数学分析知识点最全汇总

1、第一章实数集与函数 1 实数授课章节：第一章实数集与函数1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质教学重点：（1） 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（2） 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用教学方法：讲授（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题为什么从“实数”开始答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课

2、复变函数研究的是定义在复数集上的函数）为此，我们要先了解一下实数的有关性质一、实数及其性质1、实数有理数：任何有理数都可以用分数形式9（p,q为整数且q0）表示，P也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示无理数：用无限十进不循环小数表示.Rx|x为实数-全体实数的集合.问题有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为此作如下规定：对于正有限小数xa0aa2La，其中0ai9,i1,2,L,na0,a0为非负整数，记xa.aiLani（an1）9999L;对于正整数xa0,则记x（a。1）.9999L；对于负有限小

3、数（包括负整数）y,则先将y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号.0表示为0=0.0000L例：2.0012.0009999L；32.9999L；2.0012.009999L;32.9999L利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数xaaLanL,ymbLbnL.其中a0,bo为非负整数，ak,bk（k1,2,L）为整数，0ak9,0bk9.若有akbk,k0,1,2,L,则称x与y相等，记为xy；若a。bo或存在非负整数l,使得akbk,k0,1,2,L,l,而a1bI1,则称x大于y或y小于x,

4、分别记为xy或yx.对于负实数x、y,若按上述规定分别有xy或xy,则分别称为xy与xy（或yx）.规定：任何非负实数大于任何负实数.（3） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）.定义2（不足近似与过剩近似）：xa.a1LanL为非负实数，称有理数xna0.a1Lan为实数x的n位不足近似；xn2称为实数x的n10n位过剩近似，n0,1,2,L.对于负实数xa0.a1LanL,其n位不足近似xna0.a1Lann;n10位过剩近似xna0.a1Lan.注：实数x的不足近似当n增大时不减，即有xx1x2L;过剩近似R当n增大时不增，即有x0x1x2L.命题：记xa0.a1LanL,yb0

5、.b1LbnL为两个实数，则xy的等价条件是：存在非负整数n,使xn京（其中xn为x的n位不足近似，%为y的n位过剩近似）.命题应用例1.设x,y为实数，xy,证明存在有理数r,满足xry.证明：由xy,知：存在非负整数n,使得工yn.令ryn,2则r为有理数，且xxnrYn3、实数常用性质（详见附录n.P289P02）.1）封闭性（实数集R对,）四则运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数2）有序性：a,bR,关系ab,ab,ab,三者必居其一，也只居其一.3）传递性：a,b,cR,若ab,bc,则ac.4）阿基米德性：a,bR,ba0nN使得nab5）稠密性：两个不

6、等的实数之间总有另一个实数6）一对应关系：实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.例2.设a,bR,证明：若对任何正数，有ab，则ab.（提示：反证法利用“有序性”，取ab）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a的绝对值的定义为|a|a，a0.aa02、几何意义从数轴看，数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离.|xa|表示就是数轴上点x与a之间的距离.3、性质1) |a|a|0;|a|0a0(非负性)；2) |a|a|a|；3)| a | hh a h，|a| hh a h.(h 0) ；4)对任何a,bR有|a|b|ab|a|b|(三角不等式)；5)|ab|a|b|；6)|aI|b|三、几个

7、重要不等式1、a2b22ab,sinx1.sinxx.2、均值不等式：对ai，a2，,anR,记M(aj氏3电1nai，(算术平均值)nniiinnG(aJVaia2and,(几何平均值)i1H(ai)丁一?74TJ.(调和平均值)aia2anniiaiiiai有平均值不等式：H(aJG(aJM(a)即：iaia2ann aa2 L anai a2Lan等号当且仅当aia2an时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)xi,有不等式(ix)ninx,nN.当xi且x0,nN且n2时,有严格不等式(ix)ninx.证：由ix0且ix0,(ix)nni(ix)niiinn

