数学江苏专用新设计大一轮讲义+习题：第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第7讲含解析

1、第7讲对数与对数函数考试要求1.对数的概念及其运算性质，换底公式及应用（B级要求）；2.对数函数的概念、图象与性质（B级要求）；3.指数函数y=ax（a>0,且a小）与对数函数y=logax（a>0,且aw1）互为反函数（A级要求）.回顾教材夯实基础知识梳理1 .对数的概念如果ax=N（a>0,且awl）,那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN、其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2 .对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质：alogaN=N;logaab=b(a>0,且a*1).对数的运算法则如果a>0且awl,M>0,N>0,那么 loga

2、(MN);logaM+logaN; logaMy=logaM-logaN；logaMn=nlogaM(nCR)；logamMn=mlogaM(m,nCR,且mw0).(3)对数的重要公式换底公式：logbN=器N1（a,b均大于零且不等于1）；-1logab=joga，推广logablogbclogcd=logad.3.对数函数的图象与性质性质定义域：(0,+8)值域：R当x=1时，y=0,即过定点(1,0)当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减

3、函数4.反函数指数函数y=ax(a>0,且aw1)与对数函数y=log月x(a>0、且aw1)互为反函数,它们的图象关于直线匕上对称.诊断自测1 .思考辨析(在括号内打或"X”)(1)lOg2X2=2lOg2X.()函数y=log2(x+1)是对数函数.().1+X,(3)函数y=lnTX与丫=ln(1+x)ln(1x)的止义域相同.()(4)当x>1时，若logax>logbx,贝Ua<b.()解析(1)log2x2=2log2|x|,故错.(2)形如y=logax(a>0,且a*1)为对数函数，故错.(4)当x>1时，logax>l

4、ogbx,但a与b的大小不确定，故(4)错.答案(1)X(2)X，(4)X2 .计算：log212=；210g23+l0g43=.211解析1og22=10g2/1og22=21=2；210g23+10g43=210g23210g43=3X210g43=3X产2b=373.答案23m3 .(2018全国I卷)已知函数f(x)=1og2(x2+a).若f(3)=1,贝Ua=.解析由f(3)=1得10g2(32+a)=1,所以9+a=2,解得a=-7.答案74 .（2019-南通、扬少卜1等七市调研）函数y=lg（43xx2）的定义域为.解析要使函数y=lg（4-3x-x2）有意义，则4-3x-x

5、2>0,解得一4<x<1,故函数的定义域是（4,1）.答案（4,1）5 .（2018天津卷改编）已知a=log2e,b=ln2,c=log；3,则a,b,c的大小关系为解析法因为 a=log2e>1,b=ln 2C （0, 1）, c=,1110g231og23>1og2e=a>1,所以c>a>b.-.11法一logq=log23,如图，在同一坐标系中作出函数y=log2x,y=lnx的图象,23由图知c>a>b.答案c>a>bI考点聚焦突破考点一对数的运算【例1】（1）设2a=5b=m,且1+1=2,则m=;ab（2）设

6、x,y,z为正数，且2x=3y=5：则（填序号）.2x<3y<5z;5z<2x<3y;3y<5z<2x;3y<2x<5z.2（3）（2018淮阴中学期中）求值：273（牌725）22log23xlog2+log23Xlog34.解析（1）由已知得a=log2m,b=log5m,-1111则+人=+=logm2+logm5=logm10=2.ablog2mlog5m解得m=10.(2)令t=2x=3y=5z,x,y,z为正数,t>1.则x=log2t=藻，同理，V=号，z=伯.cc2lgt3lgtlgt(2lg3-3lg2)“x3尸Ig2-l

7、g3=lg2Xlg3lgt(lg9-lg8)=>0lg2Xlg30,2x>3y.p一2lgt5lgt1gt(2lg55lg2)又,2x5z=;大一;-lg2lg5lg2Xlg5lgt(lg25-lg32)=<0,lg2Xlg5'2x<5z,3y<2x<5z.答案(1)匹(2)解273(3/-125)2-2bg23Xlog28+log23Xlog34=(33)3-(-5)2-3X10g223+JgjX策=9-25-3X(3)+2=5.规律方法(1)在对数运算中，先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简，然后正用对数运算法

8、则化简合并.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幕再运算.(3)ab=N?b=logaN(a>0,且aw1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.42一厂山一一，2x,x>4,i【训练11(1)(2018无锡期末)已知函数f(x)=/则f(2+log23)、f(x+1),x<4,的值为.(2)(2019苏州调研)已知4a=2,logax=2a,则正实数x=.解析(1)因为3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)=23+lOg23=8X2lOg23=24.11

