数学江苏专用新设计大一轮讲义+习题：第三章导数及其应用第1讲

1、第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算考试要求1.导数的概念及其实际背景(A级要求);2.导数的几何意义(B级要求);3 .根据导数定义求函数y=c,y=x,y=1,y=x2,y=x3,y=5的导数(A级要求);x4 .利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(B级要求)；5.求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的导数(B级要求).I知识百比体血回区教小分支基础知识梳理1 .导数的概念设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，且xo(a,b),若Ax无限趋近于0时，比fx0+Ax)f(x0)值竟=飞-无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导，Z-xZ

2、-x并称该常数A为函数f(x)在x=xo处的导数，记作fx0).若函数y=f(x)在区间(a,b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f'x).2 .导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为yyo=f'x0)(xxo).3 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f'xl=0_*f(x)=x"(aCQ)f，x=a充1f(x)=sinxfx)=_cos_xf(x)

3、=cosxf'x1sin_xf(x)=exf'x)=宜f(x)=ax(a>0)f'x)=axln_af(x)=Inx1fxl=7xf(x)=logax(a>0,且aw1),1fx)F4.导数的运算法则若f'x),g'x)存在，则有：f(x)力(x)=fx)=gzx)；(2)f(x)g(x)=f'x)g(x)+f(x)g'x)；丁(x),f'(x)g(x)f(x)q'(x)堂卜QTr(Q(x)w0).5.复合函数求导的运算法则一般地，设函数u=Ax)在点x处有导数ux=(|)'x),函数y=f(u)在u处

4、有导数yU=f'u),则复合函数y=f(Mx)在点x处也有导数，且yx=yUux.诊断自测1 .思考辨析(在括号内打或"x”)(1)f'x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求f'x0)时,可先求f(x0),再求f'x0).()曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(4)若f(x)=a3+2ax+x2,贝Uf'xl=3a2+2x.()解析(1)f'x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而(f(x0)表示函数值f(xo)的导数，其意义不同，(1)错误.(2)求f'x0)时，应先求f'x),再代入求值，(2)

5、错误.(4)f(x)=a3+2ax+x2=x+2ax+a3,.f'xl=2x+2a,(4)错误.答案(1)X(2)X，(4)X2 31-一2.(选彳22P14练习2改编)有一机器人的运动万程为s(t)=t2+(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为.3.一.斛析由题思知机命人的速度方程为v(t)=stX=2t，故当t=2时，机命人的一.、,313瞬时速度为v(2)=2X2-22=.3.(2018天津卷)已知函数f(x)=exlnx,f'x)为f(x)的导函数，则f'(1)值为解析由题意得f'x)=exlnx+ex1,则f'(1)e.x

6、答案e4 .(2018全国II卷)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为.解析由题意知y'=2,所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k=y'x=1=2,故所求x切线方程为y0=2(x1),即y=2x2.答案y=2x-25 .(2018南通、泰州调研)若曲线y=xlnx在x=1与x=t处的切线互相垂直，则正数t的值为.解析y'=lnx+1,所以曲线在乂=1和乂=t处的切线的斜率分别为1和1+lnt,所以1(1+lnt)=1,所以t=e-2答案e2I考点聚焦突破逼II舅II善璧玲萋疆鼐蹴例常法融考点一导数的计算【例11求下列函数的导数：(1)y=(x+1)(x+2)(x

7、+3);_x_2x(2)y=sin2(12cos4);sinxy=ex;e2x-1y=ln2xZ1.解(1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+1仅+6,所以y'=3x2+12x+11.x(2)因为 y= sin2-cos x ；=-211 .2sin x, 所以 y = 2sin，1 . 、，1x l = 2(sin x) = -/cos x.(3)y'=(sin x)',sin x (e* * * * * * * * x) ' cos x-sin x(4)y'= ln2x+2x-12x+1(2x

8、1) (2x+1)(2x+ 1)2x+1j(2x-1)z(2x+1)-2x-1|L(一44x21.规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幕再求导1o【训练11(1)已知f(x)=2x2+2xf(2019)2019lnx,贝Uf(2019)(2019扬州中学质检)设函数f(x)在(0,+8)内可导，且f(e答案 (1) 2 020 (2)2考点二导数的几何意义 角度1求切线方程【例21(1)曲线y= 5ex+3在点(0,