8、(ix)nn(ix).(ix)ninx.4、利用二项展开式得到的不等式：对h0,由二项展开式(1 h)n1 nhn(n 1) h2 n(n 1)(n 2) h3 hn,2!3!(1 h)n上式右端任何一项.练习P4. 5课堂小结上实数:实数及其性质绝对值与不等式作业P4.1.(1),2.(2)、(3),32数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数一一2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质(确界原理).教学难点：确界的定义及其

9、应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何!1、证明：对任何xR有：(1)|x1|x2|1；(2)|x1|x2|x3|2.(1Qx11(x2)1x2,|x1x21)(2)x1|x21,x2x31,x2x32.三式相加化简即可)2、证明：|x|y|xy|.3、设a,bR,证明：若对任何正数有ab，则ab.4、设x,yR,xy,证明：存在有理数r满足yrx.引申:由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的

10、经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解,语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集一一区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理).一、区间与邻域1、区间(用来表示变量的变化范围)16设a,bb.区间有限区间无限区间开区间：xR|axb(a,b)有限区间闭区间：xR|axba,b半开半闭区间

11、闭开区间:xR|axb开闭区间：xR|axba,b)(a,b无限区间xR|xaa,).xR|xa(,a.xR|xa(a,).xR|xa(,a).xR|xR.2、邻域联想：“邻居”.字面意思:“邻近的区域”.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？(1)a的邻域：设aR,0,满足不等式|xa|的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作U(a;),或简记为L&aTP|f一一0(3-6aa-8xU(a;)x|xa|(a,a).其中a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径(2)点a的空心邻域U o(a; ) x 0 | x a |o,、(a

12、,a)(a,a)U(a).(3)a的右邻域和点a的空心右邻域U(a;)a,a)U(a)xaxaU0(a;)(a,a)U0(a)xaxa(4)点a的左邻域和点a的空心左邻域U(a;)(a,aU(a)xaxa;U0(a;)(a,a)U0(a)xaxa.(5) 邻域，邻域，邻域U()x|x|M,(其中M为充分大的正数)；U()xxM,U()xxM二、有界集与无界集1、 定义1(上、下界)：设S为R中的一个数集.若存在数M(L),使得一切xS都有xM(xL),则称S为有上(下)界的数集.数M(L)称为S的上界(下界)；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.闭区间a,b、开区间(a,b)(a,b为

13、有限数)、邻域等都是有界数集，集合Eyysinx,x(,)也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.(,),(,0),(0,)等都是无界数集，集合Eyy-,x(0,1)也是无界数集.x注：1)上(下)界若存在，不唯一；2)上(下)界与S的关系如何？看下例：例1讨论数集Nn|n为正整数的有界性.解：任取n0N,显然有n01,所以N有下界1；但N无上界.因为假设N有上界M,则M0按定义,对任意n0N,者B有n0M,这是不可能的，如取n0M1(符号M表示不超过M的最大整数)，则nN,且nM.综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区

14、间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题:若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个）.三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切xS,有x（即是S的上界）；（2）对任何，存在hS,使得飞（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作supS.从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1MsupE充要条件1） xE,xM;2） o,xoS,使得xoM.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,使得xE,均有xM。，与M是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即M0是上

15、界，但MMo.令MMo0,由2）,x0E,使得x0MM0,与M0是E的上界矛盾.定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切xS,有x（即是S的下界）；（2）对任何，存在xS,使得x0（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作infS.丛定义小可以得出.；.工确界就是工界中的最大者、.infS的充要条件:1) xE,x；2) 0,X0S,有X0上确界与下确界统称为确界.例3(1)S1(-)-，则supS1;infS0.n(2) Eyysinx,x(0,).贝UsupS1;infS0注：非空有界数集的上(或下)确界是唯一的.命题3：设数集A有上（下）确界，则这上（

16、下）确界必是唯的.证明：设supA,supA且supAxA有xsupA对,xA使x0,矛盾.例：supR0,supn-1,infn-nzn1nZn1E5,0,3,9,11则有infE5.开区间a,b与闭区间a,b有相同的上确界b与下确界a例4设S和A是非空数集，且有SA.则有supSsupA,infSinfA.例5设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy,则有supAinfB.证明：yB,y是A的上界，supAy.supA是B的下界,supAinfB.例6A和B为非空数集，SAB.试证明：infSmininfA,infB.证明：xS,有xA或xB,由infA和infB分别是A和B的下界，有