9、由4=2得a=2，则log(x=1,解得x=/.答案(1)24(2)2考点二对数函数的图象及应用【例2】(1)如图，已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴，顶点A,B和C分别在函数y=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上，则实数a的值为. yc = yB,xa = xb, xc xb = 2, y yA yB=2,lOg2x,x>0,(2)(2019苏、锡、常、镇调研)已知函数f(x)=,3xx<0且关于x的方程f(x)+xa=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是.解析(1)由题设可得lOgaxC=2lOgaxB,xa=xb,2即d化

10、简可得xb=2,logaxB=2,所以a=2,xcxb=2,k3lOgaxA2lOgaxB=2,故a=加(负值舍去).(2)如图，在同一坐标系中分别作出v=£仅)与y=x+a的图象，其中a表示直线在y轴上截距.由图可知，当a>1时，直线y=x+a与y=log2x只有一个交点.答案（1）2（2）（1,+oo）规律方法（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.对数函数的图象在x轴上方，底数a越大，图象越靠近x轴.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】函数

11、v=210g4（1x）的图象大致是领序号）.1（2018宿迁,K拟）当0<x02时，4x<1ogax,则a的取值范围是.解析（1）函数y=210g4（1x）的定义域为（一oo,1）,排除，；又函数y=210g4（1x）在定义域内单调递减，排除.由题意得，当0<a<1时，要使得4x<1ogax2<xW2j,即当0<x<g时，函数y=1 .14的图象在函数y=logax图象的下万.又当x=2时，42=2,即函数y=4的图象过点g,2j把点g,2，弋入y=logax,得a=g2.若函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方，则需#<a<

12、;1（如图所示）.当a>1时，不符合题意，舍去.所以实数a的取值范围是停,11答案住2,1）考点三对数函数的性质及应用角度1比较大小1【例31】（1）（2018天津卷改编）已知a=log32，b=j，c=l°g；5，则a,b,c的大小关系为.若a>b>0,0<c<1,贝U（填序号）.logac<logbC；®logca<logcb；ac<bc；ca>cb.解析（1）log11=log3T5-1=log35,因为函数y=log3x为增函数，所以log35>3510log37>log33=1,因为函数y=）为减函

13、数，所以2）<）=1,故c>a>b.由y=xc与y=cx的单调性知，不正确;,V=logcx是减函数，得logca<logcb,正确;, lg_c logac= ,lg a'logbc=lg c lg b', ,0<c<1, lg c< 0.又a>b>0,.lga>lgb,但不能确定lga,lgb的正负,logac与logbc的大小不能确定.答案c>a>b角度2解不等式【例32】求不等式的解集:（1）33x<2;（2）log5（x1）<2.解（1）33x<2,.33x<3log32,

14、.3x<log32,x>3-log32,解集为（3log32,+00）.1（2）log5（x1）<2,log5（x1）<log5加.0<x-1<V5,.1<x<V5+1,解集为（1,V5+1）.角度3对数型函数的性质【例33(2018仪征中学高三期初检测)已知aeR,函数f(x)=log28+a)当a=1时，解不等式f(x)>1;(2)若关于x的方程f(x)+log2x2=0有且仅有一解，求a的值；设a>0,若对任意teg,11函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.解(1)当a=1时，由10g2，

15、+1,>1,得x+1>2,解得0<x<1.故不等式的解集为x0<x<1.(2)log2(1+a!：+10g2x2=0有且仅有一解，等价于'1+ax2=1有且仅有一解，等价xx于ax2+x1=0有且仅有一解.当a=0时，x=1,符合题意；1当aw0时，1+4a=0,解得a=4.,、，.、1综上，a=0或4.(3)易知f(x)在(0,+8)上单调递减.故函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).则f(t)f(t+1)=log21+ajlogzj+a卜1,即at2+(a+1)t10对任意teg1成立.因为a>0,所以

16、函数y=at2+(a+1)t1在区间g,11上单调递增，所以t=1时，y有最小值3a1,由3a*0得a>2.故a的取值范围为i,+".2424233/规律方法(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】(1)设a=log32,b=log52,c=log23,则a,b,c的大小关系是已知函数f(x)=loga(

17、8ax)(a>0,且a*1),若f(x)>1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是.解析(1)a=log32<log33=1,b=log52<log55=1,又c=log23>log22=1,所以c最大.11由1做示啕25唠23>陶25,即a>b，所以c>a>b.(2)当a>1时,f(x)=loga(8ax)在1,2上是减函数,由f(x)>1在区间1,2上包成立，贝Uf(x)min=loga(82a)>1,解之得1<a<8.若0<a<1时，f(x)在1,2上是增函数,由f(x)>1在区间1

18、,2上恒成立,贝Uf(x)min=loga(8a)>1,且82a>0.a>4,且a<4,故不存在.综上可知，实数a的取值范围是卜，8j答案c>a>b(2)1,3)I分层限时调炼分层训练.提不能力一、必做题1.(2018南通中学考前冲刺练习)函数y=ln(12x)的定义域为.解析要使函数v=ln(12x)有意义，则1-2x>0,解得x<0,故函数的定义域是(一00,0).答案(一?0)2.(2018全国m卷)已知函数f(x)=ln(Vl+x2-x)+1/=4,则f(a)=解析由f(a)=InCyl+a2a)+l=4,得1nzTTa2a)=3,所以f