9、2)处的切线方程为 (2)已知函数f(x) = xln x,若直线l过点(0, 1),并且与曲线y=f(x)相切，则直)=x+ex,则f'(1)线l的方程为.解析(1)<y'=5ex,所求曲线的切线斜率k=y'x10=5e0=5,切线方程为y(2)=5(x0),即5x+y+2=0.(2)点(0,1)不在曲线f(x)=xlnx上，;设切点为(X0,yo).yo=xolnxo,又.f'x)=1+lnx,.,.Jiyo+1=(1+lnxo)xo,解得xo=1,yo=0.切点为(1,0),(号1+ln1=1.直线l的方程为y=x1,即xy1=0.答案(1)5x+y

10、+2=0(2)x-y-1=0角度2求切点坐标x狂x2“一、，1【例22(1)(2019泰州,g拟)已知曲线v=%3lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为.1(2)(2019苏、锡、常、镇四市调研)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为.解析(1)设切点的横坐标为xO,“八、x2一一1:曲线y=了一3lnx的一条切线的斜率为2,x3"031y=2x，即2"解得x0=3或x°=2(舍去，不符合题意),即切点的横坐标为3.由y=ex得y'=ex,知曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k1=e0=1

11、.、一一11设P(m,n),又y=,(x>0)的导数y=一要，xx一11曲线y=x(x>0)在点p处的切线斜率k2=m2.依题意kik2=1,所以m=1,从而n=1.则点P的坐标为(1,1).答案(1)3(2)(1,1)角度3求与切线有关的参数值(或范围)【例23(1)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，贝Ua=.(2)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b_.解析(1)由y=x+lnx,得y'=1+1,得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k=y'x|x=1=2,所以切线方程

12、为y-1=2(x-1),即y=2x1,此切线与曲线y=ax2+(a22+2)x+1相切，消去y得ax+ax+2=0,得a*0且A=a8a=0,解得a=8.(2)y=Inx+2的切线为y=x+InxI+1(设切点横坐标为x1).x11 x2y=ln(x+1)的切线为y=x+ln(x2+1)(设切点横坐标为x2).x2+1x2+1,11一-,x1解得 x1 = 2，x2= 2，, , bln x1 + 1 = 1 ln 2.答案(1)8 (2)1 In 2规律方法(1)导数f'x0)的几何意义就是函数y = f(x)在点P(x0, y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可

13、能和曲线还有其他的公共点.“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，”曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)当曲线y=f(x)在点(x0, f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x=x0.x2+1x2Ilnx1+1=ln(x2+1)一Lx2+1(4)已知斜率k,求切点A(xi,f(xi),即解方程f'x()=k.(5)若求过点P(x0,y0)的切线方程，可设切点为(xi,yi),由|yi=f(xi),i,求解即可.Iyoyi=f(xi)(xo-xi)(6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线

14、的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.【训练2】(i)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=e*x,则曲线v=f(x)在点(i,2)处的切线方程是.,一x+i4,，(20i9常州复习检测)已知曲线y=;在点(3,2)处的切线与直线ax+y+i=0xi垂直，则a=.解析设x>0,则一x<0,f(x)=ex一+工又f(x)为偶函数，f(x)=f(x)=ex-i+x,所以当x>0时，f(x)=ex-+x.因此，当x>0时，f'x)=ex-+i,f'(i)eO+i=2.则曲线y=f(x)在点(i,2)处的切线的斜率为f'(令2,所以切线方程

15、为y2=2(x-2-i),即2xy=0.y'i(x i) 2x=32'又切线与直线ax+y+i=0垂直.-a2j=T,则a=-2.答案(i)2xy=0(2)-2I分层限时调练蜃亶整分层训练埼提升噩理醯、必做题1.(2018全国II卷)曲线y=21n(x+1)在点(0,0)处的切线方程为解析21n(x+1),.yJ-2-.当x=0时，y'=2,曲线y=21n(x+1)在点x+1(0,0)处的切线方程为y0=2(x0),即y=2x.答案y=2x2.(2019苏州调研)已知曲线v=1nx的切线过原点，则此切线的斜率为.1一.解析函数y=1nx的止义域为(0,+00)且y=-设