17、xinfA或xinfB.xmininfA,infB.即mininfA,infB是数集S的下界,infSmininfA,infB.又SA,S的下界就是A的下界，infS是S的下界，infS是A的下界，infSinfA;同理有infSinfB.于是有infSmininfA,infB.综上,有infSmininfA,infB.1 .数集与确界的关系：确界不一定属于原集合.以例3为例做解释.2 .确界与最值的关系:设E为数集.(1) E的最值必属于E,但确界未必，确界是一种临界点.(2)非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.(3)若maxE存在，必有maxEsupE.对下确界有类似的

18、结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S非空的数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明ER,E非空，xE，我们可以找到一个整数p，使得p不是E上界，而p1是E的上界.然后我们遍查p.1,p.2,p.9和p1,我们可以找到一个q0,0q09,使得网0不是E上界，p.(q01)是E上界，如果再找第二位小数5,，如此下去，最后得到Pq0qiq2,它是一个实数，即为E的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数n,使得1）xS，有xn；2）存在x1S,有xn1；把区间（n,n1

19、10等分，分点为n.1,n.2,.,n.9,存在n1,使得1）S,有；xn.n1；2）存在x2S,使得x2n.n1110.再对开区间（n.n1,n.n1110等分，同理存在n2,使得1）对任何xS，有xn.n1n2；2）存在x2，使x2n.nQ卡继续重复此步骤，知对任何k1,2,存在nk使得1）对任何xS，xnn”木；2）存在xkS,xkn.n1n2nk.因此得到n.n1n2nk.以下证明infS.（i）对任意xS,x;（ii）对任何，存在xS使x.作业:P91(1),(2);2;4(2)、(4);73函数概念授课章节：第一章实数集与函数一一3函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求

20、：（1）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（2）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义1 .定义1设D,MR,如果存在对应法则f,使对xD,存在唯一的一个数yM与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f:DMx|y.数集D称为函数f的定义域，x所对应的y,称为f在点x的函数值，记为

21、f(x).全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f(D).即f(D)y|yf(x),xD.2 .几点说明(1)函数定义的记号中“f:DM”表示按法则f建立D到M的函数关系，x|y表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x|f(x).习惯上称x自变量，y为因变量.(2)函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：yf(x),xD.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1)f(x)1,xR,g(x)1,xR0.(不相同，对应法则相同，定义域不同)2)(x)|x

22、|,xR,(x)Tx7,xR.(相同，只是对应法则的表达形式不同).(3)函数用公式法(解析法)表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域(自然定义域).此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数.即“函数yf(x)”或“函数f”.(4) “映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于aD,f(a)称为映射f下a的象.a称为f(a)的原象.(5)函数定义中，xD,只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数(简称函数).二、函数的表示方法1主

23、要方法：解析法(公式法)、列表法(表格法)和图象法(图示法).2可用“特殊方法”来表示的函数.1)分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.y1,x0例如sgnx0,x0,(符号函数)1,x0（借助于sgnx可表示f （x）|x|,即 f (x) | x| xsgnx)222）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例1）yx（取整函数）比如：3.5=3,3=3,卜3.5=-4.常有xxx1,即0xx1.与此有关一个的函数yxxx（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.2 ）狄利克雷（Dirichlet）函数1,当x为有理数，D（x）0,当x为无理数，这是一个病态函数，很有

24、用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.3 ）黎曼（Riemman函数L当xE（p,qN,上为既约分数）,R（x）qqq0,当x0,1和（0,1冶的无理数.三函数的四则运算给定两个函数f,xDi,g,xD2,记DDiUD2,并设D,定义f与g在D上的和、差、积运算如下：F(x)f(x)g(x),xD；G(x)f(x)g(x),xD；H(x)f(x)g(x),xD.若在D中除去使g(x)0的值，即令DgDxg(x)0,xD2,可在Dg上定义f与g的商运算如下；L(x)fxxDg.g(x)注：1)若DD1UD2，则f与g不能进行四则运算.2)为叙述方

