数学分析教案(华东师大版)第十四章幂级数

1、学习好资料欢迎下载第十四章号级数教学目的：1.理解幕级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幕级数的运算，掌握函数的幕级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幕级数时的重要性。教学重点难点：本章的重点是幕级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。教学时数：12学时§1哥级数（4时）幕级数的一般概念.型如工/（K-同）*和E/的幕级数.幕级数由产系数数列j唯一确定.幕级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如E即/的幕级数.幕级数是最简单的函数项级数之一.一.幕级数的收敛域：1. 收敛半径、收敛区间和收敛域：Th1（Abel）若幕级数工/在点1=10收敛，则对

2、满足不等式|工的任何九幕级数£%/收敛而且绝对收敛；若在点了二；发散，则对满足不等式的任何I,幕级数E%一发散.证>%1收敛，小有界.设1aAl<M，有g/卜/|才4协，其中r=|二1G.II定理的第二部分系第一部分的逆否命题届级数工/和X（eJ的收敛域的结构定义幕级数的收敛半径R.Th 2对于幕级数£4收敛半径R的求法.，若蚣M"，则i>0<°<+s时,K=二；ii>P二。时K=+s；出>。二+由时K=0.证lim丐乐/=lim«ETIklkl,（强调开方次数与工的次数是一致”8、&RTs7K

3、''的）=由于lung-=m=Inn=p,因此亦可用比值法求收敛半径.fuI%NTs八”幕级数E%/的收敛区间：（-乩R）.幕级数工能才的收敛域：一般来说,收敛区间匚收敛域.幕级数3%/的收敛域是区间（-R,R）、（-乩幻、-尺或之一.例1求幕级数1号的收敛域.（T,l）例2求幕级数工+二+E+的收敛域.（-1,1）2n例3求下列幕级数的收敛域：（1）X-；（2）p/.2.复合幕级数2%武（X）:令1=/,则化为幕级数W&F.设该幕级数的收敛区间为（-RR）,则级数E七武（X）的收敛区间由不等式-R（歹（x）X确定.可相应考虑收敛域.特称幕级数士”/代为正整数）为缺项幕

4、级数.其中0=/.应注意可为第版项的系数.并应注意缺项幕级数Ea/'并不是复合幕级数，该级数中,勺为第/项的系数.,r,1233,47（_小心例4求号级数-X+-T-X+的收敛域.33'手34.12彳344才白耳+1小十一,解一1+yl+hX+三彳.初"彳TH缺项号级数.3y3，才公3"+1aII%7=引=R=后.收敛区间为（-招，活）.工=土后时,|4|3通项f0.因此，该幕级数的收敛域为（-招，百）.31例5求级数2的收敛域.井02（1】）解 令£ = _L,所论级数成为幕级数x-1.由几何级数的敛散性结果，当且仅当TCQ时级数工N-0收敛.因

5、此当且仅当-2<-<2,即1®1ix-ii>-时级数V-收敛.所以所论级数的收敛域为112金2y-1,1、/3、例6求幕级数£3”;/的收敛半径.解二一二2-J-|.NTsNTs幕级数的一致收敛性:Th3若幕级数工人小的收敛半径为R（。）,则该幕级数在区间（-RR）内闭一致收敛.证Va8匚（-R,R）,设maMI咻囹,则对Viwgb,有aKxn|<|,级数W4/绝对收敛,由优级数判别法,二幕级数£4/在a/上一致收敛.因此，幕级数/在区间（-R,R）内闭一致收敛.Th4设幕级数£/犬的收敛半径为K（Q），且在点x=R（或x=-R）

6、收敛，则幕级数工/在区间0,即（或-K,。）上一致收敛.证明/=怎&（? . w4*收敛,函数列在区间0,K上递上一致收敛.易见,当事级数2M减且一致有界,由Abel判别法，幕级数W4/在区间0的收敛域为-凡K（K。）时，该幕级数即在区叫一凡町上一致收敛.幕级数的性质：1.逐项求导和积分后的级数：设.，.'.，'二、'把1M1M1M1盟*）和*）仍为幕级数.我们有命题i*）和*）与有相同的收敛半径.（简证）值得注意的是，*）和*）与2/虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域，例如级数T.2.幕级数的运算性质：定义两个幕级数£%

7、犬和£人/在点x=o的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.%二%, （1«方+b）.（由以下命题4系2）¥心命题21'-上,.：二3-0命题3设幕级数£4/和工句/的收敛半径分别为人和及,x0x-0R=rnin（凡国）,则i士况/=义工2”,|那&,%Const,工WQ.五£%/+%/二+31|邓R.晶-0»-0»-0出（2-）（2&犬）=£“/，S£知如，|那履.3.和函数的性质：心命题4设在（-R,K）（KQ）内士"二/.则»-0】/在卜儿