16、切点为(x。，1nx。)，则yx|x11=刈=函,切线方程为y-lnx0=x0(xx0),因为切线过点(0,0),所以-1nx0=1,解得x0=e,故此切线的斜率为1.e1答案1e4一一，一一，一3.(2019海安中学阶段检测)已知曲线v=(x<0)的一条切线斜率为一4,则切点的x横坐标为.解析y'=/=4,x<0,解得x=-1,即切点的横坐标是一1.答案14.(2018全国田卷)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为一2,则a=.解析y'=(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为一2,得y'x0=(ax+1+a)e|x=0

17、=1+a=2,所以a3.答案35.(2019南师附中月考)如图，y=f(x)是可导函数，直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),其中g'x)是g(x)的导函数，则g'(3).¥嘲口解析由题图形可知f(3)=1,f'(3)1,g'x)=f(x)+xf'x),3g'(3)f(3)+3f'(3)1-1=0.答案06.(2019苏北四市模拟)设曲线y=1：c0sx在点仔,1i处的切线与直线x-ay+1sinx2，=0平行，则实数a=.1cosx九解析,y=sin2x，y'xP2=1.,一，

18、一.1由条件知二=1,；a=-1.a答案17.函数y=xex在其极值点处的切线方程为.解析设y=f(x)=xex,令y'=S+xex=ex(1+x)=0,得x=1.当x<1时，y<0;当x>1时，y'>0,故乂=1为函数f(x)的极值点，切线斜率为0,又f(1)=e1=1,故切点坐标为'-1,一1i,切线方程为y+1=0(x+1),e、ee1即丫一e.e1答案y=1e8.若x轴是曲线f(x)=lnx-kx+3的一条切线，则k=.1解析由f(x)=lnxkx+3得fx1=k,设点M(xo,y0)是曲线y=f(x)上一点，x则曲线f(x)=lnx-k

19、x+3在点M处的切线方程为y(lnx°kx0+3)=，一kj(xxo),丁乂轴是曲线f(x)=lnxkx+3的一条切线，Inxokxo+3=0,解得k=e2.答案e29.已知两曲线f(x) = 2sin x,g(x)=acosx,x0,2相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为解析f'xl=2cosx,g(x)=asinx,设P(xi,yi),'yi=2sinxi,由题设可得yi=acosxi,12cosxi(asinxi)=i,i323解得sinxi=2,cosxi="2-,a9.答案专3i0.求下列函数的导数:(i)y=exlnx；(2

20、)y=42+:+印；xx(3)y=xsin2cos2；(4)y=cos x解(i)y=(ex)xi+ex(lnx)'=exlnx+ex：x='lnx+'ex.x(2)因为y=x3+i+J,x所以y'=(x3)¥(i)午§)=3x2x3.i.(3)因为y=x-2sinx,ii所以y=x-2sinx卜x-Rsinx).i(4)y '=cos x , 丁 J=i2cosx.(cosx)'xlcosx(ex)'sinx+cosxx、2e)11 .已知点M是曲线y=(x32x2+3x+i上任意一点，曲线在M处的切线为l,3求：斜

21、率最小的切线方程；切线l的倾斜角a的取值范围.解(1)y'=x24x+3=(x2)21方1,5所以当x=2时，y=1,y=a，3所以斜率最小的切线过点J2,31斜率k=-i,所以切线方程为3x+3y11=0.由(1)得k>-1,所以tana>-1,所以延卜，Ji!U.第九二、选做题12 .(2019镇江联考)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a>0时，实数b的最小值是.a斛析由y=alnx得y=-，设切点为M(xo,yo),则曲线y=alnx在点M(xo,yo)xa=1aa一.x处的切线方程为yalnxo=(xxo),即y=_x+alnxo-a,则xoxoLalnxoa=b,.b=alnaa(a>o),b'=lna,当o<a01时，b<o,当a>1时，b'>0.当a=1时，b取得最小值一1.答案113.对于函数v=f(x),y=g(x),如果它们的图象有公共点P,且在点P处的切线相同，则称函数f(x)和g(x)在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数f(x)=a/bx(awo),g(x)=lnx.(1)当a=1,b=o时，判断函数f(x)和g(x)的图象是否相切，并说明理由；(2)已知a=b,a>o,且函数y=f(x)和y=g(x)相切，求切点P的坐标.解