25、便，函数f与g的和、差、积、商常分别写为:ffg,fg,fg,.g四、复合运算1.引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.速度为V,则功率E为例：质量为m的物体自由下落，E mg2t2.Emv22vgt抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数f(v)-mv2,vgt,把2v代入f,即得_122f(v(t)mgt.2这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.问题任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2yf(u)arcsinu,uD1,1,ug(x)2x,xER.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的

26、定义域的交集不空(从而引出下面定义)2.定义(复合函数)设有两个函数yf(u),uD,ug(x),xE,Egxf(x)DIE,若Eg,则对每一个xEg,通过g对应D内唯个值u,而u又通过f对应唯一一个值y,这就确定了一个定义在Eg上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作yf(g(x),xEg或f和g的复合函数，并称f为y(fog)(x),xEg.简记为fog.称为函数外函数，g为内函数，u为中间变量.3.例子f(u).u, u g(x) 1 x2.g (x) f g(x).并求定义域.f(1 x)1,f(x)12 . xf(x)(A.B.1,C.x2 2,D.x22.讨论函数f (u) 瓜u

27、0,)与函数g(x) ,1 x2,x R能否进行复合，求复合函数.4说明1)复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么?例如：ysinu,uW,v1x2,复合成：ysin.1x2,x1,1.2)不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.yloga.1x,x(0,1)ylogaU,u、z,z1x2. yarcsinx21yarcsinu,uv,vx21.2 y2sinxy2u,uv,vsinx.五、反函数1 .引言在函数yf(x)中把x叫做自变量，y叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因

28、变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f(u)疝,ut21,那么u对于f来讲是自变量，但对t来讲，u是因变量.习惯上说函数yf(x)中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.2 .反函数概念定义设f:XR是一函数，如果x1,x2X,由Xix2f(Xi)f(x2)(或由f(x1)f(x2)x1x2),则称f在x上是1-1的.若f:XY,Yf(X),称f为满的.若f:XY是满的1-1的，则称f为1-1对应.f:XR是1-1的意味着yf(x)对固定y至多有一个解x,f:XY是1-1的意味着对

29、yY,yf(x)有且仅有一个解x.定义设f:XY是1-1对应.yY,由yf(x)唯一确定一个xX,由这种对应法则所确定的函数称为yf(x)的反函数，记为xf1(y).反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域f:XY1f1:YX显然有I：XX(恒等变换)(f 1) 1I：YY(恒等变换)f:XYyo从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数,习惯上我们还是把反函数记为yf1(x),这样它的图形与yf(x)的图形是关于对角线yx对称的.严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.但1-1对应的函数(有反函数)不一定是严格单调的，看下面例子x,0x1f(x)3x,1x2它的反函数即

30、为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1.确定f:XY的定义域X和值域Y,考虑1-1对应条件.固定yY,解方程f(x)y得出 x解 固7E y ,为解y e一 J，令ex z ,万程变为22zy z2 1z2 2zy 1 0z y 7 V之 1 (舍去 y yy2 1)得 x ln( y Vy2 1) ,即 y ln(x vx2 1) sh1(x), 称为反双曲正弦.定理给定函数y f(x),其定义载和值载分别记为X和Y，若在Y上存在函数g(y),使得 g(f(x) x,则有g(y) f 1( y).f1(y).1,、2.按习惯，自变量x、因变量y互换，得yf(x).xx例求ysh(x)-

31、:RR的反函数.分析：要证两层结论：一是yf(x)的反函数存在，我们只要证它是1-1对应就行了；二是要证g(y)f1(y).证要证yf(x)的反函数存在，只要证f(X)是X到Y的1-1对应.x1,x2X,若f(x1)f(x2),则由定理条件，我们有g(f(X1)xg(f(x2)x2x1x2，即f:XY是1-1对应.再证g(y)f1(y).yY,xX，使得yf(x).由反函数定义xf1(y),再由定理条件1,、g(y)g(f(x)xg(y)f(y).例f:RR,若f(f(x)存在唯一(|)不动点，则f(x)也|不动点.证存在性，设xff(x),f(x)fff(x),，*、.，*、*即f(x)是f