8、及）内连续；ii若级数£即&或士（一幻”）收敛，则/在点工（R（或L-R）是左（或右）连续的；¥出对ViE（-RR）,了在点工可微且有了。）二£叫1T；»-1iv 对胃W（-R,R）, /在区间0,1上可积，且£FQ£F（当级数向收敛时，无论级数在点工二K收敛与否，均有仁川+1公"9二号"胪.这是因为：由级数*刍_尸"收敛，得函数上行+1"1“叱箭”在点=R左连续,因此有（小辿=£乂*£汉 + 1推论1和函数/在区间（一旦的内任意次可导，且有")二的 +2a

9、/ +啊产1 +f£/(工)=讯4+&+11/+0+由系1可见，/是幕级数的和函数的必要条件是一任意次可导.推论2若工诙了"二/（行，则有/0八0）二J（0）满足微分方程< _ i -.二. R.B2*/例7验证函数/加=工一x-o皿验证所给幕级数的收敛域为8。足J540r>M+ljt3一一v-n广（次2/3口4/此代入,n-=o.§2函数的哥级数展开函数的幕级数展开1.Taylor级数：设函数/在点而有任意阶导数.Taylor公式和Maclaurin公式.Taylor公式：'''一二to划二，一-:''

10、'J'：.“二11.2!都！余项可的形式：Peano型余项：.,：.一】,（只要求在点雨的某邻域内有超-1阶导数，/如（而）存在）Lagrange型余项:伽+i）i严,或一一,J.积分型余项：当函数网在点句的某邻域内有n+1阶连续导数时，有1V二：一=".Cauchy余项：在上述积分型余项的条件下，有Cauchy余项人（口）.特别地，而=0时，Cauchy余项为=2/网（1-少工。在0与工之用！问.Taylor级数：Taylor公式仅有有限项,是用多项式逼近函数.项数无限增多时，得/（为）+/（5）（工一七）+（工商）+：Q/）+=2!加,仁闻称此级数为函数/（X）在

11、点向的Taylor级数.只要函数/在点向无限次可导,就可写出其Taylor级数.称工0=0时的Taylor级数为Maclaurin级数，即级数自然会有以下问题：对于在点看无限次可导的函数,在/（X）的定义域内或在点飞的某邻域内，函数/和其Taylor级数是否相等呢？2.函数与其Taylor级数的关系：例1函数/=在点=0无限次可微.求得了同。）=,用1-x（1-X）/叫0）=Ml.Taylor级数为1-二:.：一丁.该幕级数的收敛域为（-1,1）.仅在区间（-1）内有/（力=工/.而在其他点并不相等，因为级数发散.那么，在Taylor级数的收敛点,是否必有了和其Taylor级数相等呢？回答也是

12、否定的.例2函数，（切=上于,x工0,在点工=0无限次可导且有/（0）=0因此其（0,”0.Taylor级数三。，在（-巾，+s）内处处收敛.但除了点了=。外，函数/和其Taylor级数并不相等.另一方面，由本章§1命题4推论2（和函数的性质）知：在点访的某邻域内9¥倘有了二E即。-两）;则了在点及无限次可导且级数工即（L瓦）”必为函数/（工）在点的Taylor级数.综上，我们有如下结论：对于在点Xq无限次可导的函数/,其Taylor级数可能除点工二%外均发散，即便在点看的某邻域内其Taylor级数收敛，和函数也未必就是，（工）.由此可见，不同的函数可能会有完全相同的Tay

13、lor级数.若幕级数工金0一两）常在点瓦的某邻域内收敛于函数/Q）,则该幕级数就是函数/（1）在点Iq的Taylor级数.于是,为把函数/在点句的某邻域内表示为关于（工-%）的幕级数，我们只能考虑其Taylor级数.3 .函数的Taylor展开式：若在点二°的某邻域内函数f（x）的Taylor级数收敛且和恰为/（1）,则称函数了（力在点%可展开成Taylor级数（自然要附带展开区间.称此时的Taylor级数为函数/在点句的Taylor展开式或幕级数展开式.简称函数/在点而可展为幕级数.当及二0时，称Taylor展开式为Maclaurin展开式.通常多考虑的是Maclaurin展开式.