19、(a)=1nC/l+a2+a)+1=-Inf+1=1nM+a2-a)+1=-3+1=-2.W+a2+a答案23 .艾>1”是“1og1(x+2)<0"的条件(在“充分不必要”“必要不充2分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填写).解析由x>1得x+2>3,所以1og-(x+2)<0,2.1由log-(x+2)<0可得x+2>1,即x>-1,2所以x>1”是“1og1(x+2)<0”的充分不必要条件.2答案充分不必要4 .(2018淮阴中学期中)已知函数v=1oga(x-1)(a>0,a*1)的图象过定点A,若点A

20、也在函数f(x)=2x+b的图象上，则f(1og23)=.解析易知点A(2,0),又因为点A在函数f(x)=2x+b的图象上，所以22+b=0,.b=4,所以f(x)=2x4,则f(log23)=210g234=34=1.答案15.已知函数f(x)=1oga(x+b)(a>0且awl,bCR)的图象如图所示,则a+b的值是c、./c，,、c11f(一3)=loga(3+b)=0,a=3，q解析由图象可得解得2则a+b=/If(0)=10gab=2,lb=4,29答案26.(2019南京、盐城模拟)设")=#127+aj是奇函数，则使f(x)<0的x的取值Xi/范围是.解析

21、由f(x)是奇函数可得a=1,1+x.f(x)=1g-,定义域为(1,1).由f(x)<0,可得0<但？<1,1x-1<x<0.答案(一1,0)t'a+b17.(2019扬州质检)设f(x)=1nx,0<a<b,若p=f(Vab),q=fJ,r=2(f(a)+f(b),则p,q,r的大小关系为.a+b解析.0<a<b,-2->vab,X,.f(x)=1nx在(0,+00)上为增函数，l"b)f>f(Vab),即q>p.22J一11又r=2(f(a)+f(b)=2(lna+lnb)=ln>/ab=p,

22、故p=r<q.答案p=r<q10g2X,X>0,8.(2019通东中学月考)已知函数f(x)=S1若f(a)>f(a),则实|log2(-X),x<0,数a的取值范围是.1斛析当a>0,即一a<0时，由f(a)>f(a)知log2a>log2a,在同一坐标系中回出1 ,函数丫=喻"和丫=logx的图象(图略)，由图象可得a>1；当a<0,即一a>0时,同理可得1<a<0,综上可得，a的取值范围是(1,0)U(1,+oo).答案(一1,0)U(1,+oo)log3x|,0<X<3,c9.已知

23、函数f(x)=,若a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),则(ab+2)的取x+4,x>3,值范围是.解析画出函数f(x)的大致图象(图略)，结合图象并由a<b<c且f(a)=f(b)=f(c),得1<a<1<b<3<c<4且一log3a=log3b,所以ab=1,故(ab+2)c=3c,又cC(3,4),3所以3ce(27,81).故(ab+2)c的取值范围是(27,81).答案(27,81)10.(2019淮海中学第一次阶段性考试)已知函数f(x)满足f(x+1)=lg(2+x)lg(x).(1)求函数f(x)的解析式及

24、定义域;(2)解不等式f(x)<1.解(1)令1=乂+1,贝Ux=t1,所以f(t)=lg(1+t)-lg(1-t),即f(x)=lg(1+x)lg(1x),1+x>0,由3得一1<x<1,1x>0所以f(x)=lg(1+x)lg(1x),其定义域是(一1,1).(2)由f(x)=lg(1+x)lg(1x)=lg=<1,1x1+x:<10.9即彳当且仅当x+ 1 = T, x+ 1即x=0时取等号.所以一m> 1,解得m< 1.故实数m的取值范围是(一,1.二、选做题12.(2018汪苏运河中学一诊)已知f(x) = log2(x2),若实

25、数m, n满足f(m) + f(2n) =3,则m+n的最小值是.解析 法一 由 f(m) + f(2n) = 3 得 log2(m2)(2n 2) = 3? (m2)(2n2)=23,Zm-2+n-12即(m2)(n1) = 4,由已知得m>2, n>1,由基本不等式得 m 2+n 1>4(当x解得1<x<R.、一1<x<1,所以不等式的解集为仅一1<x<柒11.函数f(x)=log3(x2 J+2x8)的定义域为A,函数g(x)=x2+(m+1)x+m.(1)当m=4时，g(x)&0的解集为B,求AAB；(2)若存在xL0,2使得不等式g(x)<-1成立，求实数m的取值范围.解(1)由x2+2x8>0得x<4或x>2,则A=(oo,4)U(