32、f的不动点，由唯一性f(x)x,即存在f(x)的不动点x*.唯一性：设xf(x),xf(x)f(f(x),说明x是ff的不动点，由唯一性，x=x.从映射的观点看函数.设函数yf(x),xD.满足：对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x,使得f(x)y,则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为f的反函数，记作f1：f(D)D,(y|x)或xf1(y),yf(D).3、注释a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是D与f(D)之间的一个映射，称f1为映射f映射,f(D)b)函数f与f1互为反函数，并有:f1(f(x)x,xD,f(f1(

33、x)y,yf(D).c)在反函数的表示xf1(y),yf(D)中，是以y为自变量，x为因变量.若按习惯做法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数f的反函数f1可以改写为yf1(x),xf(D).应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六、初等函数1 .基本初等函数(6类)常量函数yC(C为常数)；幂函数yx(R)；指数函数yax(a0,a1)；对数函数ylogax(a0,a1)；三角函数ysinx,ycosx,ytgx,yctgx；反三角函数yarcsinx,yarccosx,y

34、arctgx,yarcctgx.注：幂函数yx(R)和指数函数yax(a0,a1)都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义2.给定实数a0,a1,设x为无理数，我们规定:supar|r为有理数，当a1时，xrxainfar|r为有理数，当0a1时.r0,xX有f(x)M,即Mf(x)M,MmM,MM即可.反之如果M,m使得xX,mf(x)M,令M0maxM1,m,则f(x)|M,即M00,使得对xX有|f(x)M,即f:XR有界.例2.证明f(x)工为(0,1上的无上界函数.

35、x例3.设f,g为D上的有界函数.证明：(1)inDf(x)xifg(x)inff(x)g(x);supf(x)supg(x).xDxD2也凡当x 0时，有例4验证函数f(x)在(内有界.解法一由2x23(72x)2(值) sup f (x) g(x) x D2|V2xV3f(x)5x5x_222x32x35x|5f6|x|2薪3.f(0)03,对xR,总有f(x)3,即f(x)在R内有界.解法二令y -4 2x2 3有实数根.52 24y2 0,解法三令x枷,t3y关于x的二次方程2yx25xy2144，|y2.一,一对应x(,).于是2 2_53tgt5sint13 2tg2t16cost

36、sect35.sin2t,2,6f(x)5.sin2t2、652,6二、单调函数定义3设f为定义在D上的函数，Xi,X2D,Xix2,(1)若f(x1)f(x2),则称f为D上的增函数；若f(Xi)f(X2),则称f为D上的严格增函数.(2)若f(x1)f(x2),则称f为D上的减函数；若f(x1)f(X2),则称f为D上的严格减函数.例5.证明：y*3在(，)上是严格增函数.证明：设Xi33X1X2(Xix2)(xj x1x2 x1)如x1x20,则X20x1X1X2如XiX20,则Xi2X1X2X20,Xi3X3故x3x30即得证.例6.讨论函数yx在R上的单调性.QXi,X2R,当为X2

37、时，有XiX2,但此函数在R上的不是严格增函数.注：1)单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2)严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1.设yf(x),xD为严格增(减)函数，则f必有反函数f1,且f1在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数.证明：设f在D上严格增函数.对yf(D),有xD,使f(x)y.下面证明这样的x只有一个.事实上，对于D内任一xix,由于f在D上严格增函数，当x1

38、x时f(x1)y,当x1x时f(为)y，总之f(x1)y.即yf(D),都只存在口t一的一xD,使得f(x)y,从而例7讨论函数y*2在(，)上反函数的存在性；如果yx2在(,)上不存在反函数，在(,)的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8证明：yax当a1时在R上严格增，当0a1时在R上严格递减.三、奇函数和偶函数定义4.设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数.若对每一个xD有(1)f(x)f(x),则称f为D上的奇函数；f(x)f(x),则称f为D上的偶函数.注：(1)从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称(中心对称)，偶函数的图象关于y轴对称

