +1)3(n -1)3n333 a =(n +1)3 (n ³ 2) n(n +1)3aan343a= n × n-1 ×× 2 × a =×××× 2 = (n +1) 33另解： an1n3(n -1)333aaan-1n-21 a =(n +1

10、)3 又 当 n=1时，有 a =8 ，1n= n +1 =11= 1 -1<(3)b，na(n +1)2n(n +1) nn +1n11111 T =b + b + b + + b+ b=+ +n-1nn123(n +1)2223242n211111<+ +222´ 32´ 3(n -1)nn(n +1)= 1 + (1 - 1) + (1 - 1) + (- 1 ) + (1 -)11n -1nnn +142334= 1 + 1 -1< 3 42n +14第 - 4 - 页(1)；(2).使得成等比数列.；(3)见详解.题四：，详解：(1) 因为，即.

11、的等比数列. 由又， 所以有，即 所以数列是公比为.得，.从而，数列的通项公式为(2)=，若成等比数列，则，即由，可得，所以，：.又，且，所以，此时.使得成等比数列.故当且仅当，(3).递减，0.511n + 2151£1- ( )× <，即£ S <.1622n +1216n2题五： 见详解.n+1详解：用数学归纳法证明)当 n = 1 时， x1 = 4 > 3所以结论成立)假设 n = k(n 1) 时结论成立，即 xn > 3 ，k - 3)2> 0 则2xk - 42xk - 4所以 xk +1 > 3 即 n = k

12、 +1 时，结论成立第 - 5 - 页由)、)可知对任意的正整数 n ，xn > 3 -x2 + 4x - 3-(x -1)(x - 3)- xn =nn=nnn - 42xn - 42xn - 4> 3 ，所以 -(xn -1)(xn - 3) < 0 ，即 x- x< 0 因为 xn+1nn2x - 4n所以 xn+1 < xn 题六： (1)5，5，8；(2) b = n -1 ；(3) a > a.nnn+12详解： a1 = 0 ， a2 = 1+ 2a1 = 1 ， a3 = 2 + 2a1 = 2 ， a4 = 1+ 2a2 = 3 ， a5

13、= 3 + 2a2 = 5 ； a6 = 1+ 2a3 = 5 ； a7 = 4 + 2a3 = 8 由题设，对于任意的正整数 n ，：2n + 2aa12n+1 -12n -1=+ b ，2nbn+1 =2n+12n+11 bn+1 - bn=2= a21 -1= 0 为首项， 1 为公差的等差数列2 数列 b是以bn121n -1 bn =2对于任意的正整数 k ，当 n = 2k 或 n = 1 , 3 时， an < an+1 ；当 n = 4k +1时， an当 n = 4k + 3时， an= an+1 ；> an+1 证明如下：首先，由 a1 = 0 ， a2 = 1

14、 ， a3 = 2 ， a4 = 3 可知 n = 1 , 3 时， an < an+1 ； 其次，对于任意的正整数 k ，n = 2k 时， an - an+1 = a2k - a2k+1 = (1+ 2ak ) - (k +1+ 2ak ) = -k < 0 ；n = 4k +1时， an - an+1 = a4k +1 - a4k +2= (2k +1+ 2a2k ) - (1+ 2a2k+1 ) = 2k + 2a2k - 2a2k+1= 2k + 2(1+ 2ak ) - 2(k +1+ 2ak ) = 0= an+1 所以 ann = 4k + 3时， an - an+

15、1 = a4k +3 - a4k +4= (2k + 2 + 2a2k+1 ) - (1+ 2a2k+2 ) = 2k +1+ 2a2k+1 - 2a2k+2= 2k +1+ 2(k +1+ 2ak ) - 2 (1+ 2ak+1 ) = 4(k + ak - ak+1 ) +1事实上，我们可以证明：对于任意正整数 k ， k + ak ak +1 (*)(证明见后)，> an+1 所以此时 an综上可知：结论得证第 - 6 - 页对于任意正整数 k ， k + ak ak +1 (*)的证明如下：)当 k = 2m ( mÎN* )时，k + ak - ak+1 = 2m + a2m - a2m+1 = 2m + (1+ 2am ) - (m +1+ 2am ) = m > 0 ，满足(*)式 )