14、4 .可展条件：Th1（必要条件）函数/在点二°可展，=f（x）在点工口有任意阶导数.Th2（充要条件）设函数/在点看有任意阶导数.则了在区间（瓦-r,而+r）（rQ）内等于其Taylor级数（即可展）的充要条件是：对VlfU（而，有血人（X）0.其中凡是Taylor公式中白余项.证把函数了（才）展开为明阶Taylor公式，有|/（x）-E（x）忖凡,O组）=SrnS,依O%&（不）=0.HTodXTtaTh3（充分条件）设函数/在点而有任意阶导数，且导函数所成函数列/网一致有界，则函数/可展.证利用Lagrange型余项,设|丁RM,则有尸。伊】If，,、ii> 按0

15、 + 1)幕.初=7¥"一%依下而7。，5Ts)例3展开函数,=/-2/+l+3,i>按X幕;解 -一 二 T 1/叫 0)=3,次-；八3/-4尹1/(0)=1,八7) =8;广飞7,(=4r(-n=-io；广(T)6;所以,i>/-+八。)/勺”?+与”3+钎2/+/.可见,工的多项式月0的Maclaurin展开式就是其本身.ii：J：初等函数的幕级数展开式初等函数的幕级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幕级数展开式，或直接展开，或间接展开.1.丁二工1,xe（-5,+s）.（验证对Vier,/叫&=建在.04区间0,1（或/0）上有

16、界，得一致有界.因此可展）.g2m+12."二：C0SI=5（-l）"可展是因为/同*）=血X+-在（-8,+5）内一致有界.3.二项式（1+犷的展开式：期为正整数时，（1+I7为多项式，展开式为其自身朋为不是正整数时，可在区间内展开为（1+口=1+/+械洗7#+.所岫-2”,（浇-"1）1+.2!M对余项的讨论可利用Cauchy余项.具体讨论参阅1P56.潮工T时，收敛域为（-11）；T助Q时，收敛域为（T,l；期。时，收敛域为-1,1.利用二项式（1+x厂的展开式,可得到很多函数的展开式.例如取期=-1，得1=l-x+f-+(-1)中+，.斯=_一时,2+与3

17、/71 + x 22 T 2，416V 'V V间接展开：利用已知展开式，进行变量代换、四则运算以及微积运算，可得到一些函数的展开式.利用微积运算时，要求一致收敛.幕级数在其收敛区间内闭一致收敛，总可保证这些运算畅通无阻.，.二1J.事实上,利用上述的展开式,两端积分,就有1+7明+ x)二二二二；验证知展开式在点X=1收敛，因此，在区间（-1J上该展开式成立.5.ardgx = x0 = E(3 n-i)2»+1ik2w+l由Y=xw(-l,l).两端积分，有l+ia-0验证知上述展开式在点工二十1收敛，因此该展开式在区间-11上成立.（这里应用了习题中第2题的结果,）例4

18、展开函数/（X）=13/-4工+11。1工之")/,|1|<-.例5展开函数/（X）=。+碰求收敛区间或收敛域求幕级数二2乃*的收敛区间求幕级数x£-犬的收敛域.拓-1圣】工、L9 1、kJ 1'设% = X-,汪用、至 1 lim a = +c01有 'I - ： ,一 I 一.I=±l 时,像卜y O' n收敛域为,.函数展开:例3 把函数如=-展开成X的幕级数乙23aif F tAAA解.I ,二,11 -1 '2!31M+ +（T）中 盟！| “< + b| X|< + co9 2m+1 y-觊+i与sin

19、 i的展开式加嗔厂而不比较.例4展开函数/二COS2X.c小丁广焉？C)F一一一一一|.因此,cosX=mJ(2叫例5展开函数/(X)二&.1+r-=1-工+/-/+(7)*工"+，因此,Z-X+X-X+(-1)X+,1+N|x|<l,把函数/W=ln(5+x)展开成Q-2)的幕级数.工7L解口，,'23(-l)s-1nt：二刀.而呵5+x)=ln(7+x-2)=ln1+ln7xe(-5,9三.函数展开式应用举例1 .做近似计算例7计算积分LjgT%,精确到M0O.一-I.因此,1( 1° 户1 吸1 Q ®上式最后是Leibniz型级数,其

20、余和的绝对值不超过余和首项的绝对值为使-<，可取刘7.故从第0项到第6项这前7项之和达到要求的(2盟+311000精度.于是LdE+ _L-33527-69-241112013'720，一”一，一".二.2 .利用展开式求高阶导数：原理.例8设/'''证明对下用，/8(0)存在并求其值.1.x=0.解一，直接验证可知上式当工二。时也成立.因此在（-5,+S）内有函数/作为1的幕级数的和函数,对V*/叫0）存在,且1)气2时!(2所+1)1n = 2m0,/叫0）0,四.幕级数求和:原理：对某些幕级数，有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式（特别是化为函数;和成的展开式），借以求和.1-A/04淮+1V/_j>s+1例9求幕级数V一的和函数并求级数