39、；(2)奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)x,x0,1没有必要讨论奇偶性.奇函数:y=sinx3)从奇偶性角度对函数分类：偶函数:y=sgnx非奇非偶函数:y=sinx+cosx既奇又偶函数:y0(4)由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数1、定义设f为定义在数集D上的函数，若存在0,使得对一切xD有f(x)f(x),则称f为周期函数，称为f的一个周期.2、几点说明：(1)若是f的周期，则n(nN)也是f的周期，所以周期若存在，则不唯一.如ysinx,2,4,L.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称

40、此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”.如ysinx,周期为2;(2)任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1)yx1,不是周期函数；2)yC(C为常数)，任何正数都是它的周期.第二章数列极限为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1,然后为LLLlJ,L如234n此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例

41、如求圆的面积和圆周长（已知：Sr2,l2r）,但这两个公式从何而来？要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.按照这种辩证

42、思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n边形.易知，正n边形周长为1n2nRsinn显然，这个1n不会等于1.然而，从几何直观上可以看出，只要正n边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长.n越大，近似程度越高.但是，不论n多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n无限地增大，记为n.直观上很明显，当n时，1n1,记成:im1n1.极限思想.即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出

43、来了，称为“割圆术”.其方法就是一一无限分割.以直代曲；其思想在于“极限”.除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.1数列极限的概念教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题.教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的N定义证明数列的有关命题，并能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.教学重点：数列极限的概念.教学难点：数列极限的N定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：一、什么是数列1数列的定义数列就是“一列数”，

44、但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称f:NR为数列.注：1)根据函数的记号，数列也可记为f(n),nN;2)记f(n)为，则数列f(n)就可写作为：ai,L,an,L,简记为an,即f(n)|nNan;3)不严格的说法：说f(n)是一个数列.2数列的例子111：2,1,1,1-,L;435111,、：1，-，3，4，L；1234 n2 :1,4,9,16,25, L ；(4)1 ( 1)n1 :2,0,2,0,2, L二、什么是数列极限1 .引言对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的庄子.天下

45、篇引用过一句话：“一尺之植，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下(单位为尺)；第1天截下1,2第2天截下建第3天截下1口2A3222M1111 I_ I_，2， 3， n ，2 2 22M得到一个数列:不难看出，数列-1的通项-1随着n的无限增大而无限地接近于2n2n零.一般地说，对于数列an,若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数a,则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.据此可以说，数列-1是收敛数列，0是它的极限.2 n数列n2,1(1)n1都是发散的数列.需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的

46、定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.以11为例，可观察出该数列具以下特性:n随着n的无限增大，an1 1无限地接近于1 n随着n的无限增大,11与1的距离无限减少随着n的无限增大，|111|无限减少nn|111|会任意小，只要n充分大.n如：要使|111|0.1,只要n10即可；n1要使|1-1|0.01,只要n100即可；nMM任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项aN,从该项之后(nN),|111|.即0,N,当nN时，|111|.如何找N?(或N存在吗？)解上面的数学式子即得：n取N11即可.这样。，当nN时，|111|-.nnN综上所

47、述，数列11的通项11随n的无限增大，11无限接nnn近于1,即是对任意给定正数，总存在正整数N,当nN时，有|111|.此即1-以1为极限的精确定义，记作lim1-1或nnnn1n,11.n2 .数列极限的定义定义1设an为数列，a为实数，若对任给的正数，总存在正整数N,使得当nN时有la。a|,则称数列不收敛于a,实数a称为数列an的极限，并记作limana或ana(n).n(读作：当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a).由于n限于取正整数，所以在数列极限的记号中把n写成n，即limana或ana(n).n若数列an没有极限，则称an不收敛，或称an为发散数列.问题:如何表述an没有极限？3 .举例说明如何用N定义来验证数列极限例1.证明：lim1-0(p0).nnp证明：0不妨设2 ,要使oiN时,有1np-0|=Jpn11-(fP21)p求证limqn0,0,(0不妨设q1).nlgqlg(注意这里lgq0,lg0),oq只要N也一，则当nN时，就有lgqqn0,只要丸.取lgqlimqn0.n例3求证limnnja1(a证法10).要使%1只要只要-lgalg(1)，只要nnlglgalg(1)limnN时，就有g11)limn